对模型教学以及探求建模的一些思考

周龙虎 刘师妤

（1.湖北省华中师范大学第一附属中学 全国新青年数学工作室430223；2.湖北省武汉市英格中学430079）

高中数学中，有很多章节涉及数学模型及实际应用等内容，但更多的一线教师对这一块的处理办法往往是一带而过甚至根本不讲，仅因为其产生的高考效益不高，这是现今教学中典型的重“目标教学”轻“过程教学”的乱象.谋求数学上的发展应是一个怀石成玉、怀沙成珠的过程，数学能力的培养、数学素养的养成在于朝朝夕夕、点点滴滴.数学模型给我们提供的不仅仅只是解决问题的程序与步骤，更应是解决问题的思维方式.2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出高中数学课程需要设立“数学探究”“数学建模”等学习活动以及体现数学某些重要应用的专题课程.要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验，使问题得到解决”.为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣，发展他们的创新意识.这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要.因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，具有探索新知识、新方法的创造性思维能力.

基于这种考量，利用数学模型原型作为教学资源，启发引导学生建立数学模型解决问题的教学思路逐渐形成，就是我们常说的数学模型思想.数学模型思想就是利用数学语言（包括符号、图形、公式）模拟现实问题的模型，把问题原型进行抽象、概括、假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构是完全形式化和符号化的模型，从而指导相关数学问题的研究和解决的一种演绎思想.

数学模型思想的提炼、内化离不开数学建模，哪怕我们在平时的教学中只做其中的某些步骤.文[1]中张思明老师以鲜活的、可借鉴的建模案例全方位地展现了中学教师如何做好中学数学建模，对落实数学学科核心素养、提升数学课程价值意义重大.文[2]中章建跃等老师围绕着函数y=Asin（ω x+φ）的修订研究工作谈到了建模思想应至始至终贯穿于整个建模——解模过程中，即使得到模型后也不能仅限于在数学内部研究问题，要体现模型回归实际意义的过程，而不是简单的说明.文[3]中张唯一老师以高中概率的教学为例，也呼吁要加强建模的抽象过程和解释过程，并加强模型的对比.这给我们的教学作了很好的一个引领作用，数学建模思想的介入，使得较笼统的、不太确定的教学过程变得有机相连、层层递进、环环相扣，科学的解释性和精确性得到充分的体现.经过不断的探索和经验的积累，我们已经对某些模型研究得非常成熟了，如对勾函数模型、立几中的正方体模型、四面都是直角三角形的三棱锥模型等.相信随着研究的深入，我们模型教学的素材会愈加贴近生活，愈有数学味.但数学模型原型虽作为一种很好的介入方式，但能否顺应出新问题的建模及解模，是一个值得思考的问题，笔者以《建立不等式模型解决实际问题》为例，展示从数学模型原型出发，到探求数学模型的教学思路与做法，以期与同行交流.

1 教学设计

1.1 教学内容解析

本课内容是高三第一轮复习《不等式与不等式选讲》章节中的一节课，这一章的主要内容有：不等关系与不等式、一元二次不等式的解法、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题、基本不等式、绝对值不等式以及不等式的证明.建立不等式模型解决实际问题基于建立不等式模型和求解不等式的方法两大块，因此本节课的重点是进一步完备建模的思想，引导学生建立不等式模型并求解.

本节课是继建立函数模型后再一次数学建模的拓展，在不等式相关知识背景下展开，目的在于再现建模方法、体现不等式价值、强调数学应用.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

建立不等式模型解决实际问题

1.2 学生学情诊断

学生在《函数、导数及其应用》章节中已经学习了建立函数模型解决实际问题，并在《不等式与不等式选讲》章节中学习了不等式的性质、解不等式及不等式的证明，对建立数学模型有了初步的认识，但对于从实际问题中抽象出数学模型的能力仍有欠缺.第一轮复习阶段学生对建立不等式模型的思想的理解还比较模糊，对于实际问题中有用信息的收集与转化、变量关系的处理仍感到困难，尤其是不容易建立不等式模型解决实际问题.

