利用轴对称变换求最短路径问题

2016-12-19浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学董方泽

新教育 2016年22期

关键词：马厩对称点骑马

□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学董方泽

利用轴对称变换求最短路径问题

□浙江省宁波市鄞州区集士港镇中学董方泽

【课本原型】浙教版八上书本P50例2。如图，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。

解法：作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′，与直线l相交于点P，连结BP。骑马少年沿折线A-P-B的路线行走时路程最短。

证明：如图，在直线l上任取一点P′（与点P不重合），连结AP′，BP′，B′P′．

由轴对称的性质知，BP=B′P，BP′=B′P′

∴AP+BP=AP+B′P=AB′，AP′+BP′=AP′+B′P′

在△AB′P′中，AB′＜AP′+B′P′

∴AP+BP＜AP′+BP′。

即AP+BP最短。

“最短路径问题”的原型就来自于“饮马问题”，要解决这一问题，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题，它离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理。在日常生活、工作中，也经常会遇到有关行程路线的问题，我们把这类求近道的问题统称最短线路问题，出题者通常以直线、角、三角形、特殊四边形、坐标轴等对称图形为背景。本文就在“最短路径”中探寻一番，举例分析，帮助同学们学习。

【迁移与拓展】

1.一点两线（相交）解决周长最短。

如图所示，点P为一处马厩，ON为草原的边缘（下方为草原），OM为一条河流。清晨，骑马少年要从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后再回到马厩。请帮他设计一条最近的行走路线。

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于OM，ON的对称点分别为P1、P2，连P1P2交OM、ON于点A、B。此时ΔPAB的周长PA+PB+AB=P1P2为最小。(证明略)

2.二点两线（相交）解决周长最短。

如图所示，P为帐篷，Q为马厩，骑马少年某天要从马厩牵出马，先到草地边ON的某一处牧马，再到河边OM饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

解析：如图分别作点P、Q关于OM，ON的对称点为P′、Q′，连P′Q′，交OM、ON于点A、B。此时四边形PABQ的周长PA+AB+BQ+PQ=P′Q′为最小。(证明略)

3.一点两线（相交）解决距离之和最短。

如图所示，A为马厩，骑马少年某天要从马厩牵出马，先到河边OM的某处P饮水，再到草地ON边某处B牧马，请你帮他设计一条路线，使AP+BP最短。

解析：如图作点A关于OM的对称点A′，过A′作ON的垂线交OM于P,交ON于B，则A→P→B为最短路线。(证明略)

【应用与延伸】

1.如图，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），?O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。

解析：作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P则C'D=C'P+PD=PC+PD。C'D就是PC+PD的最小值，连接CD，则CD=2，CC'=2。在直角△C'CD中，根据勾股定理C'D=2求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)得y=x+1当x=0时，y=1，则P(0，1)。

2.如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为＿＿。