突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七～九）编写的原则之一

☉山东省沂南教育局 李树臣

突出数学思想主线，优化教材知识结构
——青岛版《义务教育教科书·数学》（七～九）编写的原则之一

☉山东省沂南教育局 李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》已把学生能获得数学的基本思想作为课程的“总目标”来要求［1］，并且在“教材编写建议”中强调指出“教材在呈现相应的教学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则［1］”.这就从宏观上向我们提出了应把数学思想作为教材编写的主线之一.

一、对数学思想的深层次认识

数学思想是指“人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式［2］”.《课标（2011年版）》提出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……［1］”

这里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是强调基本思想的重要性；另一方面是控制数量（基本思想不要太多了）.“数学思想”有许多，并且是具有层次性的，而“基本数学思想”则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次，其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来.［3］

史宁中教授认为，“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算发展，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系.”［4］

《课标（2011年版）》中所说的“数学的基本思想”主要指：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想.人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展.［3］

由上述数学思想演变、派生、发展出来的思想还有很多.例如，由“数学推理的思想”派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换与化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等.

在用数学思想解决具体问题时，会逐渐形成程序化的操作，就构成了“数学方法”.数学方法也是有层次的，处于较高层次的可以称为“数学的基本方法”.数学的基本方法有：演绎推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分类讨论的方法，等等.下一层次的数学方法，有：分析法，综合法，穷举法，反证法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，配方法，列表法，图像法，等等.

数学方法不同于数学思想，但二者相互联系，协同发展.“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的.［3］数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提，它常常反映某种数学思想；数学思想常常通过数学方法去体现，是数学方法的灵魂.

二、初中数学教材应渗透的主要数学思想方法

前苏联学者M.M.弗利德曼指出：“在学校课程中数学的思想和方法应当占有中心的地位，占有把教学大纲（作者注：现在称课程标准）中所有的，为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位.”《课标（2011年版）》指出“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.［1］”从某种意义上讲，数学教材就是由一些重要的数学思想方法构成的，而数学思想方法则是构成教材的灵魂.

在教学中使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标.这就决定了，数学教材的编写绝对不能仅仅以学生掌握《课标（2011年版）》界定的“课程内容”并且形成相应的数学基本技能为目标，而应该让学生在获得这些课程知识的过程中同时获得数学的基本思想.数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证.

数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容.数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成和发展起来的.

我们在青岛版教材中主要向学生渗透了下列几种重要的数学思想.

1.数形结合思想

所谓数形结合思想，即把数学问题中的数量关系与图形直观地结合起来进行分析，并充分利用这种结合寻找解决问题的思路，从而使问题得到解决的思想方法.这种思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是把问题的数学关系和空间形式结合起来，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，这样往往能收到事半功倍的效果.

2.分类讨论思想

在数学中，当所遇到的问题存在多种情况，我们又不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得到各种情况下的结论，这种处理问题的思想就是分类讨论的思想.分类时主要要按照一定的标准，把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地进行分类.

3.函数思想

函数的思想方法是指用变化的观点来观察、分析、研究问题中两个变量之间的相互联系与变化规律，并借助函数关系来思考、解决问题的方法.应用函数思想方法解题的关键是确立变量之间的函数关系.一是根据实际问题或几何图形的性质，建立变量之间的关系，把问题转化为相应的函数问题；二是根据问题的需要构造相应的函数，利用函数的图像与性质解决问题.

4.方程思想

方程思想是指把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程（组），从而达到解决数学问题的一种思维方法.体现方程思想的数学解题主要有两类：一是列方程（组）解决生活或生产中的实际问题；二是列方程（组）解其他的代数问题或几何问题.特别注意的是，与几何有关的计算题所涉及的数量关系往往与一些几何定理、公式密切相关.

5.转化思想

解数学题的过程实际上就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已知，最终求得问题的解答.这个过程体现了转化的思想方法.可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.

6.数学建模思想

在解决实际问题时，首先通过对已知和未知的分析，建立与某种数学知识的联系，得到一个数学模型，然后利用有关的数学知识求出这个模型的解，最后得到问题的答案，这种从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，直至解决问题的方法称为数学建模思想.

7.联想、类比的思想

联想、类比是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜出它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想过程.类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜想问题答案或结论的思想方法.

