探究课本习题，拓展数学思维

杨爱云

摘 要：现阶段，高中学生花费了大量的时间来完成各科教辅资料，他们盲目追求课外资料而忽略了对课本的研读与课后习题的钻研。对此，教师必须引导学生认真研读每年的高考考试大纲，了解高考试卷的出题办法，让学生认识到万变不离其宗——课本，只有在平时的学习中更多地关注课本和研究课后习题，才能在高考的战场上立于不败之地。

关键词：直线;方程;数形结合

中图分类号：G63     文献标识码：A     文章编号：1673-9132（2017）05-0078-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.048

人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修2）中有一道习题：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线的方程。对于此题，很多学生看后，不以为然，有的甚至不屑动手，因为总觉得用自己的解法能很快得出答案。见此情形，我提问学生有哪些不同的解法。

生1：采用点斜式。

解法1：如图1，由P、Q两点的坐标可知入射光线的斜率，再由几何关系知反射光线的斜率k反=-1，再根据点斜式的方程得入射光线与反射光线的方程分别为：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

教师：这位同学的解法很好！用到了最常规的做法。请大家再思考一下，还可以用其他的方法来解决吗？通过这样一问，学生开始画图，互相讨论，构思自己的解法。

生2：采用点关于法线对称和两点式。

解法2：如图1，由几何关系知P（6，4）关于法线x=2的对称点P'（-2，4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

生3：采用点关于x轴对称和两点式。

解法3：如图1： 由几何关系知P关于x轴的对称点p'（6，-4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

生4：采用光的反射原理和点斜式。

解法4：如图1，由P、Q两点的坐标可知入射光线的斜率，则入射光线的倾斜角为45°，入射角为45°，反射角为45°，反射光线的倾斜角为135°，则反射光线的斜率。再根据点斜式方程得入射光线与反射光线的方程分别为：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

教师：大家的方法都很好！但是光线能反射一次，就可以进行第二次反射，根据你们给出的多种解法，我对题目进行适当的改编，想让其发挥更好的作用。

变式：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点Q（3，0），经x轴第一次反射后射向y轴，再由y轴进行第二次反射，求入射光线、第一次反射光线l2和第二次反射光线l3的方程。

给出题目后，学生的表现大不一样，个个都抢着要说自己的想法，我就随机叫起了几名学生来回答。

生5：求l1的方程时可用两点式。

解法：如图2，入射光线l1经过点p（6，4）和Q（3，0），所以利用两点式的方程得l1的方程为4x-3y-4=0。

生6：求l2的方程时可用截距式。

解法：如图2，由几何关系知，反射光线l2经过点Q（3，0）和p（6，4）关于直线x=3的对称点M（0，4），所以利用截距式的方程得l2的方程为，化为一般式为4x+3y-12=0。

生7：求l3的方程时可用斜截式。

解法：如图2，点Q（3，0）关于x轴对称点Q'（-3，0），则 l3的斜率，则l3可利用直线的斜截式方程得，化为一般式为4x-3y+4=0。

教师：这几名同学的解法很好，通过解决这个问题，将直线方程的几种形式都呈现了出来。

另外，在推广应用中，要拓展学生数学思维的活度。

题根：已知直线L经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点，求点 A（5，0）到 L的距离的最大值。

生8：（代数法）由解的交点P（2，1），过P（2，1）任意作直线垂直于l，设d为A到l的距离，则（当是等号成立），所以。

生9：（几何法）如图3，以AP为直径作圆，过P（2，1）的直线与圆交于B，连接 AB，由几何关系知AB就是点A（5，0）到 l的距离，当直线l转动使得弦 AB与 AP重合时，点A到直线 l的距离最大。

。

教师：很好的几何方法，数形结合，应用很完美！本节课通过探究一道课本中的习题，使学生的探究意识和思维方式得到了锻炼，掌握的数学知识得到了梳理和融合，真正提升了使用数学知识解决实际问题的能力。如果长期坚持，我们学习数学能力和应用数学的能力就会不断提高。