函数单调性在高中数学解题中的应用

江苏省宝应中学(225800)

陆 敏●



函数单调性在高中数学解题中的应用

江苏省宝应中学(225800)

陆 敏●

作为函数中重要的一个性质，单调性在高中数学某些函数题目求解中的合理运用，常常可以起到化难为易、化繁为简的作用，尤其适用于函数最值以及不等式证明等类型题的求解.本文以函数单调性为研究对象，着重探讨了其在高中数学解题中的应用对策，拟为相关教学研究与应用提供指导.

一、在方程求解中的应用

方程求解本身是一种等式求解过程，其涉及到多种数学知识，相应的求解方法也比较多.在讲解函数单调性部分数学知识的时候，学生大都已经学习了许多函数知识和基础方程方面的知识，所以此时学生对于求解方程题目已经具备了基本的求解思路和方法，且能够自行总结函数与方程求解之间的关系.但是如果教师可以引导学生将函数单调性方面的知识合理应用于方程求解中来，则可以给方程求解提供新的方法，从而进一步扩宽和培养学生的解题思路.

例1 解方程x3+2x+(x+1)3+1=0.

鉴于f(x)=x3+x在区间(-，+)上为单调递增函数，且为奇函数,那么可以将原方程化为f(x)+f(x+1)=0，即f(x+1)=-f(x)=f(-x).

因为f(x)为单调函数，可知x+1=-x，由此可知x=-1/2.

由此可知，通过函数单调性的合理应用，可以极大地简化方程的求解过程，这实际上就是函数单调性基本概念及其性质在方程求解中的具体应用.

二、在不等式求解中的应用

我们可以借助函数的单调性的合理应用来达到求解不等式题目的目的，具体就是借助不等式的分类、数形结合或者换元法等方式及其综合运用来达到不等式证明的目的，同时学生也可以在此过程中培养自身的数学思维能力.

解 视a为变元x,构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，只需要证明x∈(-1,1)时，f(x)>0恒成立即可.当b+c=0时，f(x)=1-b2>0恒成立；当b+c≠0时，函数f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上是单调的.由于f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0,所以f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上恒大于零.

由此可知，通过函数单调性的合理应用可以有效地化解复杂的数学问题，提高学生的解题能力.与此同时，在学生发现借助概念解题也不会犯错的时候，他们会自行纠正自己所存在的错误观念和认识，这将大大提升他们的逻辑思维能力.

三、在单调区间求解中的应用

在高中数学函数教学中，针对函数单调性的考查有专门章节训练是关于单调区间，这类题就是专门考查学生对于函数单调性这一性质的掌握程度，具体就需要学生对于待求题目进行合理变形处理来达到简化题目结构，进而达到求解的目的.

四、在参数取值范围求解中的应用

针对某些参数取值范围的问题，教师可以引导学生将待求问题转化成不等式恒成立问题，具体就是充分运用题目中的已知条件来找寻解题的突破口，以借此达到解题的目的.

总之，单调性作为函数的一种重要性质，其在不等式证明以及解方程求解等的数学题目中的合理应用，往往可以将那些抽象、繁杂的数学题目简单化、直观化，从而可以有助于学生更好地进行求解，同时也可以在此过程中培养和提升学生的解题能力，值得教学上大力关注和应用.

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1008-0333(2016)31-0044-01