探究性学习的体会

◇ 湖北 张奕昕

探究性学习的体会

◇ 湖北 张奕昕

平面向量题是高考重点考查的知识题型,由于其具有代数与几何双重身份,在小题考查中相对有一定难度.本文通过对一道向量高考题的多角度分析,使考生明确向量问题求解途径.

1 利用平面几何性质,转化向量内涵

平面向量中的很多问题都有着其特定的几何背景,充分利用向量的几何模型,是解决向量问题的常用手段和重要策略.

解法1 由题意得点B1、B2在以O为圆心的单位圆上.点P在以O为圆心、半径为1/2的圆内.又所以点A在以B1B2为直径的圆上.当P与点O重合时最大,最大值为当P在圆周上时,最小,最小值为

2 借助坐标运算,化抽象为具体

坐标化思想是处理向量问题的有力工具,其特征就是利用坐标形式将向量问题代数化,简化思维量.其核心是准确确定向量的坐标.

解法2 根据条件知A、B1、P、B2构成一个矩形,以AB1、AB2所在直线为坐标轴建立如图1所示平面直角坐标系.设|AB1|＝a,|AB2|＝b,则点O(x,y)、P(a,b).

图1

所以1－x2＋1－y2＜1/4,即

因为(x－a)2＋y2＝1,所以

即y2≤1.同理x2≤1,所以

由式①、②知7/4＜x2＋y2≤2.因为

3 借助临界分析,突显几何直观

对于向量关系错综复杂的问题,需要挖掘这些关系,将问题表征成直观形象的图形来简洁求解.

图2

同理可判断段AP的延长线上时,与题意不符.故可确定点O在线段AP上.

图3

设O1A＝x,在△OO1B1中,O1B1＝x,OO1=x－1/2,OB1＝1.由勾股定理即解得(另一值舍去).

以上视角可以帮助我们更好地思考和理解向量本质,顺利解决向量的综合问题.

(作者单位:湖北武汉市第二中学)