基于改进集的集值Ekeland变分原理的等价性

万 轩，瞿先平,2，陈华峰

(1.重庆电讯职业学院 基础部，重庆 402247；2.重庆理工大学 计算机科学与工程学院,重庆 400054)



基于改进集的集值Ekeland变分原理的等价性

万 轩1，瞿先平1,2，陈华峰1

(1.重庆电讯职业学院 基础部，重庆 402247；2.重庆理工大学 计算机科学与工程学院,重庆 400054)

根据各种Ekeland变分原理的等价形式，主要研究具有改进集的集值Ekeland变分原理的等价性。首先利用具有改进集的集值Ekeland变分原理证明了集值Caristi-Kirk不动点定理，集值Takahashi非凸极小化定理和集值Oettli-Théra定理。进一步研究具有改进集的集值Ekeland变分原理、集值Caristi-Kirk不动点定理、集值Takahashi非凸极小化定理和集值Oettli-Théra定理的等价性。

Ekeland变分原理；集值映射；Caristi-Kirk不动点定理；Takahashi非凸极小化定理；Oettli-Théra定理；等价性

0 引言

众所周知，在20世纪70年代，Ekeland[1-2]给出的经典的Ekeland变分原理是非线性分析中获得的最重要的成果之一，同时在非线性分析、控制理论以及博弈论等相关领域中起到非常重要的作用。近年来，许多学者对Ekeland变分原理从不同的角度对其进行了各种各样的推广及其对其等价性结果进行了研究[3-8]。特别地，陈等人[3]分别在完备序空间和完备度量空间中建立了相关的广义集值Ekeland变分原理。Ha[4]在局部凸空间中建立了一类变形的集值Ekeland变分原理，即Ha型集值Ekeland变分原理，并对其稳定性进行了研究。Gutiérrez等人[5]利用集值度量等概念对向量值Ekeland变分原理进行推广，得出了一类新的带集值度量的Ekeland变分原理。丘[6]对Ha[4]所建立的Ha型集值Ekeland变分原理进行了推广，并对其等价性进行了研究。进一步，丘[7]利用集值拟度量对Gutiérrez等人[5]的主要结果进行了推广，建立了集值拟度量的集值Ekeland变分原理，并对其在近似解方面进行了相关研究。最近，万轩等人[8]对给定有界凸子集乘以距离函数为扰动的单调半连续映射的向量Ekeland变分原理的等价性进行了研究。万轩等人[9]利用非线性标量化函数以及相应的非凸分离定理建立了具有改进集的集值Ekeland变分原理。

本文在文献[6-9]中的相关研究工作的启发下，利用具有改进集的集值Ekeland变分原理建立集值Caristi-Kirk不动点定理、集值Takahashi非凸极小化定理和集值Oettli-Théra定理，并给予证明，并进一步研究它们与具有改进集的集值Ekeland变分原理之间的等价性。

1 预备知识

本文假定(X,d)是度量空间，Y是局部凸空间，N+表示正整数全体。设A⊆Y，intA和clA分别表示A的拓扑内部和A的闭包。锥K⊆Y称为点的，若K∩(-K)={0}。设K⊆Y为点闭凸锥且int K≠∅，对任意的x,y∈K有x≤Ky⟺y-x∈K。

设F:X→2Y为集值映射。称F为K-闭的，若对任意的x∈X，F(x)+K是闭的。称F(X)是K-有界的，若存在有界集M⊆Y使得F(X)⊆M+K。

定义1[6]称(X,d)是(F,K)-下完备的，若Cauchy点列{xn}⊆X收敛且满足对任意n∈N+，F(xn)⊆F(xn+1)+K。

称F在X上为K-序列下单调的，若F在任意x∈X处均为K-序列下单调的。

定义3[10-12]称非空集E⊆Y为关于K的改进集，若0∉E且E+K=E。Y中关于K的全体改进集簇记为Y。

注1 由文献[11]中的引理2.1可知，int K≠∅蕴含int E≠∅。

定理1[9]设E∈Y为凸集且E⊆ int K，F:X→2Y是K-序列下单调的且K-闭的，(X,d)为(F,K)-下完备的。若x0∈X满足F(x0)F(X)+E。则存在满足

(1)

(2)

2 主要结果

在本节中，我们将给出具有改进集的集值Caristi-Kirk不动点定理、集值Takahashi非凸极小化定理和集值Oettli-Théra定理，并研究与具有改进集的集值Ekeland变分原理之间的等价性。

定理2(集值Caristi-Kirk不动点定理) 设E∈Y为凸集且E⊆int K，F:X→2Y是K-序列下单调的且K-闭的，(X,d)为(F,K)-下完备的。若x0∈X满足F(x0)F(X)+E，对于集值映射T:X→2Y满足对任意x∈X，存在z∈Tx使得

F(x)⊆F(z)+d(x,z)E

(3)

(4)

(5)

定理3(集值Takahashi非凸极小化定理) 设E∈Y为凸集且E⊆int K，F:X→2Y是K-序列下单调的且K-闭的，(X,d)为(F,K)-下完备的。若x0∈X满足F(x0)F(X)+E。如果对于集值映射F中的任意一个不是严格极小值点x∈X，存在z∈X{x}使得F(x)⊆F(z)+d(x,z)E。则F在X上存在严格极小值点，即存在使得

