水下量子密钥分配的误码率和成码率*

史 鹏， 赵士成， 李文东， 顾永建**

(1.中国海洋大学物理系，山东 青岛 266100； 2.青岛理工大学理学院，山东 青岛 266520)

水下量子密钥分配的误码率和成码率*

史 鹏1,2， 赵士成1， 李文东1， 顾永建1**

(1.中国海洋大学物理系，山东 青岛 266100； 2.青岛理工大学理学院，山东 青岛 266520)

水下量子密钥分配可以为水下通信提供绝对安全的保密手段。水下量子密钥分配系统的误码率和成码率受到海水信道的光学性质、天气环境和通信系统硬件参数等的影响。本文从理论和实验上分析水下量子密钥分配的信道特性和系统硬件特性，估算其误码率和成码率，并给出系统参数的门限值，结果表明可在百米范围内进行绝对安全的水下量子密钥分配。

水下量子密钥分配； 海水信道； 量子误码率； 成码率

作为量子信息科学的重要分支，量子通信以量子态为信息载体，克服了传统密码术的安全隐患，在理论上是“绝对安全”的。近年来水下无线通信技术得到了迅速发展，这得益于水下传感网络、潜艇、各种水下航行器等水下系统的通信需求[1-3]，与此同时，水下量子通信，特别是水下量子密钥分配技术(Quantum key distribution，QKD)可以为其提供“绝对安全”的保密手段。目前，光纤量子通信、大气量子通信技术已趋于成熟[4-8]，正大步迈入实用化阶段；美国ITT Exelis公司已完成水下量子通信的可行性研究[9]，相应的实验研究即将在美国海军实验室展开，因此在国内适时开展水下量子通信的研究是十分必要的。

水下量子密钥分配与光纤和大气量子密钥分配的原理相同，特点是水下量子信道，关键是光子能否克服水下信道的衰减作用而成功到达接收端以及量子态(如偏振态)经过水下信道后能否被保持。由于海水环境和光学性质十分复杂，因此在海水中进行量子密钥分配较为困难，通信设备还要满足防水、耐高压和续航时间长等方面的要求。S.Jaruwatanadilok等已研究了海水信道对经典光通信的影响并分析了光的偏振变化情况[9-10]，但并未对量子通信的误码率和成码率进行讨论。在水下量子密钥分配中，安全通信距离和通信效率受制于通信中的比特误码率和成码率(密钥生成率)。影响量子通信的误码率和成码率的因素主要有两类：第一类来自海水信道的影响，由海水的光学性质和所处环境决定。首先，海水组成复杂、光学特性多变，水对光的吸收由水分子和水中物质与光子发生相互作用时的能量损耗造成。它会降低光子的数目，从而降低比特数和密钥的生成速率。其次，光子传输过程中会被水中的颗粒物散射改变传播路径，也造成了光能量的损耗，降低了成码率。若散射光被接收器接收探测到，根据Mie理论，散射会造成组成量子比特的光子偏振发生改变，引起误码。另外海水信道中的环境光会被作为噪声光子被探测到，直接影响水下量子密钥分配的误码率。第二类来自通信系统硬件性能的影响，决定硬件性能的参数主要有激光器的光脉冲频率、探测器门时间、探测器效率和光学器件参数等，它们既会影响误码率，也会影响成码率。

事实上，误码率的大小也限制了密钥的成码率，因此本文将以误码率和成码率为主要的评价参数，理论和实验上研究了水下量子密钥分配的信道特性和系统硬件特性等。研究内容主要涉及分立变量的量子密钥分配(单光子量子通信)情况。

1 海水信道和水下量子密钥分配系统

水下量子密钥分配系统主要由发射端和接收端两部分构成，传输信道为海水，光子在海水信道中的传输示意图见图1。图中θ为散射角，φ为方位角，发射端发出的光子受到海水信道的吸收和散射作用后被接收器接收并被探测器探测到，接收端有一定的接收孔径和视场角(接收孔径A，视场角Fov)。

1.1 海水信道

海水是组成结构极其复杂的混合物[11]，根据海水中物质的种类、含量和分布等不同可将海水分为一类大洋水体和二类近岸和河口水体。海水在不同的地理位置和季节会呈现出不同的光学特性。大体上说，海水的光学性质包括[12-14]：由海水中的溶解物和悬浮粒子以及海水介质的电磁学性质决定的固有光学性质和其测量值受制于辐射光分布的表观光学性质。固有光学性质通常指固有的吸收和散射性质。

