关于不动点问题的探讨

黄保球

(江苏省清江中学，223001)



关于不动点问题的探讨

黄保球

(江苏省清江中学，223001)

不动点问题是近几年高考中考查的热点,此类试题具有较强的综合性,在高考试卷中失分较为严重．通过对近几年高考试题的研究发现,不动点问题主要和数列、函数、方程、解析几何等紧密联系,对高中数学教学提出了更高的要求,认真研究不动点问题的解题策略，有助于提高高中数学教学效果．

一、不动点问题在数列中的应用

数列是高考的重要考点,也是综合性较强的题型之一,求数列的通项公式是数列的基础.在解决此类问题时,往往可以从研究不动点问题入手,通过利用不动点问题的规律简化数列通项的运算,提高数列通项求解的效率,拓展学生的思维,增强学生的解题能力．

评注 本题也可以通过数学归纳法等方法解决，但都不如不动点法简洁.通过利用不动点问题求数列通项公式的方法实现了化繁为简、化难为易的目的,大大提高了解题效率．

二、不动点问题在函数迭代中的应用

函数迭代是函数的重要内容之一,不动点问题与函数迭代巧妙融合,成为高考数学不动点问题的一个重要发展方向.巧妙利用不动点问题解决函数迭代问题,会达到事半功倍的目的．

例2 已知函数f(x)=x-sin x,0

解 令f(x)=x,可知x=0是函数f(x)的一个不动点．

0

综上，可得

0

得证.

通过此题,可以看出不动点为求函数迭代问题提供了一种更加简捷有效的方式,大大提高了数学解题效率．

三、不动点问题在方程中的应用

方程是高中数学重要知识点,在解方程的过程中,经常会遇到一些难题,如高次方程等.在解决这类方程时,有时利用一般求法可能无法顺利解决,而利用不动点性质可能顺利得解．

例3 解方程：

x4-6x3+10x2-4x=0.

评注 通过这种将原方程转化为同解方程F(x)=x,再求F(x)的不动点的方法,大大简化了解题的过程,收到了良好的效果．

四、不动点问题在解析几何中的应用

解析几何是高中数学的重点,也是高考的必考内容之一.由于此类题目与函数关系密切,在解决时,有时利用不动点知识去解决,能够收到更好的效果．

解 (1)将a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).令f(x)=x,得x2-2x-3=0，故f(x)的两个不动点为-1,3.

(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,即x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有两个不等实根,故有Δ1=b2-4a(b-1)>0对任意实数b成立，从而Δ2=(4a)2-16a<0,解得0

总之,高中数学内容复杂,试题解法灵活，不动点问题作为一种简化解题思路、提高解题效率的方法在解题过程中发挥了重要的作用．利用不动点可以将复杂的数列、函数、方程、解析几何解法予以简化.在今后的教学中,教师不妨加强此类方法的指导,不断提高学生的数学解题能力．