证明 首先给出Sx和Tx的定义

Sx={z∈X{x}: F(x)⊆F(z)+d(x,z)E}

1)当x是F的严格极小值点时，定义Tx为Tx={x}；

2)当x不是F的严格极小值点时，定义Tx为Tx=Sx。

通过Sx和Tx的定义，显然可得对任意x∈X有x∉Sx，Tx≠∅和T:X→2Y为集值映射。又因为对任意一个不是F的严格极小值点x∈X可得，存在z∈Tx使得z∈Sx，即，z≠x和F(x)⊆F(z)+d(x,z)E。

定理4 定理3蕴含定理1。

证明 假设x0∈X满足F(x0)F(X)+E。设

S={x∈X: F(x0)⊆F(x)+d(x0,x)E}

下证(2)式成立。若(2)式不成立，则对任意x∈S，存在z≠x使得

F(x)⊆F(z)+d(x,z)E

(6)

又由d(x0,z)≤d(x0,x)+d(x,z)可得

d(x0,x)E+d(x,z)E⊆d(x0,z)E+K

(7)

F(x0)⊆F(x)+d(x0,x)E⊆F(z)+d(x,z)E+d(x0,x)E⊆F(z)+d(x0,z)E+K=F(z)+d(x0,z)E+d(x0,z)K=F(z)+d(x0,z)E

则z∈S。又因为z≠x，则显然有z≠x0。

(8)

注2 定理2，定理3和定理4蕴含了集值Ekeland变分原理与集值Caristi-Kirk不动点定理，集值Takahashi非凸极小化定理的等价性。

S={z∈X:F(x0)⊆F(z)+d(x0,z)E}

(9)

(10)

定理6 定理5蕴含定理1。

证明 对任意给定的x∈X，我们定义集值映射T:X→2Y：

Tx={z∈X:F(x)⊆F(z)+d(x,z)E}

故我们得出定理1中的(1)式和(2)式，即定理1成立。

注3 由定理5和定理6可知集值Ekeland变分原理和集值Oettli-Théra定理等价。

注4 由注2和注3进一步说明集值Ekeland变分原理、集值Caristi-Kirk不动点定理、集值Takahashi非凸极小化定理和集值Oettli-Théra定理的等价性。

注5 令k0∈int K，ε>0且E=εk0+K。则定理2和定理3分别可退化为文献[6]中定理3.2和定理3.3的λ=1的情况。

[1] EKELAND I.On the variational principle[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1974,47(2):324-353.

[2] EKELAND I.Nonconvex minimization problems[J].Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society,1979,1(3):443-474.

[3] CHEN G Y,HUANG X X,HOU S H.General Ekeland's variational principle for set-valued mappings[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2000,106(1):151-164.

[4] HA T X D.Some variants of the Ekeland variational principle for a set-valued map[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2005,124(1):187-206.

[5] GUTIERREZ C,JIMENEZ B,NOVO V.A set-valued Ekeland's variational principle in vector optimization[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2008,47(2):883-903.

[6] QIU J H.On Ha's version of set-valued Ekeland's variational principle[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2012,28(4):717-726.

[7] QIU J H.Set-valued quasi-metrics and a general Ekeland's variational principle in vector optimization[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2013,51(2):1350-1371.

[8] 万轩,赵克全.关于局部凸空间中向量Eekland变分原理的等价性[J].运筹学学报,2013, 17(3):124-128.

[9] 万轩,张万里,赵克全.基于改进集的集值Eekland变分原理[J].纯粹数学与应用数学,2015,31(6):567-574.

[10]CHICCO M,MIGNANEGO F,PUSILLO L,et al.Vector optimization problem via improvement sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2011,150(3):516-529.

[11]ZHAO K Q,YANG X M,PENG J W.Weak E-optimal solution in vector optimization[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2013,17(4):1287-1302.

[12]ZHAO K Q,YANG X M.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2015,64(4):739-752.

Equivalence on Ekeland’s variational principle via improvement sets for set-valued maps

WAN Xuan1, QU Xianping1,2, CHEN Huafeng1

(1.Department of Foundation, Chongqing Telecommunication Polytechnic College, Chongqing 402247, China;2.College of Computer Science and Engineering, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Based on equivalent formulations of various types of Ekeland's variational principle, we consider the equivalence on Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps. By using a Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps, we present a simple proof of a Caristi-Kirk’s fixed point theorem, a Takahashi’s nonconvex minimization theorem and a Oettli-Théra theorem for set-valued maps. Furthermore, we study the equivalence among the Ekeland's variational principle via improvement sets, the Caristi-Kirk’s fixed point theorem, the Takahashi's nonconvex minimization theorem and the Oettli-Théra theorem for set-valued maps.

Ekeland’s variational principle；set-valued map；Caristi-Kirk’s fixed point theorem；Takahashi’s nonconvex minimization theorem；Oettli-Théra theorem；equivalence

1004—5570(2016)06-0070-04

2016-09-05

重庆市教委科学技术研究项目(NO. KJ1605201)

万 轩(1987-)，男，硕士，讲师，研究方向：向量优化理论及其应用，E-mail: wanxuantony@126.com.

O221.1

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