借助几何直观 提升学习效率

张卫星

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增的核心概念，它是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观将抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，从而突破数学理解上的难点。因此，作为数学教师要根据学生实际灵活运用几何直观，把复杂的数学问题变得简明、形象，帮助学生直观地理解数学，从而提升学习效率。

一、借助几何直观，理解算式意义

算式比较抽象，内涵比较丰富。如果单纯地让学生说算式的意义，学生可能会觉得枯燥乏味，且不知其所以然。如果能将算式与直观图形进行有效沟通，就可以让学生更好地理解算式的意义，同时又可以让学生觉得原来数学这么有趣，从而自然而然喜欢上数学。

[案例1]人教版四年级数学下册“减法的性质”教学片段：

师：下面两道算式，你觉得相等吗？为什么？

178-（78+66）和178-78+66

大部分学生是通过计算来说明的，结果当然有两种——相等与不等，对的还是对，错的还是错，谁也说服不了谁。

师：大家都有自己的想法，现在就请你们用线段图来表示这两道算式的意思吧，看看结果会是怎样？（在展示学生的作品后，教师课件出示如下标准的线段图。）

生1：表示结果的线段长度不一样！第一幅图显示在一条线段中依次减去两条短线段，而第二幅图只是减去一条短线段，然后加上另一条短线段。

生2：当然不一样，178-（78+66）不等于178-78+66；178-（78+66）而是与178-78-66相等。

评析：学习“减法的性质”后，教材安排了运用这种性质进行一些简便计算，学生由于过于关注“数”，因而对于结构相似的算式容易混淆、出错。上述教学中，教师引导学生画出线段图，并通过对线段图的解读，让学生较好地理解相似算式的不同意义，从而减少学生出错的概率。可见，借助几何直观可以使学生较好地理解算式的意义。

二、借助几何直观，明晰概念本质

概念是对事物本质属性的反映，既是思维的基础，又是思维的“细胞”，是正确推理和判断的依据。在平时学生的错题中可以看出，大多数的错误都是由于数学概念不清或者对数学概念理解不够确切造成的，又因为概念具有一定的抽象性，所以难度也就可想而知。而适时借助几何直观，可以让抽象的概念变得具体形象，从而让学生快速明晰概念的本质。

[案例2]人教版三年级数学上册“认识周长”教学片段：

师：看，这些小羊大家认识吗？小羊们要上一节体育课，老师给它们布置了一个任务——围操场跑一圈。想知道它们是怎样跑的吗？

生（齐）：想。

师：我们来看，这是三只小羊的跑步路线图。观察一下，你有什么想说的？

生1：我觉得懒羊羊跑得不对，它没有绕着操场跑一圈，而跑到操场里边去了。

师：你觉得它应该怎样跑呢？

生1：它应该沿着操场的边线来跑。

师：对啊，围着操场跑，就应该绕着操场的边线来跑。（板书：一周边线的长度）

生2：暖羊羊跑得也不对，它虽然沿操场边线跑了，但它没有跑完。

师：它应该跑到哪儿？

生2：它应该跑回到起点的位置。（板书：回到起点）

师：喜羊羊跑对了吗？

生3：喜羊羊跑对了，它是沿着操场的边线跑的，而且还跑回到了起点。

师：像喜羊羊这样跑一圈，就是我们刚才所说的“一周”。谁再来说说，怎样才是操场的一周？（生答略）

师：请同学们伸出手来，从这一点出发，描出操场的一周。（学生跟着教师比画，描出图上操场一周。）

评析：在上述教学中，教师创设了学生熟悉的动画人物跑步的情境。通过对三种直观的不同跑步线路的辨析，让学生明晰什么是操场的“一周”，即一周边线的长度，从而初步建立起“一周”的概念。而“一周”的概念明晰了，“周长”的概念也就水到渠成。可见，借助几何直观可以让学生明晰概念的本质。

三、借助几何直观，感知数学模型

数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而做的一个抽象的、简化的结构。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学模型比较抽象，不易感知。但若能将数学模型用图形直观地展示出来，学生感知起来就易如反掌。

