对称相交圆柱的研究

邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)



对称相交圆柱的研究

邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)

给出了四个圆柱沿正四面体对称轴方向，六个圆柱沿正方体面对角线方向，六个圆柱沿正十二面体面心连线方向，它们公共相交部分的顶点坐标，表面积和体积.利用数学软件，绘出了它们的三维图形.

相交圆柱； 正多面体； 体积

1 引 言

高等数学中的多重积分以及曲面积分，一个很重要的应用是求封闭曲面围成立体的表面积和体积.这些曲面，除了最典型的球面，圆柱面等，还有旋转曲面[1]和二次曲面[2].还有一种曲面，看起来很简单，但实际计算很麻烦.这种曲面就是圆柱面的组合，所包围的立体称为Steinmetz 体[3].几个相同的圆柱，沿着多面体的对称轴方向放置，它们的公共部分，就是Steinmetz 体.Steinmetz 体系列中最简单也是最有名的是牟合方盖，即两个相同圆柱体垂直相交公共部分，中国古代数学家祖暅利用牟合方盖求出了球的体积.文献[4]给出了四个圆柱体沿正四面体的对称轴方向以及六个圆柱体沿正方体的面对角线方向，这两种Steinmetz 体的体积，但没有给出具体计算细节.我们给出计算细节，并给出了六个圆柱体沿正十二面体的面心连线方向Steinmetz 体的顶点坐标和体积.

2 引 理

设圆柱的轴线方向上的单位适量是n=(nx,ny,nz)，圆柱面上任意一点坐标是r=(x,y,z)，那么圆柱面的方程是

图1 Steinmetz 体的基本组元

即

(1)

Steinmetz 体组元的三个表面是平面，一个侧表面是圆柱面，求体积时按垂直圆柱半径方向一层层切割.由相似性，距离中心r的切割面面积为A(r)=Ar2/R2.因为半径方向始终垂直于切割面，所以Steinmetz 体组元体积为

(2)

即Steinmetz 体体积是它侧面积乘以圆柱半径乘积的三分之一，类似与棱锥体积与棱柱体积的关系.为计算方便，下文中所有圆柱的半径取为一.

3 正四面体对称性相交圆柱

正四面体对称性Steinmetz 体表面可以分为四部分，分别对应于四个圆柱面，如图2所示，

图2 正四面体对称性Steinmetz 体表面部分

(4)

图3 正四面体对称性Steinmetz 体

把图2中的四个部分组合起来，就得到正四面体对称性Steinmetz 体，如图3所示，这个物体的体积是(4)式中表面积的三分之一.

4 正方体对称性相交圆柱

(z±y)2+2x2=2,

(z±x)2+2y2=2,

(x±y)2+2z2=2.

(5)

图4 正方体面对角线对称性Steinmetz 体表面部分

图5 正方体面对角线对称性Steinmetz 体

图4中每一部分又可以分为两种“筝”形，数目分别为4和2.“筝”形的一半就是图1中的组元.由以上顶点坐标，计算得到图1组元中相应数据是

所以Steinmetz 体表面积为

(6)

把图4中的六个部分组合起来，就得到正方体面对角线对称性Steinmetz 体，如图5所示，这个物体的体积是(6)式中表面积的三分之一.

5 正十二面体对称性相交圆柱

(qy±pz)2+x2=1, (px±qz)2+y2=1, (qx±py)2+z2=1.

(7)

由(7)式解得六个圆柱相交于62个顶点. 令

(8)

图7 正十二面体对称性Steinmetz 体

把图6中的六个部分组合起来，就得到正十二面体对称性Steinmetz 体，如图7所示，这个物体的体积是(8)式中表面积的三分之一.

6 结 论

我们给出了四个圆柱沿正四面体对角线方向，六个圆柱体沿正方体面对角线方向，六个圆柱体沿正十二面体面心连线方向，这三种Steinmetz 体的空间解析几何描述，包括圆柱面方程，所有顶点坐标，表面积和体积，并用软件编制程序画出这些Steinmetz 体.数学软件绘制三维图形的优点是可以拖动旋转全方位观测，需要程序的读者可以与本文作者联系.另外，3D打印机也能打印这些Steinmetz 体，有条件的学校不妨打印实品，实验验证本文体积公式.

[1] 丁殿坤. 旋转曲面的面积及围成立体体积的求法[J].大学数学, 2007, 23(4): 184-187.

[2] 赵虹. 二次曲面所围封闭图形的体积[J].大学数学, 2013, 29(6): 138-140.

[3] Steinmetz solid[OL]: http:∥mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html.

[4] Moreton Moore. Symmetrical Intersections of Right Circular Cylinders[J]. The Mathematical Gazette, 1974, 58(405): 181-185.

An Investigation on the Intersection of Cylinders

QIUWei-gang

(School of Science, HuZhou Teacher’s College, HuZhou Zhejiang 313000,China)

The vertex coordinates, surface area and volume of intersection of cylinders with regular tetrahedron, cube and regular dodecahedron symmetry are obtained. Those 3D figures are drawn by mathematics software.

intersection of cylinders; regular polyhedrons; volume

2016-01-24； [修改日期]2016-03-12

高等学校数学物理方法课程教学研究项目(JZW-15-Sl-03)；国家自然科学基金(11475062)

邱为钢(1975-),男，博士，副教授，从事数学物理教学研究.Email:wgqiu@hutc.zj.cn

O123.2; O182.2

C

1672-1454(2016)05-0067-04