一道排列组合试题的释疑与启示

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

一道排列组合试题的释疑与启示

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

试题从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有几种?

解法1假设6双不同颜色的手套分别为A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2,F1F2.依题意有取出的4只手套中2只同色,2只不同色.

解法2假设6双不同颜色的手套分别为A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2,F1F2.依题意有取出的4只手套中2只同色,2只不同色.

第三步:由于2只要不同色,故与上述颜色相同的手套不能再取,即从剩下的8只手套中任取一只,有种.

比较上述两种解法,相同点在于第一步,从6双中选取1双,都是种.不同点在于对另2只不同色的选取方法上,解法1有种,解法2有种.这两种解法似乎都是对的,难辨是非.可是两者答案不一致,第二种是错误的.那到底错误的原因在哪里呢?笔者认为,要弄清楚本道试题,就要解决以下两个疑问:

疑问1解法2是否可以保证取出的另外2只不同色?

疑问2解法2为什么会导致重复计算?

带着以上疑问,笔者进行如下思考.

1.将问题简单化

题目中涉及到6双不同颜色的手套,且从中取出4只,似乎过于复杂,我们不妨将问题简单化,这样方便说明问题.

改题从2双不同颜色的手套中任取2只,这2只不同色的取法有几种?

分析假设这2双不同颜色的手套分别为A1A2,B1B2.按照解法1的思路,有按照解法2的思路有那么这两个答案哪个是对的呢?

下面,我们用列举法的思路来考虑问题.

共8种情况.由此可见,这两种解法的区别在于第一种不用考虑顺序,第二种要考虑顺序.那么哪一种才符合题意呢?由于题目要求从2双不同颜色的手套中任取2只,这2只不同色.根据实际意义可知,取出的这2只只要不同色即可,并不需要考虑顺序.也就是说(A1,B1)和(B1,A1)只能算一种,(A1,B2)和(B2,A1)只能算一种,(A2,B1)和(B1,A2)只能算一种,(A2,B2)和(B2,A2)只能算一种.

综合以上分析,对于改题,两种解题思路都可以保证取出的这2只不同色,但是解法1没有顺序之分,而解法2有顺序之分,故解法1的答案是正确的.

2.回归原题

原题中的解法第一步都相同,比如都选出A1A2.解法1对另2只不同色的选取,是先从剩下的五双中取出两双,如选出B1B2,C1C2,再从这两双中各取1只,如选出B1,C2.这样当然可以保证取出的2只不同色.解法2对另2只不同色的选取,是从剩下的10只手套中任取一只,如选出B1,再从与B1不同色的8只手套中任取一只,如C2,这样的取法同样可以保证2只不同色.因此两种取法都可以保证另2只不同色,故问题的本质不在于能否保证取到的另2只不同色.

对于本题,另2只不同色的选取,是不需要考虑顺序的,这是解决本题的关键之所在.解法1先从剩下的五双中取出两双,再从这两双中各取1只,这样的取法不仅保证了另2只不同色,而且没有顺序之分,所以得到的结果是正确的.解法2从剩下的10只手套中任取一只,再从与上述手套不同色的8只手套中任取一只,尽管可以保证取出的另2只不同色,但是会导致重复计算.比如第一次选B1,第二次选C2;也可能第一次选C2,第二次选B1.这就是为什么解法2的答案是解法1的两倍的原因了.

综合以上分析,对于原题,两种解题思路都可以保证取出的另2只不同色,但是解法1没有顺序之分,而解法2有顺序之分,故解法1的答案是正确的.由此可见,两种解法的本质区别在于是否考虑顺序.

3.变换思维,正难则反

对于原题,既然容易产生多解,那我们不妨换另外一个角度来分析,正难则反.第一步同样是从6双中选取1双,有C16种.第二步,对于另外2只不同色的选取,可以从剩下的10只中选2只,再扣去选出的这2只是同色的情况,共有−5种.因此,总共有种.

4.教学启示

在排列组合的试题中,经常会由于各种各样的原因导致错误的结果比实际多出很多(不一定是倍数).这就需要我们不仅要弄清楚排列和组合的区别与联系,更要根据实际意义作出判断与分析.请看以下例题.

例1 4个不同的字母分成两组,每组两个,有几种不同的方法?

分析假设4个不同的字母分别为a,b,c,d.要将它们分成两组,可以有以下情况:

a b c d a c b d b c a d

共有3种.

错解中,实际上是以下情况:

a b c d a c b d b c a d c d a b b d a c a d b c

共有6种.也就是说,a b一组,c d一组和c d一组,a b一组是同样的情况,不能重复计算.因此本题的正确解法是

例2某校安排5个班到4个社区进行社会实践,每个班去一个社区,每个社区至少要安排一个班.则不同的方法有几种?

分析为了弄清楚上述解法错误的原因,先将题目简单化.

改题某校安排3个班到2个社区进行社会实践,每个班去一个社区,每个社区至少要安排一个班.则不同的方法有几种?

假设这3个班级分别为a,b,c这两个社区分别为甲,乙.按照上述思路,从3个班级选出两个,有三种情况:ab,bc,ac.

对于ab这一类,将他们分配到甲,乙两个社区,再将c安排进去,有如下情况:(a,bc),(ac,b),(bc,a),(b,ac).

对于bc这一类,将他们分配到甲,乙两个社区,再将a安排进去,有如下情况:(b,ac),(ab,c),(ac,b),(c,ba).

对于ac这一类,将他们分配到甲,乙两个社区,再将b安排进去,有如下情况:(a,bc),(ab,c),(bc,a),(c,ba).

可以发现,按照上述分析,出现了重复,将重复的扣去,共有6种.因此不难理解原题的解法是错误的,会导致重复计算.故原题正确的解法是种.

例3(13年重庆高考理科第13题)从3名骨科,4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科,脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是____.

分析不妨设3名骨科医生分别为a,b,c,4名脑外科医生分别为d,e,f,g,5名内科医生分别为h,i,j,k,l.按照上述解法,

第一步:从3名骨科医生中选出1名,如选a;

第二步:从4名脑外科医生中选出1名,如选d;

第三步:从5名内科医生选出1名,如选h;

第四步:从剩下的9名中再选出2名,如选b,c.

此时,选出的5名为a,d,h,b,c.

实际上,按照上述解法,还可以这么选取:

第一步:从3名骨科医生中选出1名,如选b;

第二步:从4名脑外科医生中选出1名,如选d;

第三步:从5名内科医生选出1名,如选h;

第四步:从剩下的9个中再选出2名,如选a,c.

此时,选出的5名同样为a,d,h,b,c.

因此,按照上述解法,得到的答案比正确答案要多.正确的解法应该是:

故共有590种.

通过上述题目可以发现,求解排列组合试题,没有一成不变的结论,没有一劳永逸的公式,而要根据题目的条件灵活求解,考虑方方面面的因素最终得到正确答案.因此在学习过程中我们要摒弃那些僵硬的解题思路,学会变通,这才是求学的正确之道.