一类条件代数不等式的统一推广

郭要红 刘其右

（安徽师范大学数学计算机科学学院 241000）

2009年《数学通报》第8期数学问题1808如下：

问题1808[1]已知正数a，b满足a+b=1，求证：

2010年《数学通报》第1期数学问题1833如下：

问题1833[2]已知a，b＞0，且a+b=1，求证：

对不等式（1）、（2），文[3]从项数与指数出发，给出了如下推广：

定理1设，则

2015年《数学通报》第4期数学问题2238如下：

问题2238[4]已知x，y是满足x+y=1的正实数，求证：

对不等式（1）、（2）、（4），文[5]从指数出发，给出了如下推广：

定理2设a，b＞0，且a+b=1，对任意的正整数m，n＞2（m≥2），则有

本文从指数与项数入手，给出不等式（3）、（5）的一个统一推广.

定理3设n∈N*，p∈N*，q∈N*，ai＞0，则

证明利用恒等式

有

利用算术—几何均值不等式，有

将上述n各不等式相乘，得

即

其中s是（*）式中应用算术—几何均值不等式的乘积项数，u，v，w分别是根号下的正幂指数，所以

所以

（6）式成立.

由算术—几何均值不等式等号成立的条件知，（6）式等号成立当且仅当时，证毕.