空间中线线平行关系的寻找

◇ 江苏 沈永彬

空间中线线平行关系的寻找

◇ 江苏 沈永彬

空间中的平行关系主要有线线平行、线面平行、面面平行,解题中这3种关系可相互推导、利用,其中线线平行是解线面平行、面面平行问题思维的切入点,对线线平行的寻找常可利用平面几何中的线线平行关系,如下面的例1.

例1 (2016年北京卷)如图1所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)、(2)略.

图1

(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

本题第(3)问的求解,可取PB的中点F,连接EF.由三角形中位线性质定理可得EF∥PA,再利用线面平行的判定,即可证明欲证结论.

三角形中位线是寻找线线平行最常用的方法,特别是当题中已知某一线段的中点时,常考虑利用三角形的中位线性质证明平行关系.此方法的应用关键是构造出中点,构造时可直接选取中点,也可借助平行四边形的对角线互相平分、等腰三角形三线合一的性质等.

在不同题目类型中线线平行有不同的构造方式,具体还有如下几种.

1 利用平行的传递性

平行的传递性,即若直线a∥b,b∥c,则a∥c.

例2 (2016年山东卷)在如图2所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.

(1)已知AB＝BC,AE＝EC,求证:AC⊥FB;

(2)已知G、H分别是EC和FB的中点.求证: GH∥平面ABC.

图2

(1)略.

(2)本题的求解可取FC的中点M,连接GM、HM(如图3),通过证明面面平行来证明线面平行.而面面平行也须从线线平行入手.

图3

由三角形中位线性质得HM∥BC,GM∥EF,而EF∥BD,所以GM∥BD,即利用平行的传递性证明了线线平行.

2 构造平行四边形

平行四边形具有对边平行且相等的性质,因此解题中可通过构造平行四边形来寻找欲证的线线平行关系.具体操作过程是将所要证的线置于一个平行四边形中,使这2条线是平行四边形的2条对边,进而需要证明另外一组对边平行且相等.在利用此方法解题中,也常常要用到三角形的中位线性质.

例3 (2016年天津卷)如图4,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB＝BE＝2.

图4

(1)求证:EG∥平面ADF;

(2)求二面角O-EF-C的正弦值;

(1)如图5,连接OD,由已知条件易知B、O、D3点共线.取AD的中点M,连接GM、FM,结合三角形中位线的性质可证明四边形EFMG为平行四边形,进而得到线线平行.

图5

(2)、(3)略.

3 利用线段成比例

线段成比例的原理,即利用平行线截得线段成比例的逆定理来判断线线平行.常见的有如图6、7所示的2种类型.

图6

图7

例4 如图8在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为菱形,侧面ABE为等边三角形,且侧面ABE⊥底面BCDE,O、F分别为BE、DE的中点.

图8

(1)求证:AO⊥CD;

(1)略.

图9

设P为AC上靠近A点的3等分点,则

所以PM∥AN.从而可证PM∥平面AOF.

由于BD∥OF,OF⊂平面AOF,BD⊄平面AOF,所以BD∥平面AOF,即BM∥平面AOF.因为BM∩PM＝M,所以平面BMP∥平面AOF.因为BP⊂平面BMP,所以BP∥平面AOF.

综上,3种平行关系相互转化是处理空间平行关系的主要途径,其中线线平行是基础也是重点.平行的判定和证明中都离不开线线平行,所以寻找平行线成为解决问题的关键一步.学习中同学们要善于对不同的题进行归纳总结,快速寻找问题求解策略.

(作者单位:江苏省宝应县安宜高级中学)