海水信道对光具有强的衰减作用，主要由海水的吸收性质和海水中颗粒物的散射性质决定。累加的吸收和散射效果可以用消光系数μe来描述[9,11]：μe(λ)=μa(λ)+μs(λ)，其中μa为吸收系数，μs为散射系数，单位都是m-1。于是光子经过传输距离l后，没有被吸收或散射的光子数目为：

N(l)=N0e-μe(λ)l，

(1)

其中：N0为初始时刻发射光子的总数目；N(l)为在水中传输距离l后剩下的光子数。

消光系数(吸收系数、散射系数)的大小受海水中溶解物和颗粒物的种类和分布影响，且与入射光的波长有关。众所周知，光在水下的传输有一个光学窗口[11]，从纯海水吸收光谱看出波长范围在350 nm<λ<550 nm之间的蓝绿光在纯海水中的衰减较小，与水下经典光通信一样，水下量子密钥分配的激光发射器波长以选择蓝绿光波段为宜。为了研究的方便，Jerlov提出了一套被广泛使用的海水分类方案。一类水体(开阔大洋水)可分为五类海水类型[15,16]，代号分别是I，IA，IB，II，III，每一类水体中的光学性质近似看作是相同的、不变的。表1给出了其中有代表性的三类Jerlov海水类型所对应的总消光系数(其中波长λ=480 nm)。

1.2 量子密钥分配系统光路

BB84协议是最早被提出并被广泛采用的量子密钥分配协议[17]，本协议是一个四态协议，使用了两组非正交的量子态对信息编码。为了方便描述，以光子偏振态为例，用|H〉,|V〉,|P〉,|M〉分别表征偏振状态为水平、垂直、45°和135°的线偏振光，通信双方Alice和Bob事先约定把|H〉和|P〉量子态编码为二进制的“0”，把|V〉和|M〉量子态编码为“1”。Bob接收到光子后随机选择正测量基(⊕)或斜测量基(⊗)对光子偏振态进行测量。通信双方经过发送光子、对基、密钥筛选、窃听检测和数据后处理等一系列步骤最终产生安全密钥。通过BB84协议的流程可知，密钥不是从Alice传递到Bob，而是在通信的过程中逐渐生成的。密钥的产生依赖于Alice和Bob的随机行为，在密钥分配协议结束之前，任何人包括合法的通信双方都无法得知密钥的最终形式。该协议可用量子力学原理和量子不可克隆定理证明是无条件绝对安全的。

图2是我们设计的水下量子密钥分配系统的光路，a为发射端，b为接收端，系统使用BB84协议。

本系统发射端使用四个激光二极管(LD：中心波长450 nm，光脉冲频率1 MHz)作为光源，接收端使用4个光子计数探头(SPD：峰值波长420 nm)作为探测器。为了获得准单光子，采用光衰减片ODC衰减光脉冲方法，使每个光脉冲中的平均光子数为0.1，此时衰减光中的空脉冲约占90.5%，光子数大于等于2的脉冲出现的概率不超过0.5%。四路光分别经偏振片P起偏后获得四种偏振光，通过偏振无关分束棱镜BS和反射镜R合束至出射光路中。在接收端，偏振无关分束棱镜BS起到随机选择检偏基的作用，将接收到的光子分别经过两个偏振分束棱镜PBS进行检偏，检偏结果通过光子计数探头的计数来反映。其中半波片QP的作用是将|P〉和|M〉偏振光旋转为|H〉和|V〉偏振光。

发射端和接收端电路部分通过计算机控制，进行信号的发射、同步和采集工作。海水信道用装满水的玻璃水槽模拟，水槽上安装光学窗口(双面增透膜，450 nm光透过率>99%)。

2 水下量子密钥分配的误码率分析

量子误码率(Quantum bit error rate，QBER)是量子密钥分配系统的重要指标[18-19]。它表示所探测到的光子态中探测出错的概率。在水下量子通信中，误码率与背景光噪声、散射噪声、暗计数噪声和热噪声等有关，研究表明，在较小的接收孔径和视场角限制下，散射光子带来的散射噪声是可以忽略的。那么通信过程中的主要误码来源于信道背景光和量子密钥分配系统。对BB84协议系统，如果不考虑散射光子噪声的影响，QBER计算公式如下[9]：

(2)

其中

(3)

