基于卫星位置与速度的北斗卫星广播星历拟合

王解先，王君刚，，陈俊平（.同济大学测绘与地理信息学院，上海0009；.中国科学院上海天文台，上海00030）



基于卫星位置与速度的北斗卫星广播星历拟合

王解先1，王君刚1，2，陈俊平2
（1.同济大学测绘与地理信息学院，上海200092；2.中国科学院上海天文台，上海200030）

提出基于卫星位置与速度的广播星历拟合算法，给出了该拟合算法的计算过程，并对传统坐标拟合算法与坐标＋速度拟合算法的拟合精度及外推精度进行比较.结果表明：基于位置＋速度的拟合算法是有效的，且与传统坐标拟合算法相比，该算法能显著提高拟合的速度精度，且坐标精度也略有提高.此外，在卫星轨道数据已知历元数较少时，采用坐标＋速度拟合算法优势更明显.

北斗卫星系统（BDS）；广播星历；卫星轨道参数；最小二乘拟合；卫星速度；卫星轨道精度

全球卫星导航定位系统进行定位导航需要获取卫星的位置，卫星位置由卫星星历提供，星历分后处理精密星历和实时预报2种.以全球定位系统（GPS）为例，国际全球卫星导航系统服务（IGS）提供的精密星历位置精度优于5cm，但是有十几天的时延，适于后处理精密定位；广播星历精度在米级，可实时获取，在导航与实时定位中应用广泛［1－2］.

广播星历是以卫星位置拟合的轨道参数形式来表达，便于用户接受使用，因此卫星广播星历的拟合是一个重要问题.提高广播星历拟合的精度，减少拟合误差，能够充分利用预报星历的高精度，更好地服务于用户的导航定位.

针对GPS卫星广播星历的拟合问题，现有的研究文献较多，其数学模型也比较完善［3］.拟合算法中偏导数的计算有解析法［4］和数值导数法［5－6］，针对拟合过程中出现的偏心率近似于零导致的法方程奇异等问题，相应的解决算法有QR分解算法［7］、无奇异变换的广播星历拟合算法［8－9］、改变坐标系参考轨道面的方法［10］等.

北斗系统卫星分为地球静止轨道（GEO）、倾斜地球同步轨道（IGSO）、中地球轨道（MEO）3种.其中IGSO与MEO广播星历计算卫星位置的方法与GPS卫星类似，其拟合过程可参照GPS广播星历的拟合，而以GPS广播星历形式直接拟合GEO卫星轨道不合适，需要通过坐标轴旋转的策略加以解决［11－12］.不同的旋转轴对拟合精度没有影响［13］，即选择不同的惯性系坐标轴指向其拟合结果是一致的.GEO广播星历拟合过程中易出现参数超限的问题，通过增大轨道面旋转角［14］、固定超限参数同时解算其余星历参数和参数岭估计等方法［15］可以有效解决.

由卫星广播星历可以计算卫星速度与坐标［16］，然而只采用由卫星位置拟合出的卫星轨道参数来计算卫星速度的精度较低，因此本文探讨采用卫星坐标＋速度拟合卫星轨道参数的方法，利用最小二乘原理进行卫星广播星历拟合，并对拟合精度进行详细分析.

1 由广播星历计算卫星位置与速度

北斗卫星系统（BDS）卫星轨道可以由15个轨道根数表达，包括：6个开普勒根数、e、Ω0、ω、i0、 M0，分别表示长半轴平方根、偏心率、升交点赤经、近地点幅角、轨道倾角、平近点角；9个摄动参数Δn、 i、、Cuc、Cus、Crc、Crs、Cic、Cis，分别表示卫星平均运动速率与计算值之差、轨道倾角变化率、升交点赤经变化率、纬度幅角的余弦调和改正项的振幅、纬度幅角的正弦调和改正项的振幅、轨道半径的余弦调和改正项的振幅、轨道半径的正弦调和改正项的振幅、轨道倾角的余弦调和改正项的振幅、轨道倾角的正弦调和改正项的振幅.由参考时刻toe的轨道根数可计算其前后一段时间内任意时刻ti的卫星坐标和速度.

