基于教材旁白的功能与价值构建数学“慢”课堂*——以“三角形的高线、中线与角平分线”的教学实录为例

☉重庆市复旦中学 丁庆彬

☉重庆市二十九中学 郑 莎

基于教材旁白的功能与价值构建数学“慢”课堂*
——以“三角形的高线、中线与角平分线”的教学实录为例

☉重庆市复旦中学 丁庆彬

☉重庆市二十九中学 郑 莎

一、问题背景

慢教育就是提倡日常生活式教育，是润物细无声的教育.慢教育是慢活、细活，是生命潜移默化的过程.数学慢教育，就是慢教育理论在数学学科中的渗透和应用，往往也叫“慢数学”.中学数学课堂本应是一种从容、舒缓、优雅的课堂，整个过程充满着等待、铺垫和蓄势，教学设计由单向灌输走向双向回流.教师适度的等待和学生慢慢的体验和感悟，是教育的本真，需要的是教育者的勇气，生成的是受教育者的智慧.然而，受应试教育的束缚和信息技术的“快、多、省”的影响，许多数学课堂基本上都是“快马加鞭”、“高歌猛进”，这是违背数学学科学习规律的，学生除了疲于接受和模仿没有任何数学体验和思想感悟.笔者有幸参与一项市级重点课题，对人教版初（高）中数学教材旁白的功能和价值进行系统深入研究.在将研究成果运用到实际课堂教学过程中，笔者发现教材中的旁白对实现“慢数学”具有举足轻重的作用，下面就以“三角形的高线、中线与角平分线”的教学实录为例，与广大同仁分享如何运用教材中旁白的功能和价值构建数学“慢”课堂.

二、案例说明

（一）研读教材旁白，确定教学思路

本节课，教材中共有三处“云朵”旁白，均以问题的形式出现.从内容上看，主要是引导学生动手操作或观察探究等；从出现的位置来看，三处旁白依次出现在高线、中线和角平分线的旁边.鉴于这两个特征，笔者进行了深入思考，旁白的内容给了笔者很好的提示，一定要以“问题驱动”设计教学，旁白的位置告诉笔者一定要给学生留出足够的动手体验空间.这样以来，笔者就确定了本节课的教学思路，即以“问题驱动”为主线，引导学生“积极体验”和“自主探究”.

（二）用好教材旁白，设计教学过程

1.复习引入

教师：（PPT展示图1）同学们还记得如何过直线外一点作已知直线的垂线吗？

生1：借助于三角板通过对齐平移的方式就能作出垂线.（教师同时用多媒体展示过程）

教师：好的，当然，我们也可以用同样的方法过三角形的一个顶点作它的对边所在直线的垂线.

图1

图2

图3

2.三角形的高线

教师：如图2（PPT展示），如何过三角形的顶点A作出它的对边BC所在直线的垂线？

生2：可以借助过直线外一点作已知直线垂线的方法来做.

教师：很好，借助于刚才的方法就很容易作出BC边上的垂线AD（PPT展示图3）.

追问1：根据以前学过的知识，同学们能说出这个三角形的高是什么吗？

生3：三角形的高是线段AD.

追问2：很好，你能结合图形简单概括一下高的定义吗？

生4：顶点和垂足之间的线段就是三角形的高线.

师生活动：师生一起归纳出高线的具体定义，教师板书在黑板上.

此时，教师利用PPT呈现出第一处旁白（如图4）并追问.

图4

图5

教师：用同样的方法，你能画出三角形的另外两条高线吗？（教师请出一位同学到黑板上演示）

师生活动：学生在自己的图形中画出另外两条高线，教师巡视指点.

教师：让我们一起来看看XXX同学画的情况（如图5），与自己的图形进行对照有什么不同之处？

生5：图形是一样的，但我画的图形没有标明垂足和垂直符号.

师：很好，黑板上这位同学画的很完整，而且还标明了相应垂直符号和垂足.

设计意图：巧妙利用旁白内容进行追问，鼓励同学动手体验.在画图的细节方面，一开始并没有直接强调，而是通过学生自己对比和观察，找出所存在的问题，不仅加深了学生的印象，同时也显得很自然顺畅.

在接下来的环节中，教师进一步引出“高线与垂线的区别是什么”及“一个三角形一共有几条高线”等问题让学生去观察和思考.之后，继续引导学生分别画出一个钝角三角形和一个锐角三角形，并画出它们所有的高线，同时请出两位学生到黑板上展示.

师：我们一起来看一下这两位同学画的情况，请大家仔细观察这两个图形（图6），给出自己的评价.

图6

生6：甲同学画的图形中没有标明垂直符号和垂足，乙同学画的很好.

师：不错，观察的很仔细，点评的也很到位，总体来说两位同学画的还是比较完整.我们先看钝角三角形的三条高线，有几条在三角形的内部，几条在外部？

生7：有一条通过钝角顶点的高线落在三角形内部，另外两条落在边的延长线上.

师：回答的很好，那直角三角形呢？

生8：有一条高线在内部，另外两条高线与直角边重合.