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

不等式模型的建立

1.3 教学标准设置

（1）通过数学测试得分、绿化投资方案比较两个简单实例，能抓住题中“不低于”、“不少于”等关键词，感受“关键词”在建立不等式模型中的作用；

（2）通过人员调整利润最大化和高峰期增开售票窗口两个例题，对文字材料进行分析、获取并整理信息，并在已有认知基础上建立不等式模型，感受建立不等式模型的思维过程与方法；

（3）经历建立不等式模型解决实际问题的过程，加深对建模过程的认识，体会建模的思想与方法.

1.4 教学策略分析

高三第一轮复习课旨在核心知识再梳理、知识网络的构建、思想方法上逐步提升.本节课采用的是“逐步递进式”，即遵照“易建模，易解模”→“易建模，难解模”→“难建模，易解模”的思路展开.通过对实例的探究，让学生进一步明确建立不等式模型解决实际问题，提升数学建模的意识，体会收集信息、整理信息对应用不等式建立模型的重要性.

2 课堂演示

2.1 基础训练

引例1在一次数学测试中，一共有16个选择题，规定答对一题得6分，答错一题扣2分，不答不得分也不扣分.该同学只有一道题未答.该同学答对多少道题，其得分不低于70分？设该同学答对的题数为x道，则不等关系为：_______.

引例2某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元.列出不等式表示“经过n年后，方案B的投入不少于方案A的投入”为：________.

评析以学生熟悉的题型入手，开门见山，体会建立不等式模型在解决实际问题中的作用.

2.2 实例探究

例1某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，同时为了保证企业正常的运转，规定调整出的员工人数x（x∈N*）应满足300≤x≤400.调整后从事第三产业员工平均每人每年创造利润为，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）请问能保证剩下员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润吗？

（2）若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

评析以实际应用问题形式给出的不等关系，需要学生加工、整理信息转化为数学不等关系，从而建立该问题的不等式模型或由函数模型进一步转化为不等式模型，再根据问题的求解目标，选择使用不等式的方法，通过求解不等式，回归实际问题实际意义达到解题的目的.

为直观表达题干中有关量的关系，可引导学生建立如下表格，使数学表达到建立模型更顺畅、快捷.

人数 人均创造利润 年总利润调整前10 00 10 10 00 0_____________调整后第三产业 x 10a-3x（ ）50 0 10x a-3x（ ）50 0原产业 10 00-x 10（1+0.2x%） 10（10 00-x）（1+0.2x%）

例2春运期间，各车站通过增加售票窗口、检票窗口、班次等方式来减少旅客的滞留量.旅客在车站排队购票，并且排队的旅客可视为均匀增加.若只开设一个售票窗口，需要40分钟将等待购票的旅客的车票全部售出（假设每名排队旅客只能购一张所需车票）；若只开设两个售票窗口，只需15分钟将等待购票的旅客的车票全部售出.现有一班增开客车进站运送旅客.因时间紧张，所有排队购票的旅客必须在5分钟内全部购票上车（假设等待购票的旅客都乘坐该车，并且购票后立即上车），问此时车站最少要同时开放几个售票窗口？

评析本题的变量关系具有一定的隐蔽性，引导学生搜集信息、加工信息是本题的一大难点.

教学片段

师：同学们先认真审题

生：【审题、思考】

师：审完题了，不太好下手吧，我先提三个问题供大家思考：（1）本例要解决的问题是什么？（2）问题如何用文字语言表述？（3）文字语言中的量如何用数学符号语言表示？并用表格呈现出来（投影显示）.

请大家回忆我们解决前面两个问题的思维过程，认真讨论，我再请同学回答.