两式中：η为探测器效率(典型值取30%)；N(l)为单位时间接收到的信号光子数；Idc为探测器暗记数;h为普朗克常量；C为真空光速；Rd(λ)为环境辐照度谱;Δt为光脉冲周期(典型值取35 ns)；A′为接收孔径面积(典型值取30 cm2)；Δt′为接收器门时间(典型值取200 ps)；Δλ为谱线宽度(典型值取0.12 nm)；λ为光波长(典型值取480 nm)；Ω为探测器视场立体角，取π[1-cos(FOV)]，其中视场角FOV典型值取10°。

2.1 海水背景光误码

在水下有两种背景光：一种是来自太阳、月亮和星星的辐射或反射。这些光在水中传播时可以被分子和颗粒物散射，然后被接收器以背景光的形式接收探测到，因此接收器通光口放置的朝向会影响接收到的背景光数值的大小。事实上在海底大洋带以下，通常包括水深200 m以下的全部水域，终年黑暗，阳光几乎不能透入[20]。另一种背景光是由水中的发光体产生的，比如水中会发光的生物或者自发光的物体等，那么进行水下量子密钥分配时应该尽量远离这些发光体。

本文主要讨论第一种背景光，假设波长为λ的光在海平面上的环境辐照度为E0(λ)，表2列出了几种常见天气情况下，可见光波段(400～700 nm)入射到海平面上的总辐照度[20]。

假定光垂直射入海面，在海水某一深度z中，下行辐照度可近似表示[20]为

Rd(λ)=E0(λ)e-K(λ)z，

(4)

其中：E0(λ)为海平面上的辐照度谱；K(λ)为海水平均漫衰减系数，以上两个量都与波长有关。我们考虑最苛刻的条件，假定接收器无滤波片，可以接收到全波段的杂散背景光，并且我们选择海水的漫衰减系数为波长480 nm时的漫衰减系数0.018 4 m-1，由于波长为480 nm时海水对光的漫衰减比其他波长弱[20]，所以计算得到的下行全波段背景光噪声只会比真实环境强。

如果把背景光考虑在内，背景光的误码会远远大于散射光子和系统噪声的误码，成为影响QBER的最大因素。作为算例，我们选取距海水平面200米深处的海洋环境(下行辐照度)，研究了量子密钥分配在该深度不同传输距离下的QBER变化情况，如图3所示。计算中衰减系数取Jerlov类型I海水参数，激光器的光脉冲频率1MHz，系统参数选取目前水下通信系统参数的典型值，并且不考虑探测器效率和暗记数。

在水下量子密钥分配中，若不考虑背景光和系统误码(只有极少散射光时)，则QBER接近0(图中黑色倒三角，坐标值在左侧)。背景光存在时，海水对信号光的衰减强烈，接收到的信号光子数随着传输距离增加而指数减少(公式1)，但是背景光不会因传输距离而变化，因此，背景光所占的比重会增大(天空越亮比重越大)，从而使信噪比降低，并且随着距离的增加这种影响也会更加明显。图3中QBER的变化趋势很好的验证了上面的分析，同时可预测，在中等浑浊海水和最浑浊海水中，QBER增大的趋势更明显。

对于BB84协议来说，如果系统的QBER≤10%，系统对于任意复杂的量子攻击都是安全的[9]；如果QBER≤25%，对简单的截获-重发窃听来说是安全的。模拟结果表明：多云的夜晚情况下，在最清澈海水200 m深处单光子水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击的最大安全距离可超过130 m；在晴朗的星夜，在最清澈海水中单光子水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击的最大安全距离可达60 m，抵抗简单的截获-重发窃听的最大安全距离约为107 m。

考虑到海水不同深处背景光噪声不同，作为算例，我们选取了水深100～500 m的范围，估算了在晴朗的星夜和多云夜晚两种天气条件下，光子传输100 m后的量子误码率，见图4。海水衰减系数取Jerlov类型I海水参数，激光器的光脉冲频率1 MHz，系统参数选取目前水下通信系统参数的典型值。

图中可以清晰看出，随着深度的增加，误码率呈现下降趋势，且在同一深度，晴朗星夜要比多云夜晚的误码率高。模拟结果表明：在传输距离定为100 m时，多云的夜晚情况下，在最清澈海水中单光子水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击需下潜至130 m深以下；在晴朗的星夜，在最清澈海水中单光子水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击需下潜至260 m深以下，而抵抗简单的截获-重发窃听需下潜至185 m深以下。

