用圆锥曲线的定义求解一类绝对值不等式

广州市花都区第二中学(510800)

杨伟达●



用圆锥曲线的定义求解一类绝对值不等式

广州市花都区第二中学(510800)

杨伟达●

一、椭圆类不等式

它表示椭圆类不等式，它的解集

例1 (2014·广东高考9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为____．

分析 此题为椭圆类不等式．问题关键：用椭圆的定义求出它的中心、顶点．

解 此题属于椭圆类不等式，它的解集为“两边开”．

分析 第一问：若采用去绝对值符号进行分类讨论比较复杂、易错，若把它看成椭圆类不等式，简单易懂；第二问：化简后在某区间内满足含参绝对值不等式，并发现其区间端点恰好为函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|的零点.因此，此题属于椭圆类不等式的特殊情况，焦距等于常数，它的解集为两零点的中间，简称为“夹中间”.

解 (1)依题可知：当a=-2时，原不等式转化为：

|2x-1|+|2x-2|≤x+3

由①②可得：当a>-1时，

解得：x≥a-2.

二、双曲线类不等式

它表示双曲线类不等式，它的解集为

例3 (2013·辽宁高考)已知函数f(x)=|x-a|，其中a>1.(1)略.(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

分析 这是一道关于绝对值的函数题.变形后为含参数的绝对值不等式.此题属于双曲线类不等式，根据它的定义可求它的中心、顶点，用数形结合将问题解决.

解 (1)略.(2) ∵f(x)=|x-a|，其中a>1，

原不等式转化为：︱|x|-|x-a|︱≤1，

此题属于双曲线类不等式，它的解集为“夹中间”.

根据条件可知：不等式解集为{x|1≤x≤2}，

例4 (2012·广东9)不等式|x+2|-|x|≤1的解集为____．

分析 此类绝对值不等式属于双曲线类不等式．因式子|x+2|长度较长，-2<0, 因此可判断双曲线类不等式右支．解题的关键是求出它的中心、顶点．

解 因|x+2|长度比较长，所以此题属于双曲线类不等式右支，它的解集为“左边开”．

如图10所示：

F1=-2，F2=0，

三、抛物线类不等式

总之，对于圆锥曲线类不等式，可通过它的定义求出它的中心、顶点，再画图、用图，求解过程简单、易懂.它一方面“去绝对值”绕开了分类讨论，另一方面避免运算繁杂造成的错误，不仅加深了圆锥曲线定义的理解，而且对绝对值不等式有了新的认识.

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1008-0333(2016)31-0015-03