三角函数有理式积分的实复变计算方法

宋健楠+韩旖帆+许玲珊+陶元红

摘要：在数学分析中计算三角函数有理式积分时，需要利用的万能公式替换进行求解，而在复变函数中同样可以利用留数定理进行求解，本文选取一个典型三角函数定积分的计算为例，将两种方法分别展示，从而比较分析了这两种方法的优缺点。

关键词：三角函数；有理式积分；万能公式；留数定理

三角函数有理式积分的求解是数学分析中一个典型的积分计算问题，往往利用万能公式、组合积分法以及换元法等进行求值。这些定积分还可以运用复变函数中的留数定理进行计算，特别是对那些原函数不易求得的积分，是一个非常有效的方法。已有许多文献总结求解三角函数有理式的思路方法[1-8]，大部分利用实积分中的万能公式求解。本文为了比较分析三角函数有理式积分在数学分析和复变函数中的两种计算方法，在学习中进行总结，整理知识点，选取了一个典型积分 为例，探究并比较两种方法的区别与联系，对比了两种不同的解题思路。

一、预备知识

定义1[9] 设函数 定义在 ，而在 的任一左邻域内 无界（此时 为 的瑕点），若 在任意 上可积，我们称积分形式 为 在 上的瑕积分。

定理1[10] 设 在周线或复周线 所围的区域 内，除 外解析，在闭区域 上除 外连续，则（“大范围”积分）

利用复变函数中留数定理计算三角函数有理式积分

下面讨论利用留数定理计算上述积分，对比计算方法与上节中方法的异同。

四.结论

本文主要讨论了计算三角函数有理式积分不同的两种方法：分别用万能公式换元求解和留数定理两种不同的解题思路。通过对比分析，我们可以知道，利用万能公式计算三角函数积分时，优点在于思路清晰简单，但仍有不足之处，计算量较大，不易获得原函数，但如果利用复变函数中的留数定理，则可以更加有效地计算出很难获得原函数的三角函数积分，运用较为广泛，通过总结我们可以得出两种方法各有利弊，在今后求解三角函数积分的过程中，要根据三角函数的结构特点来确定合适的方法，从而进行有效的计算。

参考文献：

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[10]钟玉泉.复变函数论[M].北京，高等教育出版社，2013.