在Kalman-Bucy滤波学习过程下的投资者生存能力分析
2016-12-19郑苏晋
郑 敏，郑苏晋
(中央财经大学中国精算研究院，北京 100081)
在Kalman-Bucy滤波学习过程下的投资者生存能力分析
郑 敏，郑苏晋
(中央财经大学中国精算研究院，北京 100081)
本文在投资者非完全理性框架下，基于Kalman-Bucy滤波学习过程给出了投资者理性和自信程度的定义，并基于此分析了不同投资者在市场中的生存和影响能力，并为实际市场中多类投资者共存的现象从学习过程的角度给予解释。研究结果表明，投资者在市场中的生存能力受其在学习过程中的理性和自信程度的双重影响。理性和自信程度都较高的投资者对市场把握较好，较容易在市场中生存，并对市场具有较大的影响。如果理性程度较高的投资者不自信，而理性程度不高的投资者自信度较高，那么在这种情况下没有哪类投资者对市场的把握相对准确，也就是说没有哪类投资者能将其他投资者逐出市场，即多类投资者共存于市场中。
异质信念；Kalman-Bucy滤波；理性程度；自信程度；生存
1 引言
传统金融理论的核心思想来自新古典的有效市场和完全理性人假设，基于此建立起来的理论(如CAPM，APT，Black-Scholes公式等)具有漂亮而简洁的框架，这有助于我们理解金融资产的演化规律，也为实证分析、模型解释等提供了可操作性。然而随着实证研究的深入，大量异常现象不断出现，包括股权溢价之谜、股票价格对基础价值的长期偏离、市盈率效应和羊群效应等。这促使人们重新审视传统资产定价理论的合理性。
事实上，大量实证研究[1-3]表明金融市场中的投资者不具有完全理性，他们对未来资产价格的预期存在异质性(即异质信念)。近年来，异质信念正在被越来越多的学者所接受。异质信念从对象层次上可以分为理性偏差导致的异质性(如由于拥有的信息不同或者对未来价格的估计存在偏差导致的异质性[4-9])和自信度偏差导致的异质性(如对自己信念的精确度过度自信或者对自己的判断信心不足[10-15])。异质信念的引入能对金融市场中出现的许多异常现象给予很好的解释。
然而这些异质信念的投资者是否能在市场中长期生存并最终对市场产生影响？这决定着异质投资者模型的合理性和有效性。但是对此问题尚未有统一的答案。从理性的角度，Sandroni[4]在考虑持续消费的条件下，发现非理性消费者最终会被逐出市场，同时也不再影响市场价格。Kogan等[5]在最优化最终消费的情况下，发现在含有理性消费者和非理性消费者的市场中，即使非理性消费者的财富可以被忽略，他仍然可以对市场价格产生重要的影响。Yan Hongjun[6]考虑了一个纯交换经济，发现投资者是否能在市场中生存取决于他的生存指数(由投资者的理性程度、耐心程度以及相对风险偏好系数决定)，只有生存指数较小的投资者才能在市场中生存并最终影响市场。从自信度的角度，Long等[10]基于部分均衡模型，发现当非理性投资者过度自信时，他可以通过持有回报率较高的投资组合，将理性投资者逐出市场。Kyle和Wang[11]研究发现在垄断市场中投资者的过度自信不会导致市场无效，而且有助于基金管理者获得较高的收益，因此过度自信的投资者可以在市场中长期生存。Hirshleifer和Luo Guoying[12]发现过度自信的投资者可以利用流动性或者噪音投资者所导致的定价偏差获得优于理性投资者的超额回报。由此可以看出，理性和自信程度是决定投资者在市场中生存状态和影响力的重要因素。因此，考虑投资者理性和自信程度对市场的综合影响是必要的，它将有助于我们更全面地了解影响市场价格的因素，掌握不同投资者在市场中的生存状态，进而对市场的运行有更好的认识。
然而至今为止，绝大多数研究(除Danie等[13])只考虑了投资者理性或者自信程度中的一个方面对投资者的财富积累以及市场价格的影响，没有考虑它们的综合影响。但是如果单独考虑理性或者自信程度的影响，会很难解释实际市场中多类投资者共存的现象。另外，以上研究缺乏对投资者异质信念的动态描述，通常假设投资者具有不变的异质信念。然而金融市场一直在动态地演化前进，不断产生新的价格和新的变化。投资者面对蜂拥而至的信息，通常不是置之不理，而是利用新信息不断进行学习。在新古典决策理论中，学习主要有两种形式：一种是完全理性学习，另一种是贝叶斯学习。但这两种学习方式有严格的假设条件，使得投资者的异质信念会收敛到理性预期，从而限制了投资者信念的异质性[16]，因此不适用于描述异质投资者的学习过程。事实上，如O’Hara[17]所说，真实市场中的投资者能通过数据挖掘等方法对公开的市场数据进行分析和学习，但这种学习并不是完全理性学习或者贝叶斯学习。那么，该如何在异质信念的基础上，刻画异质投资者的学习行为？这是对异质投资者行为研究的难点。