2.2 系统误码

暗计数属于系统噪声，它取决于单光子探测器的物理特性，是一种系统固有的噪声。此外系统中的比特周期、谱线宽度、门时间、接收孔径面积、探测效率等也会对误码率有影响。根据量子密钥分配系统的量子误码率表达式，针对清澈海水环境，采取控制变量法可计算误码率与系统各个参数的关系。计算表明：量子误码率与谱线宽度、门时间、接收孔径面积、暗计数和探测器视场角成正相关；与比特周期和探测效率成负相关。表3列出了在误码率门限值内各个参数可选取的范围(假定光子在最清澈的海水中传输100 m)，可为水下量子密钥分配系统光学元件的选型提供有益的参考。

值得一提的是，另一种系统误码来源于不理想的光学器件，通过分析可知能导致光子偏振劣化引起误码的元器件主要有：接收端的偏振无关分束棱镜BS和偏振检测棱镜(偏振分束器PBS)。其中对BS的要求是等概率的将接收到的光分为两路，并且真正做到不改变原有光子的偏振状态。在目前普遍选用的商品化偏振无关分束器中，基本可以满足半透半反的要求，但是不能保证对透射光和反射光中的水平和垂直分量具有相同的相移[21]，因此会引起偏振消光比的退化，带来误码。可以通过对BS进行多层镀膜或者使用正交对称结构的光路设计等方案来进行偏振补偿[22]，改进后可有效降低BS引起的误码。而对于PBS而言，目前优秀的棱镜型分束器的偏振消光比一般会超过105，则由它所引起的误码率不会超过10-5，所以考虑光学器件对误码率影响时可以忽略PBS的影响。

3 水下量子密钥分配的成码率估算

在实际量子密钥分配系统中，以BB84协议为例，经过海水信道的衰减和Alice、Bob对基筛选步骤之后，筛选密钥(Sifted key)的成码率可以表示为[18]

(5)

其中:ν为激光器发出的光脉冲频率；μ为每个脉冲中的平均光子数；a为海水信道的衰减率；QBER为量子误码率；η为单光子探测器的探测效率。可见，影响成码率的因素主要有激光器发出的光脉冲频率，海水信道的衰减率，误码率和探测器的探测效率。理论上，提高脉冲频率和探测器的探测效率，降低误码率可以获得较高的成码率。

以晴朗星夜天气为例，可以估算此天气条件下的筛选密钥成码率(Jerlov类型I海水深度200 m)，见图5。激光脉冲频率取40 MHz[9]，平均光子数取0.1/脉冲，系统参数选取目前水下光通信系统参数典型值。

结果表明：使用目前水下光通信系统的参数指标，在晴朗的星夜，清澈海水中单光子水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击的情况下，筛选密钥成码率理论上可达207 kbps；而在可抵抗简单的截获-重发窃听的情况下，筛选密钥成码率理论上约为45 kbps。

4 水下量子密钥分配实验

4.1 实验系统的误码率和成码率估算

图6所示为取实验系统参数时量子误码率随传输距离变化的理论估算值，其中海水种类我们仍然选取Jerlov类型I海水。图中黑色三角形表示不考虑背景光时的误码率，其坐标值在左侧，红色正方形表示考虑到有背景光时的误码率，其坐标值在右侧，其中计算机仿真所使用的背景光大小是在实验室的黑暗环境下实测的数据(激光器的光脉冲频率1 MHz，平均光子数0.1/脉冲，光电倍增管的探测效率约20%，接收孔径面积约0.78 cm2，视场角约87 mrad，实验室暗房背景光计数率实测值约为135 Hz)。

在当前实验条件下，理论上水下量子密钥分配能够抗拒任意量子攻击的最大安全距离可达127 m，此时通信sifted密钥成码率的最大理论值约216 bps；如果传输2.4 m，误码率理论值约0.24%，sifted密钥成码率的理论值约9.1 kbps。

4.2 水下量子密钥分配误码率和成码率实验结果

按照图2光路搭建BB84协议水下量子密钥分配实验系统进行实验，现阶段，我们在2.4 m长的水槽(使用自来水)实验中，测得的误码率平均值约2.57%，原始密钥成码率约1.6 kbps，见图7。