三、教材中渗透数学思想的途径

《课标（2011年版）》指出“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等.学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想［1］”.这实际上向我们提出了编写教材时，向学生渗透数学思想和方法的宏观途径.渗透数学思想方法的宏观途径有两条：

其一，通过纯数学知识的学习，不断地反思和升华，逐步使学生理解和掌握隐含在这些数学知识之中的数学思想方法.即：

数学知识逐步概括数学思想方法

其二，通过解决实际问题，使学生掌握所要求的教学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法.即：

具体来说，我们在编写青岛版教材时，主要通过以下几个过程向学生渗透数学思想和方法.

1.在概念的建立过程中渗透数学思想方法

数学概念是学生学习的主要知识，从课程论的研究观点看，数学概念是构成数学教材的基本结构单位，正是因为这些数学概念的存在，才形成了数学教材的知识结构.数学概念的建立是一个过程，为了让学生经历这个过程，我们精心设计问题情境，引导学生通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较、抽象概括等一系列思维活动抽取事物的本质属性.这样学生除了能掌握数学概念，还能感受及领悟隐含于概念形成过程中的数学思想和方法.

案例1：分式方程的建立过程.

为了引导学生经历分式方程的建立过程，教材是这样设计的：

【交流与发现】王师傅承担了310个工件的焊接任务.加工了100个工件后，开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成了任务.采用新工艺前，王师傅每天焊接多少个工件？

思考下面的问题：

（1）在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？

（2）如果选取某一个未知量用x表示，那么其他未知量怎样用关于x的代数式表示？

（3）这个问题中的等量关系是什么？

（4）选择哪个等量关系，可以得到关于未知数x的方程？

设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件.采用新工艺前王师傅工作了天，采用新工艺后，王师傅工作了天.

根据等量关系：

（5）观察（4）中得到的方程，你发现它有什么特征？

教材在学生思考并解答前五个问题的基础上，给出了分式方程的定义.第六个问题是引导学生探索分式方程的解法.

在分式方程的建立及探索其解法的过程中，这种设计还向学生渗透了模型思想、转化的思想及类比的思想.

2.采用“逐级递进、螺旋上升”的方式反复强化

《课标（2011年版）》提出“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、模型思想等.因此，教材在呈现相应的教学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则［1］”.

数形结合思想是一种重要的数学思想.青岛版教材把《课标（2011年版）》界定的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”采用“混编”的形式，共分33章.教材中的每一章内容几乎都能找到数与形结合的“影像”，可以说教科书的主要内容就是靠数形结合思想“串联”起来的.

案例2：渗透“数形结合思想”的知识扫描.

例如，“数”和“形”分别属于“数与代数”及“图形与几何”两大领域，二者的结合体现了数学的特性.七年级第1章“我们身边的图形世界”中研究正方体的顶点个数、棱数时就是从观察正方体得到的结果.第一个基本事实“两点确定一条直线”就是通过实际作图得到的.第2章“有理数”中在学习“数轴”的知识时，借助“温度计”形象地感知数轴，这一模型直观形象地体现了数形结合的思想.第3章“有理数的运算”中，有理数的加法法则就是利用数轴，运用数形结合的方法经过探究得到的.第7章“一元一次方程”中研究行程问题时，经常用线段直观图形象地表示一些数量关系.第13章“平面图形的认识”中多边形的内角和、外角和的探究过程中，图形的形象直观特征起了关键的作用.八年级第6章“实数”中，利用勾股定理探究长度是等无理数的线段的几何作图方法更是数形结合的良好素材.第10章“一次函数”中的许多问题都是借助图形得到解决的.九年级第2章“解直角三角形”中的许多概念的形成及问题的解答都离不开图形的直观作用.第3章“对圆的进一步认识”中，利用勾股定理求解有关问题，体现了用数的知识求解几何图形的问题.第4章“一元二次方程”中，介绍的利用一元二次方程的知识求黄金分割线段的具体比值的方法是用数的知识解决形的问题的范例.第5章“对函数的再探索”中有大量的代数知识是结合图像来学习的.

在“统计与概率”领域，也有大量内容体现了数形结合的思想，如各种统计图就是在统计表的基础上，用几何图形或具体形象来表达统计资料的一种方式.八年级第4章“数据分析”中在学习有关统计量与统计图表时，数形结合为学生清晰地表示数据、对数据进行分析，从而帮助学生进行科学决策起到了重要的作用.九年级第7章“频率与概率”中学习的用树状图计算概率就为抽象概率的学习提供了直观形象的解释等.