本文在异质信念假设下，考虑投资者采用Kalman-Bucy滤波方法不断进行学习，在自己的信息集和信念下对未来市场回报的估计进行更新。现有的文献中也有利用Kalman-Bucy滤波来更新投资者信念的(如Basak[18])，但是他们关心的是短期问题，侧重对实际市场异常现象的解释(如股权溢价)；而本文侧重的是长期问题，考虑的是投资者的学习过程对其财富积累和市场价格的长期影响。之所以采用Kalman-Bucy滤波方法，主要基于两个方面的考虑：一方面，它可以描述投资者信念的动态演化过程，而且此方法得到的估计在均方意义下是最好的；另一方面，它是通过随机变量的一二阶矩来进行学习，因此符合投资者非完全理性的特征，也符合实际市场中的投资者常常利用均值、方差等有限距来进行决策的模式。在此框架下，我们给出了投资者理性和自信程度(包括过度自信和信心不足)的定义，而其中的自信程度是心理学理论的概念。因此，用Kalman-Bucy滤波来描述投资者的学习行为既具有心理学基础又具备参数少、易分析的特点，使我们可以解析地分析投资者的理性和自信程度对其自身财富以及市场的影响，进而从学习过程的角度对多类投资者共存于市场中的现象予以解释。
2 市场环境与投资者信念
类似于Karatzas等[19]的框架，我们考虑一个连续时间的完备市场，记其中的完备概率空间为(Ω,F,{Ft}t≥0,P)。在此概率空间中存在一个{Ft}t≥0适应的一维标准布朗运动W(t)。市场中有两个资产：一个是无风险资产，资产回报率(即利率)为r(t)(由均衡决定)，也就是说它的价格过程满足dS0(t)=r(t)S0(t)dt且S0(0)=1；另一个为风险资产，资产价格满足如下的随机微分方程：
dS(t)=S(t)(μ(t)dt+σ(t)dW(t))，S(0)>0 其中μ(t)是风险资产的增值回报率；σ(t)(>0)代表了风险资产的波动。假设σ(t)有界。
假设风险资产的实际回报服从均值回复过程：
dμt=κ(φ-μt)dt+bdW
(1)
其中κ，φ和b为正常数。然而没有投资者确切地知道实际的风险资产回报μt，投资者h相信风险资产的实际回报服从如下过程：
(2)
(3)
(4)
(5)
其中δh=φh-φ，ch=bh-b。这里δh度量了投资者h的信念均值偏离程度，即投资者h的理性程度。|δh|越小，投资者h的均值估计越准确，理性程度越高。而ch度量了投资者h对自己估计值的自信程度。如果|ch|小，则说明投资者h对自己的风险回报估计很自信，认为自己的估计很接近真实回报率；如果|ch|较大，则说明投资者h对自己的风险回报估计不太有把握，觉得此估计可能还会受其他很多因素的影响，因此他的信念误差波动较大。另外，注意到ch=bh-b，那么根据公式(3)，如果0
3 投资者的最优财富和市场均衡利率
投资者h在信念误差εh下对实际市场概率测度的理解变为dQh=ZhdP，其中Zh(≥0)是Radon-Nikodym导数，满足dZh=ZhεhdW。在主观概率测度Qh下，风险资产的价格服从如下过程：
dS(t)=S(t)(mh(t)dt+σdWh(t))
其中Wh(t)是概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,Qh)中的一维标准布朗运动。由此可见，原本具有回报率μ(t)的风险资产，在投资者h的眼中回报率就变成了mh(t)。投资者h所做的一切决定都将基于这个他认为对的回报率。
(6)
由此我们可以将投资者h的最优化问题表示为:
由此我们可以得到市场的均衡利率水平。
(7)
其中θ(t)=σ-1(μ(t)-r(t))。而市场均衡利率水平满足：
(8)
4 投资者的市场影响力和生存问题
定义1：所谓投资者h被逐出市场是指：
根据此定义，我们可以得到如下的结论。
命题2：假设市场中存在两类投资者A和B，当且仅当(εh)2<(εh′)2a.s. (h,h′=A,B且h≠h′)，投资者h可以在市场中生存，此时投资者h′不再影响市场均衡利率水平，即：
从命题2可以看出，到底哪类投资者在市场中具有相对的优势取决于其对风险资产实际回报的信念误差。信念的平方误差(εh)2小的投资者在市场中财富增长较快，有利于占有市场。特别地，当μ和mh均为常数时，即μ≡φ且mh≡φh，容易得到相对估计误差最小(即|εh|=σ-1|δh|最小)的投资者可以最终存活在市场中。当μ或mh不为常数时，我们需要具体分析(εh)2的特性。因为εh服从一个均值回复过程，它的条件分布可以由它的均值和方差来刻画，进而(εh)2的均值和方差也为(εh)2的分布提供了很好的参考范围。我们基于公式(5)对(εh)2的均值和方差进行分析，得到如下结果。
命题3：当t充分大时，(εh)2的均值和方差分别满足：
(9)
由公式(9)我们可以看到E[(εh)2]和Var[(εh)2]的大小对参数δh和ch有很强的依赖性。特别地，我们有如下结果。
命题4：(敏感性检验)当t充分大时，E[(εh)2]和Var[(εh)2]对参数δh和ch的依赖关系如下：
(10)
(11)
和
(12)
