谈一谈“韦达定理运用中的隐含条件”

江西省奉新县第二中学(330700)余秋根

谈一谈“韦达定理运用中的隐含条件”

江西省奉新县第二中学(330700)余秋根

一元二次方程根与系数的关系定理也称为韦达定理,它是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理是指:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么运用该定理求方程中参数k的值时,一定要注意定理的隐含条件:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必须有实数根(即根的判别式∆≥0).下面举例解析如下:

例1:关于x的方程x2+(k−1)x+k2=0的两根互为倒数,则k=____.

甲同学答案:k=±1

请问:甲同学答案是否完全正确呢?

乙同学回答:这个答案有错误,正确解答如下:

解:设方程两个实数根分别为x1,x2,则x1·x2=k2=1,∴k=±1,

当k=1时,方程为x2+1=0,∆=−4,无实数根,因此k=1不成立.

当k=−1时,方程为x2−2x+1=0,∆=0,有实数根,因此k=−1成立.∴k=−1.

例2:关于x的方程x2+(k−2)x+2k−1=0两根互为相反数,求k的值.

解:设方程两个根分别为x1,x2,则x1+x2=−(k2−4)=0,∴k=±2,

当k=2时,方程为x2+3=0,∆=−12,无实数根,因此k=2不成立.

当k=−2时,方程为x2−5=0,∆=20,有实数根,因此k=−2成立.∴k=−2.

例3:已知x1,x2是关于x的方程x2−(k−1)x+2k=0的两个实数根且求k的值.

解:x1+x2=k−1,x1·x2=2k而∴(x1+x2)2−2x1·x2=8,∴(k−1)2−4k=8,即k2−6k−7=0,解得k1=7,k2=−1.

当k=7时,方程为x2−6x+14=0,∆=−20,无实数根,因此k=7不成立.

当k=−1时,方程x2+2x−2=0,∆=12,有实数根,因此k=−1成立.∴k=−1.

例4:已知x1,x2是关于x的方程x2−(2k−3)x+k2+ 1=0的两个根且x1+x2+2x1·x2=3,求k值.

解:x1+x2=2k−3,x1·x2=k2+1,代入得2k−3+2(k2+1)=3即k2+k−2=0,解得k1=1, k2=−2.

当k=1时,方程x2+x+2=0,∆=−7,无实数根,因此k=1不成立.

当k=−2时,方程x2+7x+5=0,∆=29,有实数根,因此k=−2成立.∴k=−2.

例5:是否存在实数k,使关于x的方程kx2+(k+2)x+的两个实数根的倒数和等于0?

评注:例1,2,3,4中各求得两个k的值,经检验∆的符号都有一个k值不合题意二舍去,而例5中好不容易只求得一个k值为什么也不符合题意而舍去.其实道理很简单,当我们刚开始解题十时根本没有关注原方程是否有实数根,而是往往默认原方程有实数根,从而设两根分别为x1,x2,因此,笔者温馨提示:利用韦达定理求一元二次方程中参数k值时,一定不忘验算的符号∆=b2−4ac,当k≥0时就成立,当k值满足∆<0时就不成立,应舍去.

[1]肖斌.充满活力的韦达定理[J].《中学教与学》1988年07期.

[2]黄细把.判别式与韦达定理的综合运用[J].《中学生理科月刊》1999年36期.

[2]余广萍.应用判别式与韦达定理的常见错误[A].青海师大附中.教研撷华.

例6.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图六的长方体水池,培育不同品种的鱼苗,他已备足可以修高为1.5m,长为18m的墙的材料准备施工,若想使水池的总容积最大,与现有一面墙垂直的墙的长度应为多少?最大容积是多少?(不考虑墙的厚度)

解:由推论3知,当2AC=2×3AD=18m,即当AC=9m,AD=3m时,长方体水池有最大容积,最大容积是9m×3m×1.5m=40.5m3.