从简单开始，逐步抽象概括——《表面涂色的正方体》教学实录

翟运胜（特级教师）

【教学内容】

苏教版六年级上册第26～27页。

【教学过程】

一、情境引入，诱发问题

师：妈妈做了一块正方体形状的面包，把面包的表面涂满果酱，然后把这块面包棱长三等分，这样这块面包被分成了多少份呢？

生：3×3×3=27（份）。

师：大宝非常喜欢吃果酱，你认为它会选择哪一块？为什么呢？

生：大宝会选顶点处的那一块。因为这一块上有三面是涂有果酱的。

师：二宝比较喜欢吃果酱，那么他会选择哪一块呢？

生：棱上的，因为棱上的小正方体面包两面沾有果酱。

师：三宝只要沾一点果酱的面包就可以了，他会选择哪一块呢？

生：三宝会选择中间的那块，因为这样的一块只有一面沾有果酱。

师：如果我们把这块面包当作正方体来思考，这就是我们今天要学的“表面涂色的正方体”，站在数学的角度，你想提出什么样的数学问题呢？

生：如果是表面涂色的正方体，像这样，棱被3等分后，三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个呢？

二、从简单开始，逐步归纳规律

1.探索棱3等分的正方体中各种涂色小正方体的个数。

师：谁来说一说三面涂色有几个？你是怎样数的呢？

生：8个，按顶点数的。

师：你发现这8个三面涂色的小正方体有什么相同的地方吗？

生：这8个三面涂色的小正方体都在顶点处。

师：为什么三面涂色的都在顶点处呢？

师：顶点是正方体三条棱相交的点，每两条棱呢？

生：每两条棱组成了一个面，所以三面涂色的都在顶点处。

师：谁来说一说两面涂色的正方体有多少个？说一说你是怎样数的呢？

生：一条棱上有1个两面涂色的，一共有12条棱，所以就是12个。

师：为什么两面涂色都在棱上呢?

生：因为两个面相交成了棱。

师：一面涂色的小正方体有多少个呢？

生：一面涂色的小正方体在每个面的正中间。一共有6个面。所以有6个一面涂色的。

2.探索棱4等分、5等分、6等分的正方体中各种涂色小正方体的个数。

师：如果棱4等分，那么各种涂色的小正方体又各有多少个呢？

（根据学生的回答相机出示下图）

师：如果现在棱5等分,三面涂色的小正方体是多少个，两面涂色的呢？一面涂色的呢？（示意图略）

师：如果把棱6等分，三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少呢？（示意图略）

（根据学生回答填写下表）

棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分棱平均分的份数 3 4 5 6小正方体的个数 27 64 125 216 3面涂色的个数 8 8 8 8 2 面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1 面涂色的个数 1×16=16 4×6=24 9×6=54 16×6=96

三、比较归纳，概括规律

师：对照这些数据和我们思考的过程，你有什么想法？

三面涂色两面涂色一面涂色棱2等分8 0×12=0 0×6=0棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分8 8 8 8 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1×6=6 4×6=24 9×6=54 16×6=96

师：让我们来观察三面涂色的情况，如果棱被n等分，三面涂色有多少个呢？

生：三面涂色有8个。

师：让我们观察两面涂色的情况，如果棱被n等分，两面涂色是多少个呢？你能用一个式子表示出来吗？

生：（n-2）×12。

师：为什么可以这样表示呢？

出示课件，引导学生观察思考下面两个问题：

（1）每条棱有（ ）个2面涂色的小正方体。

（2）12条棱有（ ）个2面涂色的小正方体。

师：让我们来观察一面涂色的情况，如果棱被n等分，一面涂色有多少个呢？你能用一个式子表示出来吗？

生：大正方体一面上有（n-2）×（n-2）个一面涂色的小正方体，6个面上就有 6×（n-2）×（n-2）。

师：为什么可以这样表示呢？

出示课件，引导学生观察思考下面两个问题：（1）每个面有（ ）个1面涂色的小正方体。（2）6个面有（ ）个1面涂色的小正方体。

教师组织学生总结：

每条棱等分数 三面涂色数 两面涂色数 一面涂色数n 8 （n-2）×12 6（n-2）(n-2）

师：当n=20时,三面涂色的小正方体有多少个，两面涂色的小正方体有多少个，一面涂色的小正方体有多少个呢？

生：三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有216个，一面涂色的小正方体有1944个。

四、运用规律，拓展规律

师：我们知道了棱20等分后，三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个，那么没有涂色的小正方体有多少个呢？

生：20×20×20=8000（个），8000-8-216-1944＝5832个）。

师：没有涂色的小正方体有多少个，如果这样去求的话，是不是很麻烦，那么我们能不能也总结出相应的规律呢？回忆刚才的过程，我们是怎样找到不同涂色小正体的个数与大正方体棱的等分数之间关系的呢？

生：先从棱3等分开始，再到4等分、5等分，看没有涂色的小正方体的个数与棱的等分数有什么关系。

师：从简单开始，找出规律，找到了关系，就可以通过计算来解决了。

师：让我们剖开正方体的内部，观察这些没有涂色的小正方体个数，你会发现什么呢？

师：正方体内部表面没有涂色的小正方体个数怎样被数出来呢？如果棱长等分成n等分呢？

棱平均分的份数 3 4 5 n没有涂色的个数 13 23 33 （n-2）3

师：这个规律对不对呢？让我们来验证一下。当正方体的棱被20等分，我们已经求出表面没有涂色的正方体有5832个，那么等于多少呢？大家计算一下。

生：真的等于5832个。

师：这说明我们发现的这个规律是正确的。