命题4说明投资者的理性程度(δh)和自信度(ch)是影响投资者信念误差εh的重要因素，投资者信念误差的程度是δh和ch综合作用的结果。结合命题2，我们知道信念平方误差较小的投资者财富增长较快，易于在市场中生存，并对市场均衡利率水平有重要的影响。下面我们将分四种情况具体分析投资者的理性和自信程度对其自身生存状态以及市场的影响。
情形1: 投资者的自信度相同但理性程度不同，即ch≡c(h=1,2,…,H)但δh互不相同。
图1 当σ=0.1时，在Kalman-Bucy滤波下的三种生存情况。(a-b)κ=0.1，b=bA=bB=0且φA=0.05，φB=0.09，φ=0.08; (c-d)κ=0.1，φ=φA=φB=0.08且bA=0.025，bB=0.01，b=0; (e-f)κ=1，φA=0.09，φB=0.09，φ=0.08且bA=0.03，bB=0.01，b=0.02。
情形2：所有投资者都具有充分理性的均值估计，即δh≡0(h=1,2,…,H)，但是不同的投资者对此均值估计的自信度不同。
情形3：所有投资者的理性均出现偏差但是偏差的大小相同，即δh≡δ≠0(h=1,2,…,H)，然而不同的投资者对此理性的自信度不同。
根据公式(10)和(11)我们可以得到：
(14)
那么在这种情形下，投资者h的过度自信(即ch<0)会使得他更易被逐出市场。这是因为在这种情况下，投资者h的过度自信使得ch减小，进而E[(εh)2]增大；相反地，如果投资者h的自信不足，则ch(在一定范围内)增大会使E[(εh)2]减小。也就是说，如果投资者都不足够理性(即δh≠0)，那么投资者还是相对来说保守一点比较好(即ch>0)。如果此时投资者坚持自己的错误估计，则有可能导致其巨额的损失并最终被逐出市场。比如我们取σ=0.1，κ=1，φ=0.08，φA=φB=0.09且bA=0.03，bB=0.01，b=0.02，那么在这种情况下，我们看到δA=δB=0.01而cA=-cB=0.01，即投资者A是相对保守的，认为自己对未来风险资产的回报估计不够准确(即bA>b)，觉得风险资产的回报可能受到其他因素的影响；而投资者B相对来说对自己的估计比较自信(即bB 情形4: 投资者的理性和自信程度都不相同。 根据命题4，在这种情况下，投资者的信念误差是由其理性和自信程度共同决定的。综合情形1-3的结果，我们知道在情形4的假设前提下，投资者的估计可能有时较接近真实的风险资产回报，有时又会偏离较远。这使得投资者在整体经济中的角色不断地发生变化：有时财富增长较快，对市场均衡利率水平影响较大；有时则会亏损较多，进而对均衡利率水平影响较小。事实上，如果取σ=0.1，κ=0.1，φ=0.08，φA=0.09，φB=0.05且bA=0.1，bB=0，b=0.02，那么我们有|δB|>|δA|且|cB|<|cA|，即投资者A虽然理性程度较高使得其均值估计较准确，但是他对自己的估计不自信；而投资者B虽然理性程度不高，但是他对自己的估计很自信。在这种情况下根据命题3和4，没有哪类投资者对风险资产回报的估计相对准确，因此根据命题2没有哪类投资者会被逐出市场。通过数值模拟，我们可以看到在这种情况下，两类投资者会轮流掌控市场，进而共存于市场中，见图2。 图2 当σ=0.1，κ=0.1，φ=0.08，φA=0.09，φB=0.05且bA=0.1，bB=0，b=0.02时，两类投资者轮流掌控市场。 多类投资者共存现象的出现，实际上是由于Kalman-Bucy滤波学习过程不但包含投资者的理性因素，还受投资者自信程度的影响。因此，与单纯考虑理性因素的情形不同，投资者单单足够理性，已不能确保其在市场中的优势地位，如果他的自信度不够高，就只能和其他投资者共享这个市场。事实上，随着bh的增大，这种共存现象会越来越明显。这是因为从公式(3)可以得到mh的平稳密度函数ph(x)为： 随着{bh}的增大，不同投资者对风险资产回报估计的平稳密度函数重叠的部分会变大(见图3)，换句话来说也就是任何一个投资者的回报估计都有可能好于其他投资者。在此情况下很难区分哪个投资者具有较精确的回报估计，因此多类投资者共存于市场中。 图3 mA和mB的平稳密度函数 本文在非完全理性框架下，构建了一个带有Kalman-Bucy滤波学习过程的异质投资者模型。通过此模型，本文研究了投资者的动态信念对其长期财富积累以及市场的影响，分析了投资者的理性和自信程度与其自身的财富积累之间的关系，从学习过程的角度对多类投资者共存于市场中的现象给予了一定的解释。研究结果表明，投资者对风险资产实际回报的估计越准确，其越容易在市场中存活；而投资者估计的准确程度受其理性和自信程度的综合影响。自信程度相同的投资者，越理性其估计误差越小，越容易在市场中生存，并对市场的影响越大。在投资者充分理性的情况下，投资者越自信，信念误差越小，财富增长越快，对市场的影响越大。