直面障碍让教学有理有据——《除数是一位数的笔算除法》教学思考

罗鸣亮

“笔算除法”是计算教学中的重点和难点。也是教师教学的老大难。许多教师都曾有“为什么笔算除法老是教不会”的困惑。学生在学习《除数是一位数的笔算除法》时，经常出现这样或那样的错例。有些错误即使教师一再强调，学生的错误还是层出不穷。学生学不会的原因究竟是什么？笔算除法到底应该怎么教？

一、前测，寻找存在问题

为了寻找学生在学习《除数是一位数的笔算除法》中的障碍，我做了前测，发现在笔算42÷2这个算式中，测试的46个学生中，76%的学生都列出了如图（1）的算式，有4个学生出现空白，6个学生直接口算出答案而没有列竖式。追问列竖式学生的想法，学生是这么回答的：“42÷2先算4个十除以2商2个十,2写在十位；再算2除以2，商1写在个位上。”学生的回答言之凿凿，皆认为这样列式是正确的。

在第二题笔算52÷2的前测中，有21个学生列出了如图（2）的竖式，其原因是口算52÷2等于26，所以就和第一题列出一样的算式。10多个学生列出了图（3）的式子后，就留白不会做。问其想法，说是2÷2等于1，十位的5÷2除不尽，不知道该怎么做了？

图（1）

图（2）

图（3）

二、溯因，理清认知障碍

1.计算过于简单，无需笔算。

要求学生先尝试计算42÷2时，很多学生能够用口算的方法直接得到结果为21，于是认为不需要通过笔算除法的方法得到结果。也就是说，学生认为，与其用笔算除法进行计算，不如用口算得到21，所以学生所写的竖式只不过是口算结果的表达。

2.受已有知识经验的负迁移。

学习本课之前，学生原有的知识经验是二年级下册《有余数除法》的竖式计算，这一知识点所涉及的都是表内除法的计算，都只需要一步计算就够了。学生计算42÷2时，已经通过口算得到结果，所以采用由表内除法的一步计算，直接列出一步的竖式计算，并且把这种经验迁移到52÷2。

部分学生明白42÷2要经历两步计算才能得到结果，但是由于原来教学12×3时，如图（4），当学生用两个竖式计算时，教师提出把10×3和2×3两个竖式合成一个算式，比较简洁。到了除法，学生自然地想到了把两步合成一步计算比较简单。

图（4）

通过以上的分析发现，学生已有的认知基础产生的负迁移造成了学生认定图（1）的方法是有道理的，老师再让学生用小棒帮助理解算理就形同虚设，学生依然坚定地说：“老师，这样可以看出4个十除以2等于2个十，2个一除以2等于1，这样比较简便啊。”此时的操作得不到学生的认可，认为老师非要我们这么列竖式是不讲道理。也有的老师花费了大力气教学完42÷2后，再教学52÷2时，大部分学生依旧出现图（2）的这种做法，说明了这样的教学与学生的实际情况并不吻合，需要进行合理调整。

三、策略，直面障碍说理

从学生的前测交流中可知，由于学生能够一眼看出42÷2的结果，所以无法感受到笔算除法两步的必要性和优越性。针对学生学习中的认知障碍，教师可以改变例题中“42÷2”和“52÷2”的先后顺序。先教学“52÷2”这一例题，由于没有42÷2做支撑，虽然有一部分学生也能通过口算得到结果，但多数学生无法直接得到结果，从而产生强烈的求知欲望。此时教师提供教具“52根小棒”，让学生操作理解，借助具体直观感受既解决了学生为什么要从高位除起的道理，又让学生感悟了除法笔算中分两步“算”的必要性，让学生从操作说理中领悟笔算除法的算理。

