一元二次方程的四种基本解法及其内在联系

华南师范大学数学科学学院(510631)张潘越

一元二次方程的四种基本解法及其内在联系

华南师范大学数学科学学院(510631)张潘越

一、直接开平方法

直接开平方法是对形如:(ax+h)2=k,(k≥0)的方程左右两边直接开平方的方法.直接开平方法是解一元二次方程的最基本解法,它是配方法、公式法的基础,因为配方法和公式法最终都是通过开方来对方程进行降次的.

例1.1求一元二次方程(2x+2)2=4的解.

解:显然(2x+2)2=4符合直接开平方的形式,于是对两边直接开平方得:2x+2=±2,即原方程的解为:x1=0和x2=−2.

例1.2求一元二次方程9x2+18x+9=0的解.

解:易知方程9x2+18x+9=0可化为:(3x+3)2=9,符合直接开平方的形式,于是对两边直接开平方得:3x+3=±3,即原方程的解为:x1=0和x2=−2.

显然,并不是所有的一元二次方程(ax+h)2=k,(k≥ 0)都以的形式出现,这意味着并不是所有的一元二次方程都可以用直接开平方法来求解,例如x2+2x−3=0就不能用此方法来求解,这就需要我们寻求其它的方法来对这种形式的一元二次方程进行求解.

二、配方法

配方法即将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方的形式,然后利用开方将x的次数降为一次进而求得方程的解的方法.配方法可以说是解一元二次方程中最为核心的方法,因为配方法不仅是解一元二次方程的通用方法,而且配方法的可操作性强,步骤也易于学生理解掌握,另外配方法也是使学生理解掌握公式法的关键,因此配方法是一元二次方程教学中的重点.

配方法的解题步骤如下:

①移常数项.即将ax2+bx+c=0(a≠0)的常数c移到等式的右边,得到ax2+bx=−c;

④判断b2−4ac是否大于等于零.若b2−4ac≥0则原方程有解,两边直接开平方,终得解为若b2−4ac<0则原方程无解.

例2.1求一元二次方程4x2+24x+27=0的解.

三、公式法

例3.2求一元二次方程9x2+6x=−1的解.

解:原方程的标准方程为9x2+6x+1=0,又∆=b2−4ac=0故原方程有两个相同的解,即原方程的解为

用公式法解一元二次方程其步骤非常简便,只需要判断判别式的正负再由求根公式既能得到方程的解,而配方法则还需要通过配方等步骤,但这不意味着所有的一元二次方程用公式法会是最简便的,公式法与配方法各有各的优点,当方程的系数较大时可能就要放弃用公式法来求解,而需尝试用配方法及接下来要谈到的因式分解法来求解了.例如这样一个方程x2+178x+7872=0用公式法来求解就不太容易,反而用配方法易将原方程配成(x+89)2=49进而求出原方程的解.

四、因式分解法

我们知道因式分解即是将一个多项式转化成多个整式乘积的形式.而解一元二次方程的因式分解法是将方程等式一边化为零,另一边化为两个含x一次因式的乘积,再令这两个因式分别为零,从而得到方程解的方法.可以看出因式分解法的降次方法跟前面几种方法是不一样的,直接开方法、配方法、公式法均是通过开方来实现降次,而因式分解法则是通过将原方程分解为两个一次多项式的乘积来实现降次.对一元二次方程进行因式分解的方法有多种,接下来就提取公因式法、公式分解法、十字相乘法具体展开.

I.提取公因式法:如果一个一元二次方程的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法.在对一个多项式进行因式分解时,我们往往先考虑用提取公因式法对其分解.

例4.1求方程(x+1)x+3(x+1)+(x+3)=0的解.

解:首先对等式左边提取因式(x+1)可得:(x+1)(x+ 3)+(x+3)=0,再对等式左边提取公因式(x+3)可得: (x+2)(x+3)=0,则由x+2=0与x+3=0可得原方程的两个解:x1=−2与x2=−3.

II.公式分解法:通过学过的平方差公式(a−b)(a+b)=a2−b2和完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2来对一元二次方程进行因式分解.由于学生在平方差公式和两个完全平方公式的学习中思维是正向的,是根据已知条件推理到未知结果的.因此教师在教学的过程中应该首先要求学生掌握什么是整式的乘法,将其与因式分解区别开来.根据斯法德提出的过程对象的特征将公式因式分解的过程呈现出来,可以将平方差公式:

完全平方公式:

的过程给展现出来,让学生通过观察对比整式乘法和因式分解的互逆的全部过程,然后在应用公式对多项式进行因式分解的练习过程中逐渐形成图示结构.[1]通过以上可发现公式分解法实质上是通过加减项进行配凑的提取公因式法,体现了逆向思维.

例4.2求方程4x2+2x−6=0的解.

解:首先将等式左边的−6分解为−4与−2得4x2−4+ 2x−2=0由平方差公式可得(2x+2)(2x−2)+2x−2=0,再提取公因式2x−x可得(2x+3)(2x−2)=0,则由2x+3=0与2x−2=0可得原方程的两个解:x1=1与

III.十字相乘法:虽然目前初中的课程标准对十字相乘法已经不作要求,但是笔者认为,学习掌握好十字相乘法不仅能使学生更快捷有效地解决一些题目,而且其体现的“试误”的思想能培养学生猜想探索的精神.所以有必要在这里作具体的介绍,下面以笔者对一道新加坡教材《New Mathematics Count》里的改编例题进行展开介绍十字相乘法.

例4.3用十字相乘法求方程2x2+5x+2=0的解.

解:对于2x2+5x+2;

第一步:确定二次项以及常数项可能的因子:2x2→x×2x,2→(+1)×(+2);

第二步:将因子竖直写成下图形式:

图1

第三步:将因子交叉相乘并将结果写在第二列上方:

图2

第四步:将第二列上方的结果相加,如结果不等于原方程的一次项则舍去:

图3

第五步:交换1和2的位置,交叉相乘并再次将第二列上方的结果相加:

图4

第六步:如果第五步是被接受的,则2x2+5x+2的因式就是那些被圈起来的:

图5

所以2x2+5x+2=(x+2)(2x+1)=0,原方程的解为:x1=−2与x2=

从数学知识的纵向联系而言.用十字相乘法分解因式在解一元二次方程中具有举足轻重的作用.而在掌握了一元二次方程根与系数的关系以后,再看十字相乘法或许就不仅是一种简单的通过拼凑分解因式的方法了.另外这种交叉相乘的思想在高等代数的行列式部分也有很重要的意义.[2]

五、总结与教学启发

本文介绍了解一元二次方程的四种基本解法并探讨了这四种解法之间的内在联系.这四种解法的实质都是将二次方程转化为一次方程最终得到方程的解,可以看出直接开平方法是配方法以及公式法的基础,而配方法的实质是通过配方将问题转化为能直接开平方,公式法的本质又是配方法,因为公式法是由配方法推导出来的,并且配方法与公式法都是解一元二次方程的通用方法.而因式分解法只适用于部分的方程,但是如果题目能够使用因式分解法的话一般解题都会非常的简便快捷.在这四种基本解法的教学过程中,教师应避免将这几种解法分割开来讲授,而应注重揭示解法之间的内在联系,这样学生才能更好理解、接受和掌握这几种解法,同时也使学生真正把握初中数学知识的脉络.

[1]黄涛.初中生因式分解学习认知障碍分析及教学策略[D].广西:广西师范大学,2013.

[2]杨慧娟,邢蓉,李明兰.也谈“十字相乘法”—新加坡教材中十字相乘法介绍及思考[J].数学通报,2006.