总之，大量的数与形相结合的素材为同学们学习、理解“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”的相关内容提供了直观上的帮助，这些内容也进一步反映出“数”和“形”完美结合的必然趋势.正如我国著名数学家华罗庚教授曾说过的那样“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.

这种编排顺序，体现出本套教材对于数形结合这一思想方法的明显的阶段性要求，通过以上知识的学习，学生可以逐步感悟这一思想方法，从而有助于发展学生的几何直观，有助于学生学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题.

3.在问题解决的过程中强化数学思想

《课标（2011年版）》提出课程“总目标”后，又从四个方面进行了具体阐述，其中在“问题解决”中强调“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识［1］”.对此，我们在引导学生利用所学知识解决有关问题时，反复强化在解决问题过程中所表现出来的数学思想.

例如，“模型思想”是《课标（2011年版）》提出的十大核心素养（概念）之一.“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.［1］”

事实上，数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的.如各种数学公式、方程式、定理、理论体系等，就是一些具体的数学模型.在设计安排这些内容时，我们都要结合具体的内容充分体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.

如教科书七年级下“10.4列方程组解应用题”一节，共设计了通过建立方程组模型解答的应用题38个，其中例题6个，练习6个，习题12个，综合练习12个，“智趣园”和“史海漫游”各1个.学生通过解答这些题目，能进一步“体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型［1］”，从而逐渐强化学生对模型思想的认识和理解.

4.在知识的归纳总结中概括数学思想方法

数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式融于数学知识体系.要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把各种知识所表现出来的数学思想方法适时做出归纳概括.

教师在引导学生进行章节复习时，要在对知识进行总结复习的同时，把统领这些知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高他们分析问题和解决问题的能力.

例如，在九年级上册第3章“对圆的进一步认识”末的“回顾与总结”中，我们共设计了15个问题，其中最后一个问题是：“在本章中，你认为体现了哪些基本的数学思想？”

在学习完圆的有关知识后，要求通过回顾这些内容中体现的数学思想和方法，使学生自觉地感悟这些思想和方法，进一步学会运用数学的思维方式去思考问题和解决问题.目的是让学生结合本章重要概念的产生过程、重要定理的证明过程和典型例题，感悟以下几个重要数学思想.

①演绎的思想.用分析法寻求解题思路，用综合法叙述证明过程.

②归纳的思想.如正n边形某些性质的获得.

③反证法.如通过假设“过同一直线上的三点A、B、C可以作圆”，推出与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线”相矛盾，从而说明“过同一直线上的三点A、B、C可以作圆”的假设是不对的.复习时重点总结用反证法的证题思路和基本步骤，并指出与直接证法的区别.

④转化的思想.如圆心角与所对弧、弦关系的相互转化，圆周角与所对弧上圆心角的相互转化，同弧上圆周角之间的转化，圆与直线的位置关系与圆心到直线的距离的转化等.

⑤分类的思想.如学习确定圆的条件；学习圆周角定理时要分圆心在圆周角的一边上、圆周角的内部、圆周角的外部进行研究；直线和圆的位置关系等.

5.用一些特色栏目对数学思想进行总结

数学思想“散见”于初中数学的课程内容知识之中，这些知识是数学思想的“载体”，教材根据实际情况，在学习完这些具体知识之后用一些特色栏目对数学思想进行了规范界定.

例如，教材在九年级上册第3章的“回顾与总结”之后用“广角镜”栏目以“分类思想”为题目对这种思想进行了总结.在八年级上册“3.5分式的加法与减法”之后用“广角镜”栏目以“类比与数学发现”为题目介绍了类比思想.

学生对数学思想的感悟和理解是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的.掌握一些必须的数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容［6］.教材的编写理应随着具体知识的呈现过程，把一些基本的数学思想“提炼”出来，用这些思想统领教材.只有这样，学生形成的数学知识结构才是一个优化的结构，也才能成为学生未来生活、工作和进一步学习的良好基础.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.李吉宝，等.初中数学数学思想方法教学与研究中的几个问题［J］.数学教育学报，2001（2）.

3.史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.史宁中.数学思想概论［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.

5.李海东.重视数学思想方法的教学［J］.中国数学教育，2011（1-2）.

6.李树臣.探索图形性质培养推理意识——青岛版《义务教育教科书·数学》七年级第九章“平行线”教学研究［J］.中学数学（下），2016（9）.Z