四、教学，“理”“法”有效融合

1.开门见山，理解除法算式。

出示例题：52÷2。

（1）理解除法算式的含义。

师：52÷2这道除法算式，你能解决生活中的哪些问题？

生：把52块糖果平均分给2个人，每人分得几块？

生：52个同学，平均分成2个组，每组几个人？

……

（2）尝试笔算，产生问题。

师：52÷2该怎么竖式计算，请大家试着动手计算看看。

师：在计算过程中，你们遇到了什么困难？想一想，该如何解决这个问题？

【说明：本环节从抽象的算式入手，让学生回归生活应用追溯算式表示的含义，在明晰除法模型含义的同时，也为理清竖式计算的算理埋下伏笔。】

2.动手操作，明晰算理。

（1）独立操作，同桌交流。

师：52根小棒平均分成两份，先独立分一分，再把你的分法和同桌交流一下。

（2）汇报交流，初感算理。

师：52根小棒平均分成两份，怎么分？谁愿意到上面来分一分小棒？

分法一：先分2根，再分4捆，最后拆开1捆，分3次得到结果26。

分法二：先分4捆，再拆开1捆和2根合在一起成为12根。

师：仔细回想下刚才这两位同学分小棒的过程，找找有什么相同和不同的地方？

生：两种分法都是平均分，都得到了26的结果。

生：第一种分法先分整根的，再分整捆的；第二种分法先分整捆的，再把剩下的拆开来一起分。

师：你觉得哪种分法更简单？为什么？

生：第二种更简单，因为第一种要分3次，第二种只要分2次就够了。

师：都是分，为什么第二种只要分2次就够了呢？

生：第二种分法把剩下的1捆和余下的2根合起来一起分，所以少分了1次。

【说明：在学习除法竖式之前，学生已经学习了加、减、乘的竖式，这三种竖式都有一个共同的地方：都是从低位算起。那为什么除法竖式要从高位算起？这是学生的一个认知障碍，也是本课的知识难点。其实笔算除法并不是不能从低位算起，只是从低位算起会让原本简单的过程复杂化。此环节，借助小棒分的过程，让学生直观感受到先分整捆比较简便，迁移到除法竖式，也就是先算整十数比较简便。借助操作明晰笔算除法从高位算起的道理。】

3. 抽象概括，“理”“法”结合。

（1）自主列式，形成表象。

师：同学们，刚才在笔算的时候我们遇到了困难，那现在通过两次分小棒的过程，你有没有得到一些启发和帮助，试着再笔算一下52÷2。

（2）对比分析，理解算法。

展示学生作业：

师：这两种做法，你觉得那种更能清晰地表现出刚才分小棒的过程？为什么？

生：第一种写法更简单，一步就完成了。

生：我觉得应该是第二种，从第二种我们可以看出来第一次分了4捆，第二次分了12根，把我们分小棒的过程都写清楚了。

生：用第二种办法，当你不知道答案的时候，你也可以想象分小棒，先分几捆，再把剩下的合起来分，就能知道答案了。

师：他们的意思你们明白了吗？谁能把第二种写法的道理再说一遍？

师：同意他们的说法吗？按照他们的说法，把你的竖式再修改修改。

【说明：学生受原有“表内除法”竖式的影响，无法完全摆脱一步到位的竖式计算的负迁移。在原有认知障碍的干扰下，只有让学生直面障碍，把两种方法列出来让其进行对比，让学生在说理辨析中，逐步明白了第二种竖式能清晰地将刚才分小棒的过程表达出来，便于以后计算不好直接口算的题目。这个竖式能帮助我们理清计算过程，让学生感受到笔算除法这样列式的优势及其作用，让学生的学习有豁然开朗的感觉。】

4.练习巩固，深化算理。

（1）计算：42÷3 42÷2

说理：请你说一说每一步所表示的意思。

（2）微课：笔算除法为什么要从高位算起

【说明：根据学生的认知障碍，本节课从例题2入手，明晰了例题2的算理和算法，再回头教学例题1，学生会用新知的模型进行正迁移。此时，引导学生再来讲明42÷2的笔算原理，不仅避免了学生受到口算及一步计算的竖式干扰，把算法合理地迁移，而且能在解释算理中进一步把握算法，使得数学教学有理有据。】

算理与算法是计算教学两个不可或缺的关键。算理是对算法的解释，是理解算法的前提，算法是对算理的总结与提炼，是技能形成的关键，它们是相互联系、有机统一的整体。透彻理解算理和熟练掌握算法是提高学生计算能力的重要保证。计算教学不仅要让学生在直观中理解算理，也要让学生理解抽象的算法，还要让学生体验直观到抽象的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实掌握。