一种非迭代的声学反演点散射体散射系数方法*

张寅权， 王 宁， 李小雷， 张 爽

(中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛 266100)

一种非迭代的声学反演点散射体散射系数方法*

张寅权， 王 宁， 李小雷， 张 爽

(中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛 266100)

多体散射环境下，本文提出一种非迭代的声学反演点散射体散射系数的方法。这种方法运用非向量数学运算，从而避免测量多基地响应矩阵，与现有的方法相比更容易实现。本文对两种布设环境数值仿真验证该方法的有效性，并在噪声环境下将本文方法与现有的两种非迭代反演方法进行比较。仿真结果表明：(1)反演公式中矩阵的条件数由布设环境决定，布设环境通过条件数影响反演结果；(2)噪声对反演结果的影响程度取决于布设环境；(3)布设环境对三种方法的影响程度不同，本文方法与另外两种方法在不同布设环境中各有优劣。

非迭代； 反演； 散射系数； 点散射体

声散射反问题根据测量到的声波散射数据反演散射体位置、散射系数等信息。声散射反问题在超声无损探伤、医学超声成像、结石治疗等领域具有广泛的应用价值。

时反[1](Time reversal)是声波散射体定位和散射系数反演的基础。声学时反最早由Fink、Prada等人[2-3]提出，通过对接收的声信号进行时间反转并反向传播，实现未知介质环境下声波的自适应聚焦。如果介质中的声场格林函数已知，就能够根据发射信号确定聚焦点的位置。传统时反只能聚焦在声源或散射最强的散射体位置，为了能够聚焦在散射相对较弱的散射体上，Prada等人提出时反矩阵特征分解方法[4-6](DORT)，建立散射体与时反矩阵特征向量的一一对应。根据某个特征向量发射声波，声场可以聚焦在相应的散射体上。DORT方法要求散射体到接收换能器阵的声场格林函数向量相互正交，这使得DORT方法的空间分辨率比较低。Devaney等人将时反矩阵信号子空间与散射体到接收阵的声场格林函数向量联系起来，提出时反MUSIC方法[7-9]，极大提高了散射体定位的分辨率。Lehman[10]进一步将时反 MUSIC方法推广到收发分置、非互易介质环境。以上方法都是建立单体散射环境下，针对多体散射环境，Gruber[11]利用Newman级数证明时反 MUSIC方法在多体散射环境下仍然适用。Devaney[12]利用Foldy-Lax方程[13-15]描述多体散射，给出时反 MUSIC方法在多体散射环境下成立的一种简洁证明。

散射系数的反演建立在散射体定位的基础上。对这个问题的研究相对较少。Devaney[12]最早提出一种多体散射环境下反演点散射体散射系数的方法。该方法利用Foldy-Lax方程建立关于点散射体散射系数的非线性迭代方程组，并通过迭代求解点散射体的散射系数。为了避免迭代运算带来的收敛性问题，Marengo[16]给出一种非迭代的反演多体散射环境下点散射体散射系数的方法。该方法根据点散射体到接收阵或发射阵的声场背景格林函数向量(介质中不存在散射体时的声场格林函数)线性无关，推导出点散射体散射系数关于背景格林函数向量的解析公式。然而噪声会导致该解析公式与背景格林函数向量的线性无关不一致，从而使得散射系数的反演结果出现较大偏差。为了提高噪声环境下散射系数反演的鲁棒性，Xudong Chen[17]提出一种基于最小二乘法的非迭代方法。上述散射系数反演方法均用于反演多体散射环境下点散射体散射系数，要求散射体位置和背景格林函数已知，并且需要测量散射体的多基地响应矩阵(Multistatic responsematrix)，即多个声源依次发射声波，多个接收器记录声波与散射体作用后的散射波。

在散射体位置和背景格林函数已知的环境下，本文提出一种新的非迭代反演点散射体散射系数的方法。这种方法采用相同维度的向量对应元素相除这种特殊运算(不属于矩阵运算)，避免对矩阵求逆，从而只需要测量单个声源产生的散射场，相对多基地响应矩阵更容易获得。本文首先利用Foldy-Lax方程描述点散射体环境下的多体散射声场并阐述本文方法的基本原理；然后通过对两种布设环境作数值仿真，验证本文方法的有效性，并在噪声环境下同Marengo[16]和Xudong Chen[17]两种非迭代方法比较反演误差。仿真结果表明：

(1)无噪声环境下，本文方法能够准确反演散射系数；

(2)噪声环境下，三种方法的反演结果受布设环境的影响。不同布设环境，本文方法与另外两种方法各有优劣。

1 多个点散射体环境下声场的Foldy-Lax方程

(1)

点散射体位置的频域总声场表示为：

(2)

Eq.1和Eq.2就是描述多个点散射体环境下声场的Foldy-Lax方程。为了后面描述方便，将其分别写成矩阵的形式：

(3)

(4)

其中：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

G0(r,s,ω)=

(10)

G0(s,s,ω)=

(11)

2 散射系数的反演原理

同其它反演点散射体散射系数的方法[12,16-17]一样，本文提出的反演方法要求点散射体位置和背景格林函数已知。其中，点散射体位置可以通过时反MUSIC方法或其它途径确定。下面阐述本文方法的基本原理。

