赏析两道高考解几压轴试题及备考建议

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●



赏析两道高考解几压轴试题及备考建议

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●

众所周知,解析几何是高中主干知识,属于重点考查内容,每年高考必考小题和一道解答题.解答题从宏观上来讲,就是创设平面几何及解析法解决圆锥曲线有关问题的环境,使得解析几何的思想方法在解答中得以完整体现.代数问题几何化,几何问题代数化是解析几何的核心,有效实现着两个转化是解决解析几何问题的关键.

下面笔者以两道2016高考试题为例进行说明.

赏析1:2016年高考北京卷理科

(1)求椭圆C的方程;

赏析2:2016年全国丙卷第20题

已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

试题分析 该题避开了高考解几传统的命题视角,以直线和抛物线为载体考查两条直线平行的证明以及求中点轨迹方程.主要考查考生的数学素养,探究能力,对考生的推理论证能力,逻辑思维能力要求较高.考生有没有深度地思考,能不能找到转化策略,成为解答本题的分水岭.多考想,少考算,正是该题的突出特点.本题具有一定的探索性和开放性,较好地体现了新课改理念.

解法分析

1.对第一步的分析

化简得ab=-1.

除了运用高中方法来证明出AR∥FQ,还可以采用初中平面几何知识.如图(3)所示,连接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此时在四边形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,则对角线PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

简评 上述解法借助了重要的平面几何知识,如“直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半”,“四边形对边平方和相等等价于该四边形的对角线互相垂直”,“和同一条直线垂直的两条直线平行”等等.从平面几何知识的角度来阐述本步更能凸显思维品质,给人耳目一新的感觉.

综合上述分析不难发现,第一小步试题表述平实质朴,入口宽,解法多样,能够让不同的考生都有所收获,体现了课程理念中的“人人学有用的数学,有用的数学应当为人人所学,不同的人学不同的数学”.同时也启发我们在教学中要重视初中平面几何知识的复习以及拓展.

2.对第二步的分析

第二步的已知条件是△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,要求线段AB中点(设为E)的轨迹方程.联想到高中阶段学过的求轨迹方程的方法,由于点E的运动是由线段AB运动引起的,故可采用相关点法来求出点E的轨迹方程.而对于条件两个面积之间的关系该如何运用?关键在于准确写出面积的表达式.观察图形易知△ABF的面积可以看成两个同底的小三角形面积之和.

故线段AB中点的轨迹方程为y2=x-1.

解得ab=-2.

故线段AB中点的轨迹方程为y2=x-1.

简评 上述解法的巧妙之处在于运用三角形的面积坐标公式,将△ABF的面积表示成坐标的形式,再结合两个面积关系得到ab=-2.和上述解法相比,解题过程一气呵成,避开了较为复杂的计算,颇有“柳暗花明又一村”的快感.

综合上述分析,可以看出第二步较之第一步难度明显加大,体现了本道试题具有梯度性,层次性.第二步综合性较强,对考生的数学思维水平和数学素养都有较高的要求,发挥了很好的选拔区分功能.这就启发我们在圆锥曲线的复习中既要重视基础知识的讲解又要着重培养学生逻辑思维能力,解题能力.

通过上述两道高考试题的分析,不难发现,高考解几压轴题以能力立意,重视知识的发生发展过程,增大思维容量,突出理性思维.而重视知识形成过程,在知识网络的交汇点设计问题,则是高考解析几何命题创新主体.基于此,我们在备考中要注重做到以下几点.

1.注重平面几何知识的运用

平面几何知识在高中阶段仍然有着重要而广泛的应用.高考试题尤其是解析几何的试题往往可以运用平几知识来解答,效果往往出乎意料.解析法借助平面直角坐标系,将点,线等几何元素代数化,通过代数运算来研究几何元素间的位置关系或数量关系,体现了程序性,简洁性等优势.几何法借助几何定理,性质等来演绎论证几何元素间的位置关系或数量关系,体现了逻辑性,简约性等独特的魅力.在解题时,如果将这两种解法有机地结合起来,让两者比翼双飞,那么可能会有许多意外且巧妙的收获.

2.从整体上把握解几教学

解析几何的教学要关注形与数的有机结合,形的直观与数的抽象的有机结合可以使问题简单化.因此在函数的教学中对于一些基本函数的概念,性质,图象等要较全面地掌握,并且能够灵活地加以应用,熟练掌握研究函数的基本方法.有了基本知识和基本方法，才能灵活地解决解几综合性问题.

3.加强基础知识和基本技能的训练

在平时的教学与备考中,一定要重视基础知识,基本方法,基本技能的形成与运用.对基本概念,基本原理,基本方法不仅要知其然,而且要知其所以然.熟练掌握解析几何的基础知识与解决问题的通性通法,打好坚实的基础.如用定义法,直接法,动点转移法,交轨法,参数法常用方法求轨迹方程.用定义研究焦点弦;用韦达定理,判别式,根的分布来研究直线与圆锥曲线的位置关系;用坐标运算去处理向量与圆锥曲线的交汇问题,用参数法或运用曲线的性质研究最值问题等.只有坚实的基础和技能操作,才能顺利攻克解几难题.否则一切都是无源之水无本之木.

4.加强思维能力的培养,提升核心素养

新课程改革后的高考命题是以“能力”立意,在未来的高考改革中有可能还会以“素养”立意.基于此,我们必须着力发展学生的思维,提升学生的核心素养.在课堂上,要促进学生积极思考,做到学有所思,学有所悟.通过学习使学生能够举一反三,触类旁通,并且能够将问题推广到一类,得到一般情况,唯有如此,才能不断提高学习效率 ,培养思维能力和创新能力.

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1008-0333(2016)31-0029-03