几何直观——数学学习的脚手架

马捷春 罗鸣亮

数学是抽象的科学，对于小学生来说，正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。要让学生理解高度抽象的数学内容，就应该在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间架起一座桥梁，借助形象直观的模型作为其解释和支撑，那就是几何直观。几何直观是《数学课程标准》提出的十个核心理念之一。《数学课程标准》中对“几何直观”是这样解释的:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”

细细研读，我们可以发现几何直观借助图形描述问题的范围更宽广，除了“图形与几何”领域中的问题，还涉及“数与代数”、“统计与概率”等，基本涵盖了小学数学四大领域。而这儿所指的“图形”不仅局限于几何图形，运算符号、方框、箭头等直观的符号表示出的图示语言，甚至用图形、文字、字母表示出来的数量关系式都可以看成是一种“直观”。

在数学教学中，借助恰当的图形、直观的模型，有利于揭示数学对象的性质和关系，讲清道理，从而帮助学生直观地理解数学。

一、化静为动，理解计算原理

理解算理、掌握算法是计算教学的核心要素之一。理解算理是掌握算法的基础。小学生的思维以直观形象思维为主，对算理的理解应该建立在丰富典型的直观表象基础上。因此，在探究算理的过程中，通过摆一摆、圈一圈、画一画等形式来直观表征思维过程，能够帮助学生打开思维的大门，突破数学理解上的难点。

例如，教学《除数是整十数的口算除法》时，教学例题1：有80面彩旗，每班分20面，可以分给几个班。学生容易出现80÷20=40这样的错误，究其原因，一是受已有整十数加减法的数位对齐惯性思维影响，80-20=60，从而迁移到80÷20=40；二是对算理不理解，8÷2=4，为什么80÷20也等于4呢？对于这一抽象的数学算式，学生无法用自己的逻辑思维进行合理的推算。要帮助学生理解口算的算理，就要让学生经历算理的形成过程，让学生自主操作，感悟算理。此时，教师可以借助小棒，让学生自主操作，80根小棒代表的是80面红旗，每20根分一份，学生在分的过程中，发现一根一根数很麻烦，就会自发地把80根小棒捆成8捆，这一捆，就明白了80表示8个十，再每2捆分一份，也就20根为一份，分成了4份。从而明白，8÷2可以表示8捆小棒，每2捆分一份，可以分成4份。而每捆小棒有10根，其实也就是表示8个十，每2个十分一份，分成了4份，从而得出80÷20=4的道理。在探究算理的过程中，化“静”的数学思考为“动”的操作过程，借助“动”的生动和直观，有效地阐明了抽象的计算原理，让学生的学习清晰、深刻。

二、以形析数，表征问题过程

几何直观与想象、逻辑、推理也是不可分的。它不仅仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

如，四年级《近似数》一课的教学，求近似数所用的“四舍五入法”涉及背后的数据分布问题，只有假设数据是正态分布才能用四舍五入。如果我们知道某一类数据的整体分布是偏右的，比如某一次考试大部分是90分以上，而此时要以10分为等级对学生做出区分（数据使用的目的），那么就可以五舍六入，甚至七舍八入（数据使用的手段）。反之，数据分布偏左，则可以二舍三入、三舍四入。一般上，正态分布是数据分布的常态，所以我们也很少追问四舍五入背后的现实基础。而其实，规定常常有其何以如此规定的逻辑，这一点教师应该知道。

本课中，在让学生猜测汽车的价钱后，问：“汽车价格约是8万，这个数万位可能是几？”“为什么可能是 7、8，不可能是其他数呢？”。如果是7，“千位呢？”学生答：“可能是5、6、7、8、9，不可能是 0、1、2、3、4”。此时，揭示答案却是4！教师反问道：“可以是4吗？为什么不行？”再让学生在数轴上找到74999，说明74999相对而言不接近80000更接近70000，它的近似数是70000，不是80000，直观揭示“四舍五入”的由来。通过对比，让学生对近似数的认识更深刻！教师顺势揭示：74580！将学生刚从数轴上获取的新知又弄混了，教师给出解释：上课前一紧张把数字的顺序弄混了，应该怎么调整呢？调整后的数又分别在数轴上的哪里呢？之后，学生按照老师的提示语“高了、低了”逐步调整顺序，很快找到正确答案：78450。

整个过程用数字卡片在黑板上的反扣、翻动、移位结合数轴引导学生感受为何规定“四舍五入”，知识复归到它形成的过程状态，这个状态是鲜活的，培养了学生的兴趣和数感。有些特定的解决问题，思考时具有一定的顺序性，我们可以引导学生根据题意画出树状图，边画边思考，答案慢慢就会水落石出。

三、借图释理，感悟思想方法

数学的思想方法可谓是数学的灵魂。几何直观是作为数学思考的一种方式提出的，其更深远的价值在于“帮助学生直观地理解数学”，运用这些基本图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，帮助我们把困难的数学问题变得容易，把抽象的数学问题变得简单。教师可以充分发挥几何直观的优势，通过有效地渗透数学基本思想方法，帮助学生在说理操作中感悟其应用价值。

如：一个长方形的长是10厘米，减去一个最大的正方形后，剩下的小长方形的周长是多少厘米？

此题一抛出，质疑声是此起彼伏的：“老师，长方形的宽都不知道，怎么求呀？”教师可以适当地引领：长方形的宽是多少没有告诉我们，要解决这个问题你会怎么想？引导学生根据自己的实践情况，采用假设、直接观察分析、请老师帮助等办法解决问题，需要帮助的应其所求给发一个锦囊妙计（分别写着宽是1～9厘米的字条）。完成解题后让学生展示了他们用不同的策略得到的解决方法，发现当宽是1厘米时，剩下的周长是20厘米。假设宽是9厘米，剩下的周长也是20厘米，这是为什么呢？学生借助示意图（如图1）对比发现：剪掉最大的正方形后，虽然长变短了，但是两条长减少的长度恰好等于剩下小长方形的两条宽，所以不管宽为多少，其周长总是等于两条长之和，也就是20厘米。

（图1）

又如，在解决经典题“鸡兔同笼”的问题时，“鸡兔共8只，有26只腿，鸡兔各几只？”除了画图理解，先假设全是鸡，再在鸡的基础上添上腿，换成是兔（如图2）。

（图2）

还可以用“面积图”理解。利用长方形的面积公式计算组合图形的面积。（如图3）

（图3）

尽管是第二学段的学生，面对这样复杂的规律，学生们仍然需要借助“形”来解决问题，教师在数学课堂教学中尝试通过引导学生用图形解释、理解、分析、记忆数学知识或现象的研究，探索出有效发展学生用“图形语言”来思考问题能力的方法，获得解决问题的初步经验和策略。

几何直观并不能简单地等同于能用图描述问题的技能，几何直观更为深远地表现为能够借助图形去思考的能力。教师在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识和能力时，要关注学生运用几何直观表征问题的过程，以及表征之后的反思与顿悟。没有反思和顿悟，学生可能获得了几何的方法，却未必获得几何直观的能力，难以形成与之相应的数学思维模式。站在这个角度看，几何直观虽然是借助图形展开思维活动，但明显超越了图形，走向了直观，因此直观思维才是它的核心和重点。只有不断地运用，形成正向的动力定型，才会逐步形成一种当遇到抽象理性的问题时，主动地想到适合的直观层面上去推动思维展开的思维方式。

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