当接收器数目N大于点散射体数目M时，Eq.10矩阵G0(r,s,ω)列满秩，由Eq.3得:

(12)

将Eq.12代入Eq.4，点散射体位置的声场表示为，

(13)

接下来是本文方法的关键。根据Eq.6和Eq.9，

(14)

(15)

其中，“{ }m”表示取花括号中向量的第m个元素。Eq.12，Eq.13和Eq.15即本文反演点散射体散射系数的方法。

(16)

(17)

其中，上标“(1)，(2)，…，(M)”表示不同的发射声源。除了极个别情形，矩阵B可逆，散射系数表示为

Λ=AB-1，

(18)

由于本文方法采用Eq.15这样的非矩阵运算，所以避免对矩阵求逆，只需单个声源就可以操作。参考文献12，16和17反演散射系数时都采用严格的矩阵运算，因此它们都需要测量多基地响应矩阵。

3 数值仿真

这一节利用MATLAB数值仿真两种点散射体布设环境下的声场，检验本文方法的有效性，并且在不同信噪比条件下将本文方法与Marengo[16]和XudongChen[17]两种非迭代方法的反演结果进行比较。

3.1 仿真环境

前面提到，Marengo[16]和XudongChen[17]两种方法需要测量多基地响应矩阵，为了同这两种方法进行比较，本文通过收发合置的声学换能器阵构造多基地响应矩阵，本文方法的声源选择中间位置的换能器。

3.2 无噪声环境仿真结果

由图3和图4可见，无噪声环境下，本文方法能够准确地反演散射系数。

3.3 噪声环境仿真结果

噪声通过影响多基地响应矩阵干扰散射系数反演。被噪声污染的多基地响应矩阵表示为：

(19)

其中：K表示无噪声时的多基地响应矩阵；Noise表示噪声矩阵。同文献12、16、17相同，本文采用加性高斯白噪声(Additive white Gaussian noise)，矩阵元素是相互独立的零均值复高斯随机变量，信噪比定义为：

(20)

其中“‖ ‖”表示矩阵的F范数。

噪声环境下，散射系数的反演结果通过散射系数相对误差的百分比表示：

(21)

不同布设环境，不同信噪比，散射系数反演的相对误差如图5、6所示。两图为100次快拍统计平均的结果。对比图5和6可见：

(1)相同信噪比条件下，同一种方法在布设环境1中的反演误差小于布设环境2；(2)不同布设环境，本文方法与另外两种方法各有优劣。

本文方法与Marengo[16]方法对应不同的矩阵的广义逆，与Xudong Chen[17]方法相比，矩阵的广义逆在反演公式中的嵌入方式不同。因此改变布设环境对三种方法的产生不同程度的影响，本文方法与其它两种方法在不同布设环境下各有优劣。

4 结论

在散射体位置和背景格林函数已知的多体散射环境下，本文提出一种非迭代反演点散射体散射系数的方法。这种方法采用相同维度的向量对应元素相除这种特殊运算，不需要测量多基地响应矩阵。通过对两种布设环境数值仿真发现：

(1)无噪声环境下，本文方法能够准确地反演散射系数；

(2)噪声环境下，不同布设环境，矩阵G0(r，s，ω)和k的条件数越大，散射系数的反演误差越大；

(3)噪声环境下，布设环境对三种方法的影响程度不同。不同布设环境，本文方法与另外两种非迭代方法各有优劣。

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责任编辑 陈呈超

A Non-Iterativeacoustic Method to Obtain Scattering Coefficients of Multiple Point Scatterers

ZHANG Yin-Quan, WANG Ning, LI Xiao-Lei, ZHANG Shuang

(College of Information Science and Technology, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

In the environment of multi-body scattering, a non-iterative acoustic method is proposed in this paper to obtain the scattering coefficients of point scatters. The method takes advantage of anon-vector mathematic operation to avoid measuringmulti-static response matrix.Comparing with existing methods, the proposed method is more convenient to operate. To verify the method,two layout environmentsare simulatednumerically and the simulation results of the proposed method are compared with the results of two existing non-iterative methods. The above simulation has taken into account the effect of noise. The result of simulationdemonstrates that: (1) thecondition number of the matrixes that appear in the formulas of the aforementionedthree methods is determined by the layout environment. It is this way that the layout environment affects simulation result; (2)the influence degree of noisedepends on layout environment; (3) the influence degreeof layout environment on the condition number of the matrixesin the above three methodsis different.The performance of the three methods depends on specific layoutenvironment.

non-iterative； inversion； scattering coefficient； point scatter

国家自然科学基金项目(11374270;11374271)资助

2014-10-15；

2015-09-20

张寅权(1986-)，男，博士生。E-mail:zhyq_ouc@126.com

** 通讯作者： E-mail:zhyq_ouc@126.com

O429

A

1672-5174(2017)04-126-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20140412

张寅权， 王宁， 李小雷， 等. 一种非迭代的声学反演点散射体散射系数方法[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2017, 47(4): 126-131.

ZHANG Yin-Quan, WANG Ning, LI Xiao-Lei, et al. A non-iterativeacoustic method to obtain scattering coefficients of multiple point scatterers[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(4): 126-131.

Supported by the National Natural Science Foundation of China (11374270;11374271)