生：【思考、讨论】

师：有没有哪位同学主动回答这个问题？

生1：需要解决的是“旅客必须在5分钟内全部购票上车，求此时开设的最少窗口数”.

师：对，如何用文字不等式表示呢？

生1：【思考】

师：怎样保证旅客在5分钟内全部购票上车？

生1：5分钟内窗口能售出的票数不得少于购票的旅客人数.

师：一个窗口可以保证吗？

生1：不能，设开n个窗口.

师：即5分钟内n个窗口能售出的票数≥5分钟内排队购票的旅客人数

师：那这个不等关系中涉及哪些量呢？

生1：5分钟内的购票人数以及排队购票的旅客人数.

师：很好，如何表示呢？我们先来表示排队购票的旅客人数.

生1：排队购票的旅客人数包括两部分，一是已经在车站等的旅客，二是均匀增加陆续来的旅客.

师：非常好！如何表示出排队购票的旅客人数中的两个量呢？

生1：设售票开始时排队旅客购票的旅客有x人，排队的人数每分钟增加y人，从而5分钟内排队购票的旅客人数为x+5y.

师：很好，再看左边，5分钟内n个窗口能售出的票数又该如何表示呢？

生1：设每售一张票的时间为t0（分钟），5分钟内n个窗口能售出的票数为.

师：这个不等关系就为？

师：真不错，请坐！要解决这个问题，光知道这个不等式还不能求出n，我们还要进一步寻求x，y，t0的关系，请同学们接着审题，确定需要哪些量并用表格表示出来，找出其它关系.

生：【再审题、思考并讨论】

师：大家应该得到x，y，t0的其他关系了吧，我们请同学展示一下你们的成果.

生2：有售票窗口数、售票时间、售票初排队人数、排队人数均匀增速、能售出的票数和购票人数这些量.还满足.

【投影显示】

如何求n呢？

生：由（1）（2）可以消参，用t0表示x，y.

师：这个问题也圆满解决了，看来大家运用数学的能力很强！从该例来看，获得模型较困难，解模却很容易，因而搜集信息、转化信息就显得尤为重要.相比而言，例1中直接可建立不等式，但解模要稍复杂些.两个例题揭示了建立不等式模型解决实际问题中两个很重要的本领：一个是“建”的本领，认真审题、对信息去粗存精；另一个是“解”的本领，解一般不等式的方法、不等式恒成立问题的求解办法.

评析该问题是本节课的核心问题，为了保证预期解模的成功，教师没有急于告知，而是搭建一定的脚手架，并给学生充分的时间思考、探索及表达，让整个数学建模过程紧张而激烈，对增强学生攻克难题的信心、解决问题的有序性都大有帮助.

2.3 归纳提升

师生共同总结建立不等式模型解决实际问题的基本步骤：

1.审题 → 寻求变量关系；

2.建模 → 建立不等式；

3.解模 → 求解不等式；

4.作答 → 回归实际意义.

评析从两个实例的探究过程中归纳出建立数学模型的基本步骤，并进一步明确建立不等式模型的方法.

2.4 练习巩固

某大学为推进后勤社会化改革，与光谷新区商定：由该区向银行贷款500万元在光谷新区为学校建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2014年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还银行贷款（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底偿还银行贷款.

（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还银行贷款.

（2）若公寓管理处要在20 22年底把银行贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到一元）.

（参考数据：l g1.73 43=0.2391，l g1.05=0.0212，1.058=1.4774.）

评析数列、不等式在银行贷款及利率方面的应用是学生熟悉的一类实际问题，引导学生分析问题中的文字语言如“到哪一年可偿还银行贷款”表面上是等量关系，实质上是不等关系.

2.5 作业布置

1.某地铁路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站，并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以平均速度vk m/h行驶，现规定列车从A站到达某站的实际时间与时刻表上相应的规定时间之差的绝对值W为列车在该站的运行误差.

（1）分别写出列车在B，C两站的运行误差WB，WC.

（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围.