5 结语

在水下量子密钥分配实验中，海水信道的衰减将会降低通信的比特率，背景噪声和系统误码将增加错误比特的出现几率，进而使误码率增大。海水信道的衰减是无法避免的，由于Alice发送的信号光子是单光子，所以不能通过增大信号强度的方法来提高信噪比。为了增大成码率，降低误码率，行之有效的方法是提高激光脉冲的发射频率，减少背景噪声，完善系统及光学元件的性能，并选择合适的参数。例如使用空间、频谱和时域上的滤波技术可以有效的降低背景光的进入：通过控制接收孔径大小和视场角来实现空间滤波；或者在探测器前放置一个窄带滤波器来阻止非信号光频率的背景光，以达到频谱滤波的作用；或使用时间门滤波器，只让信号光子进入探测器，时域外的噪声光子被时间窗口阻止在外。

本文的模拟结果表明，就目前水下无线光通信系统参数的典型取值，选择合适的海域和天气情况，可在百米范围内进行绝对安全的水下量子密钥分配。文中只计算了背景光误码、系统误码和sifted密钥成码率，实际上密钥后处理算法的效率、有限尺度效应(Finite-size effects)[23]和经典通信的速率都会影响最大通信距离和最终密钥成码率，实际通信时必须要综合考虑。

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责任编辑 陈呈超

Bit Error Rate and Key Generation Rate for Underwater Quantum Key Distribution

SHI Peng1,2, ZHAO Shi-Cheng1, LI Wen-Dong1, GU Yong-Jian1

(1.Department of Physics, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2.School of Science, Qingdao Technological University, Qingdao 266520, China)

As an important branch of quantum information, quantum communication with quantum states as information carriers, overcomes the security risk of the traditional cryptography, and is “absolutely safe” in theory. Driven by the communication requirements of underwater sensor networks, submarines and all kinds of underwater vehicles, underwater wireless optical communication has been developing rapidly in recent years, for which underwater quantum key distribution (QKD) can provide absolute security. The bit error rate and key generation rate for underwater quantum key distribution system can be affected by optical properties of the sea channel, environments and parameters of the system hardware. In this paper, the seawater channel properties and the system hardware characteristics of underwater quantum key distribution are analyzed theoretically and experimentally in order to estimate the bit error rate and key generation rate, and the thresholds of system parameters are given after the analysis. Firstly, we establish and improve the model of underwater quantum channels. By programming we study the underwater transfer properties of polarized photons with computer simulation. Sceondly, we investigate the optical signal attenuation of the sea channels. Considering the influence of background noise, we estimate the error rate and the sifted key rate in underwater quantum communication. We get the error rate as a function of communication distance, and the error rate with different depths of seawater in Jerlov Type I ocean water. Thirdly, we analyze the hardware characteristics of the QKD system and evaluate the effects of sources, detectors, optical devices on the performance of the system. Fourthly, we get the sifted key generation rate as a function of communication distance. The above research results show that in the night when background noise is weak it is theoretically feasible to achieve absolute security underwater QKD within 127 meters range in the clear ocean waters with the key generation rate of 216 bps. Finally, we complete the development of the underwater QKD experimental system and test it. Our development work includes the design and build of the optical system, the circuit hardware and software system. The underwater QKD system includes emitter and recevier, and uses the most mature and most widely used BB84 protocol based on the polarization encoding. According to the requirements of underwater communication, we use the laser diode with the wavelength of 450 nm. Based on this QKD system, we carry out experiments of underwater QKD in 2.4 meters water tank, and the experimental result shows that the error rate is about 2.57% with the key generation rate of 1.6 Kbps.

underwater quantum key distribution; ocean channel; quantum bit error rate; key generation rate

国家自然科学基金项目(60677044，11304174)；中央高校基本科研业务费专项(201313012)资助

2014-11-02；

2015-10-15

史 鹏(1984-)，男，讲师，博士。E-mail:sunplion@163.com

** 通讯作者：E-mail：yjgu@ouc.edu.cn

E963；O43；P733.3+2

A

1672-5174(2017)04-114-07

10.16441/j.cnki.hdxb.20140381

史鹏， 赵士成， 李文东， 等. 水下量子密钥分配的误码率和成码率[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2017, 47(4): 114-120.

SHI Peng, ZHAO Shi-Cheng, LI Wen-Dong, et al. Bit error rate and key generation rate for underwater quantum key distribution[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(4): 114-120.

Supported by Natural Science Foundation of China(60677044,11304174); The Fundamental Research Funds for the Central Universities(201313012)