由BDS广播星历计算卫星位置与速度的步骤如下：

（1）计算半长轴A

（2）计算卫星平均角速度n0

其中，地球引力常数μ＝3.986 004 418×1014m3· s2.

（3）计算观测历元时刻ti到参考历元时刻toe的时间差tk

（4）计算改正后的平均角速度n

（5）计算平近点角Mk

（6）计算偏近点角Ek和偏近点角变率k

（7）计算真近点角vk

（8）计算升交距角φk及其变率k

（9）计算周期改正项δuk、δrk、δik

（10）计算改正后的升交距角uk及其变率k

（11）计算改正后的向径rk及其变率k

（12）计算改正后的倾角ik及其变率k

GEO在惯性系中，升交点赤经及其变率分别为

（15）计算卫星在地固系（CGCS2000）中坐标（Xk，Yk，Zk）及速度

（13）计算卫星在轨道面内的坐标（xk，yk）与速度

（14）计算卫星升交点赤经Ωk及其变率Ω·k

MEO／IGSO卫星在地固系中，升交点赤经及其变率分别为

对于MEO／IGSO卫星，在地固系中的坐标和速度分别为

对于GEO卫星，先计算GEO卫星在自定义坐标系中的坐标与速度，如下所示：

再计算其在CGCS2000中的坐标与速度，如下所示：

其中，

2 广播星历拟合模型

由参考时刻的轨道参数可以计算其前后一小时内的卫星坐标与速度，计算过程如式（1）所述，可写为

式中：a15为toe时刻的15个轨道参数.采用位置＋速度拟合算法的误差方程为

根据每个历元的轨道根数方程的偏导数确定误差方程的系数矩阵B，常数项由精密星历与开普勒15参数初值确定的卫星轨道（位置、速度）之差确定，3个历元的观测值即可组成18个误差方程进行解算，因此，3个历元的观测数据即可通过最小二乘平差估计轨道根数.

在确定误差方程后，采用间接平差，组成法方程并解算参数改正数为

式中：m为观测历元个数，每个历元可以组成6个误差方程；P为权阵；L为误差方程常数阵；V为误差方程残差矩阵.迭代计算至收敛即可.

迭代计算的初值选取很重要，初值不准确时，难以收敛.首个历元的开普勒6参数初值可由卫星位置与速度计算［17］，其余9个摄动参数初值取0，后续历元可取上一历元计算的轨道根数作为初值.

3 算例分析

以2012年6月25日至30日共计6天的BDS观测数据为例，分别采用位置、位置＋速度2种拟合方案，比较不同拟合方案下的位置与速度精度.拟合时长为2h，为了更好地切合实际拟合情况，第1小时采用精密后处理星历，第2小时采用预报轨道.星历采样间隔为15min，因此每个拟合时段有9个历元的精密轨道数据.卫星速度由Lagrange内插获得［18］.拟合出卫星轨道根数后，由式（1）计算时段内以及前后各外推一小时的每分钟卫星位置和速度，以精密星历内插的卫星位置与速度为真值来统计误差.

图1是3号卫星在2012年6月25日9—11时段的拟合中误差.图1a是位置精度，图1b是速度精度，图中P＋V表示采用位置＋速度拟合，P表示只采用位置拟合.由于2种拟合方式的速度精度相差太大（位置＋速度拟合的速度精度是cm·s－1级，位置拟合的速度精度可达m·s－1级），为方便绘图，图1b左侧刻度表示位置＋速度拟合，右侧刻度表示位置拟合.

图1 3号卫星一个时段的拟合误差Fig.1 Fitting error of PRN 3

从图1可以看出，与只采用位置拟合相比，位置＋速度拟合算法的位置拟合精度一致，而速度精度有很大提高.图1中，采用位置与速度观测量拟合时，速度的三维均方根值在10.5h附近出现拐点，这是由于X、Y方向速度拟合误差均在厘米级，Z方向误差在米级，而Z方向误差趋势是从－10～＋6m之间逐渐增加，在10.5h左右过零点，因此速度的三维均方根值会出现拐点.