师：好的，同学们再结合图形仔细观察一下BC、AC边上的高是分别是什么？

生9：BC边上的高是线段AC，AC边上的高是线段BC.

师：请同学们根据高线的定义，再想一想线段AD是哪个三角形的高，又是哪条边上的呢？

生10：线段AD在△ACD中，且垂直于CD，因此它是△ACD的边CD上的高线.

师：很准确.我们在判断高线的时候，务必抓住两点，一是看在哪个三角形中，二是看在哪条边上的.

设计意图：引导学生通过不断的体验和观察进一步理解高线的定义和特征，同时鼓励他们大胆点评，给予合理的评价和建议，对培养学生的辩证思维能力起着很好的作用.

3.三角形的中线

通过复习线段的中点引入三角形的中线，让学生在练习本上找出△ABC的BC边上的中点D，并将A、D连接起来（如图7）.

图7

图8

图9

师：让我们借助于归纳高线定义的方法归纳出中线的定义，哪位同学愿意给大家分享一下？

生11：连接顶点与它对边的中点所得的线段，叫做三角形的中线.

师：是的，由此可以看出中线同样也是一条线段，同样要注意标出相应的字母.（教师板书定义）

尽管有了高线的铺垫，笔者并没有将中线的相关概念一带而过，仍然利用PPT呈现出教材中的第二处旁白（如图8）.

师：用同样的方法，你能画出另外两条边上的中线吗？

师生互动：同学们自己动手完成另外两条高线的画法，教师巡视指导.

师：我来看看XXX同学画的情况（图9），结合中线的定义请思考一下图9中有哪些线段是相等的？

众学生：BD=CD，AG=BG，AF=CF.

师：不错，若把三条中线的交点记为点O，再想一想线段OG是哪个三角形的高，为什么？

生12：△AOB的中线，因为G是AB的中点，O是△AOB的一个顶点，连接顶点和对边中点的线段就是三角形的中线.

师：很有道理，我们在判断中线时要结合定义，找准边的中点和所对的顶点.同时还要学会用数学语言来表述中线的一些性质.（教师在黑板上做如下板书）

设计意图：本环节主要是师生一起探讨三角线中线的画法、定义和相关性质，以学生自主尝试、自主探究和自主归纳为主.

4.三角形的角平分线

教师引导学生先动手画出△ABC，并作出过顶点A的一条角平分线，教师用投影仪展示（图10）.

图10

图11

图12

师：通过这位同学所画的图形，同学们能观察和归纳出角平分线的定义吗？

师生活动：同学们观察、思考，教师请出一位同学并引导其归纳出角平分线的定义，同时将定义板书在黑板上.

师：三角形的角平分线与一个角的平分线有什么区别和联系？

生13：相同点是他们都能平分角，不同的是三角形的角平分线是一条线段，而一个角的平分线是一条射线.

教师给予肯定，同时再次利用PPT展示出教材第三处旁白（图11），引导学生继续动手体验角平分线的画法，并观察和探究角平分线的特征.

师：（教师投影呈现图12）仔细观察自己所画的图形，你有什么发现？

生14：三条角平分线相交于三角形内部的一点.

师：是的，它们都交于内部一点，沿着这样的思路，请同学们思考和探究三角形的高线和中线的交点情况，请每个小组进行讨论，并归纳出自己的结论.

设计意图：此处旁白明显有别于前面两处，对能力的要求有所增加，除要画另外两条角平分线外，还要观察三条角平分线的特征.在这处旁白承上启下的作用下，笔者很自然地带领学生对已画过的高线、中线的交点情况进行探讨，同时再次呈现出刚刚画的图形，与学生一起观察和归纳.

（三）总结反思，一“慢”到底

教师继续通过提问的方式引导学生一起对本节内容进行梳理和总结.

师：我们今天学到了什么？

众学生：三角形的高线、中线和角平分线的画法和定义.

师：我们需要注意什么？

生15：画图时要注意表明相应的符号和字母，辨别三种类型的线段时要找准三角形.

师：很好，那么三条线段各有什么特征呢，比如说它们的位置及所在直线的交点如何？

众学生回答，教师用PPT呈现出小结内容.

1.杨卫东.理解教材旁白，跟进教学设计——以人教版九年级上册为例［J］.中学数学（下），2016（10）.

2.黄益全，李波，丁庆彬.品味教材旁白，追求真实自然——对人数社A版“点到直线的距离”过程性教学设计的思考［J］.中学数学教学参考（上），2016（5）.

3.赵丽娜.品教材旁白，育学科素养——对人教版七下“实数”旁白的解读、补充及教学建议［J］.中学数学（下），2015（12）.

4.霍庭芸.从数学学习的心理过程看数学“慢教育”［J］.初中数学教与学，2015（7）.H

*本文是重庆市教育科学“十二五”规划2015年度基础教育课程改革专项重点课题“人教版初高中数学课标教材中旁白的功能价值与教学应用研究”（课题批准号：2015-JC-041，课题负责人：黄益全，笔者系课题主研）的阶段性研究成果.