[案例3]人教版四年级数学下册“乘法分配律”教学片段：

教学伊始，教师在屏幕上出示以下问题：

有一个长方形的果园，原来长80米，宽20米，扩大规模后，长增加了30米。现在这个果园的面积有多大？

师：想象一下，如果用一幅图来表示题目的意思，这幅图会是怎样的呢？请把想象的图画出来。（学生开始画图）

交流学生作品后，师课件呈现规范图形（如下图）。

师：你们会独立解决这个问题吗？（学生尝试解决）

师投影反馈：说说你是怎么想的？

生1：我先算出扩大规模后果园的长，再算扩大规模后果园的面积，即（80+30）×20=2200（平方米）。（教师适时进行课件动态演示）

生2：我先算出果园原来的面积，再算出后来增加的面积，最后把原来的面积和增加的面积合起来就是果园现在的面积，即80×20+30×20=1600+600=2200（平方米）。（教师同样适时进行课件动态演示）

师：刚才大家都用自己喜欢的方法从不同的角度出色地解决了同一个问题。现在请大家观察一下这两个等式：（80+30）×20=2200（平方米），80×20+30×20=1600+600=2200（平方米），你们有什么要说的？

生（齐）：它们的结果是一样的！

教师适时板书：（80+30）×20=80×20+30×20。

师：大家会读这个等式吗？

生：80加30的和乘20，等于80乘20的积加30乘20的积。

评析：在上述教学中，教师提出问题后并没有让学生直接计算，而是引导学生想象出这个果园原来和扩大规模后的几何图形，在充分交流的基础上再出示制作好的几何图形课件，让学生根据图形尝试解决问题。借助几何直观，学生的学习兴趣更浓，解决策略更多，学习自信更强，最重要的是在“式”与“形”的结合中，学生初步感知到乘法分配律这一数学模型。可见，几何直观是帮助学生直接感知数学模型的有效载体。

四、借助几何直观，感悟数学思想

数学思想是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心，是数学学习的灵魂。数学思想是人们在生产生活中总结出来的，具有悠久的历史，经历过实践的检验，具有高度的抽象概括性。学生感悟数学思想也不是一蹴而就的，而是伴随自身知识、思维的发展而逐渐感悟的。如果教师能借助几何直观，把数学思想形象展现出来，那就可以大大缩短学生感悟的时间。

[案例4]人教版三年级数学上册“集合”教学片段：

师出示：三（1）班有20人参加跳高比赛，18人参加跑步比赛，其中8人既参加跳高比赛又参加跑步比赛。一共有多少人参加这两项比赛？（学生开始列式计算）

师：如果用“韦恩图”表示，你会画吗？（学生画后，课件演示，如下图。）

师：这题中，有8人既参加跳高比赛又参加跑步比赛。还可能有几人？（生答略）

师：最多几人？可能是19人吗？最少几人？为什么？

（随着学生的回答，课件中的“韦恩图”不断变化，如下图。）

评析：“这幅图中，有8人既参加跳高比赛又参加跑步比赛。还可能有几人？”一石激起千层浪，开放式的问题让学生兴趣盎然，他们的思维始终活跃着。“最多几人？可能是19人吗？”“最少几人？为什么？”随着教师的连续追问，学生的思维不断深入，课件中的“韦恩图”也在不断地变化。“哦，怎么小圆圈在大圆圈里面了？”“咦，小圆圈和大圆圈分开了！”学生的一声声惊呼道出了“韦恩图”的微妙之处，并集、交集与子集等集合思想在“韦恩图”的变化中得到渗透，真可谓“此处无声胜有声！”可见，借助几何直观可以让学生形象地感悟数学思想。

总之，借助几何直观可以提升学生的学习效率。这就需要我们在日常教学中有意识、经常性地采用几何直观这种方法来分析问题，不断地进行渗透，不断地刺激学生，使学生逐步感受到这种方法的优越性，从而潜移默化地产生乐意尝试乃至主动运用这种方法，最终形成几何直观的思维习惯。若能如此，就能让学生感觉到数学并不难，数学很有趣，从而享受数学学习的美好！