当投资者具有相同的理性偏差时，过度自信的投资者容易出现决策错误，进而使其财富增长较慢；相比而言，相对保守的投资者财富增长较快，进而对市场的影响较大。如果理性程度较高的投资者不自信，而理性程度不高的投资者自信度较高，那么在这种情况下，没有哪类投资者的信念相对准确，也就是说没有哪类投资者能将其他投资者逐出市场；此时投资者财富增长快慢会交替出现，不同的投资者可以交替控制市场，即多类投资者共存于市场中。 附录： 命题2的证明：由公式(7)，我们可以得到 (A1) 命题3的证明：由公式(5)知 dE[εh]=(αh+βhE[εh])dt， (A2) 和 dE[(εh)2]=(2αhE[εh]+2βhE[(εh)2]+(γh)2)dt。 (A3) 利用常微分方程理论，我们可以得到当t充分大时， 对于方差Var[(εh)2]，类似可证。 命题4的证明：对E[(εh)2]和Var[(εh)2]关于ch和δh求导即得。 [1] Garfinkel J A, Sokobin J. 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Survival Analysis of Boundedly Rational Investors Based on the Kalman-Bucy Filter ZHENG Min，ZHENG Su-jin (China Institute for Actuarial Science，Central University of Finance and Economics，Beijing 100081，China) Within the framework of the bounded rationality, the survival ability and market impact of investors are studied with the learning process of the Kalman-Bucy filter, the rational level and confident level of an investor are defined and an explanation to the coexistence phenomenon of different investors in the financial market is given. The results show that the survival ability of an investor depends on his rational and confident levels both. The more rational and more confident an investor is, the higher his survival probability is, and furthermore, the larger his market impact is. If an investor with a high rational level is not confident but the other investor with low rationality is very confident, then nobody has a comparatively accurate estimation about the future return of the risky asset. In this case, it is too hard to say who can survive in the market and in fact, different investors will coexist and control the market in turn. heterogeneous beliefs; Kalman-Bucy filter; rational level; confidence level; survival 1003-207(2016)01-0038-09 10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.005 2014-04-25； 2015-03-29 国家自然科学基金资助项目(11101449, 71571197)；北京自然科学基金资助项目(9152016)；北京市社会科学基金重大项目(15ZDA47);中国博士后科学基金资助项目(2014M561038)；中央财经大学科研创新团队支持计划(2014,2016) 简介：郑苏晋(1970-)，女(汉族)，山西人，中央财经大学保险学院/中国精算研究院副教授，硕士生导师，博士，研究方向：风险管理与精算，E-mail:zhengsujin@cufe.edu.cn. F830 A
5 结语