对3～12号BDS卫星6天的拟合精度及前后各外推一小时的精度进行统计，结果见图2.其中3～5号是GEO卫星，6～10号是IGSO卫星，11和12号是MEO卫星.

图2 3～12号卫星的拟合与外推精度Fig.2 Position fitting and extrapolating accuracy of PRN 3～12

图2的统计结果表明，基于位置＋速度的拟合算法并不会影响位置的拟合与外推精度，相反，大多数卫星的位置拟合精度还会略有提高.

表1 2种方法拟合与外推的速度精度Tab.1_Fitting and extrapolating velocity accuracy

由表2可以看出，与位置拟合相比，位置＋速度拟合能够显著提高速度的拟合精度，在未附加速度值进行拟合时广播星历速度精度可达每秒数十米，而附加速度值拟合后速度精度仅为厘米级别.考虑到拟合算法的不完善，实际应用中位置拟合精度可能小于表中数值，但是附加速度的拟合方法对速度拟合精度的提升是明显的.这是由于在附加速度观测值时，对广播星历的速度计算进行了强制约束，使其能够达到较高精度.此外，从表1可以看出，如果只采用位置拟合，GEO、IGSO的速度精度远差于MEO卫星，这可能是由于GEO、IGSO卫星轨道高于MEO引起的，具体原因有待探讨.

此外，在已知的卫星轨道数据历元较少时，位置＋速度拟合的效果更加明显.以3号卫星为例，拟合2012年6月26日的卫星轨道，拟合弧长为2h，每个拟合弧段内已知数据历元为3个，对拟合结果进行统计分析.在12个拟合时段中，位置拟合只有3个时段收敛，且位置拟合精度为米级，而12个时段的位置＋速度拟合的位置精度均为厘米级别.这是由于位置拟合一个历元只有3个误差方程，而位置＋速度拟合每个历元有6个误差方程，能提供足够的多余观测值.因此在已知数据历元较少时，采用位置＋速度的拟合算法能够保证拟合的有效性与精度.

4 结论

（1）与传统的广播星历位置拟合算法相比，位置＋速度拟合算法对拟合与外推的位置精度不但没有降低，还略有提升.

（2）附加速度观测值后拟合广播星历，速度精度有显著提高，拟合精度与外推精度均可达厘米级别.

（3）在已知数据历元个数较少时，采用位置＋速度拟合算法能充分保证拟合的有效性与精度.

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BDS Broadcast Ephemeris Fitting Based on Satellite’s Position and Velocity

WANG Jiexian1，WANG Jungang1，2，CHEN Junping2
（1.College of Surveying and Geo－Informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Shanghai Astronomical Observatory，Chinese Academy of Sciences，Shanghai 200030，China）

A new fitting method based on both the position and the velocity of satellite is presented in this paper and a fitting formula is deduced.Then，the fitting and the extrapolating accuracy are compared between conventional position based fitting method and the new position－velocity based fitting method.Compared with conventional fitting method，the new fitting method shows a significant improvement in velocity accuracy，with a slight improvement in position accuracy.Besides，the new method’s advantage is more obvious when the fitting epoch is few.

BeiDou Navigation Satellite System（BDS）；broadcast ephemeris；satellite orbit element；least square fitting；satellite velocity；satellite’s orbit accuracy

P228

A

0253－374X（2016）01－0155－06

10.11908／j.issn.0253－374x.2016.01.023

2014-12-13

国家“八六三”高技术研究发展计划（2013AA122402，2014AA123102）；国家“九七三”重点基础研究发展计划（2013CB733304）；国家自然科学基金（11273046，41174023）；上海市科委项目（12DZ2273300，13PJ1409900）

王解先（1963—），男，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为卫星大地测量.E－mail：wangjiexian＠tongji.edu.cn