2.夏天，某省电网用电短缺：每天从早晨8点整到下午6点整为用电正常期，每小时缺电300万千瓦；从下午6点整到晚上10点整为用电高峰期，每小时缺电750万千瓦；从晚上10点整到次日早晨8点整为用电低谷期，每小时缺电100万千瓦.现从外省购买电量（定值），量少可直接被电网使用，量多可蓄能再用.已知购买价格为每度（千瓦时）0.5元，蓄能电站每吸收1度电可发0.6度电；除输入电量的成本外，电站每发1度电的额外成本S与每天发出的总电量Q（万度）之间的关系是元.为保证该省电网正常运转的情况下，每小时需购买多少万千瓦的电量时，每日（从晚10点整到次日10点整）成本最低？

3.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.

（1）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？

（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

问哪一种方案较为合算，请说明理由.

评析通过作业与思考中不同实际问题情境的设置，进一步强化学生利用不等式建模的意识，提高学生的分析能力和应用数学的能力.

3 课后反思

通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的主体应该是学生.一堂好课，师生一定会积极的互动，并有良好的情感交流.本节课的教学中，较难的不等式模型是在老师的引导下建立的，学生通过在解决实际问题的过程中“抽出”的，并通过所学知识，完成解模的过程，学生真正体会到数学应用的魅力.

可取之处：一是教学设计简洁明快，将建立不等式模型解决实际问题的核心定位在建模和解模两大块，尤其是在高中学习阶段最易忽视的利用信息转化建立模型方面作了一些尝试，并取得了一定的教学效果；二是教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.

改进之处：由于时间有限，在暴露学生问题、思维过程等方面略显不足，探究过程中还应让更多的学生发表自己的看法.

4 教学点评

本节课是第一轮复习中的复习课，对这节课如何“选材”进行了认真的思考，对怎样建模作了几点尝试.

选材：一是选材源于教材、贴近生活.如引例2选自必修5的课后习题，以等差数列前n项和作为知识背景，建构的是学生熟悉的数列不等式模型；二是选材注重“四性”—层次性、典型性、趣味性、探究性.“2+2+1+3”模式由浅入深、由易到难体现了建立不等式模型的基本程序，符合学生螺旋式发展认知规律；针对实际问题建立了如一次不等式、二次不等式、绝对值不等式等不同类型的模型，建模基本步骤的归纳总结具有一般性；选择与学生息息相关的生活问题如考试得分、优化调整、银行利率、排队购票等能激发学生的探究欲望.

建模：建立不等式模型是本节课的重点与难点.如何建立不等式模型，我的做法是：（1）抓住题中的“不低于”、“不少于”等关键词建立不等式模型；（2）抓住题中的等量关系与不等关系建立不等式模型.在建模的过程中，认真分析，使思维程序化：（1）阅读材料，收集信息；（2）分析筛选、处理信息，将信息用表格的形式呈现出来；（3）用字母表示信息中的量；（4）寻找等量关系与不等关系；（5）用含字母的量表出等式关系与不等关系.

解模：解模的过程注重通性通法的应用以及变量的转换，能促进学生思维的提升.

对于数学建模，在深化课程改革之今天，我们的中学课堂虽不能像大学理工科及部分文科专业的必修课那般常态化，综合化，但不可否认的是，模型教学中学生的学习方式改变了，学生的多种能力提升了，数学课堂更鲜活了，效果也更好了！值得称道的是将要使用的新修订或编写的高中课标教材已把“数学建模”等核心词直接作为章节标题的一部分，这表明模型的功能性地位不改变（素材、载体），但模型的延伸价值（由已知模型的探讨到未知模型的建立）已受到重视，学生应用意识、实践能力的培养才能落到实处.

希望模型教学是今后数学课堂教学改革中一道靓丽的风景线，学生通过多种合作交流活动学中做，做中学，真正体会数学的实用价值，为数学学科育人奉献一份力量！