高考《坐标系与参数方程》难点透析

甘肃省张掖市实验中学(734000)

王新宏●



高考《坐标系与参数方程》难点透析

甘肃省张掖市实验中学(734000)

王新宏●

《坐标系与参数方程》是高考选考系列中较为简单的，所以绝大多数学校都选修4-4《坐标系与参数方程》；纵观近几年的高考数学全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、陕西卷、湖南卷，对《坐标系与参数方程》的考查也有了更加新颖的方法，越来越喜欢考查应用参数方程求最值或范围问题，越来越重视利用直线参数方程t的几何意义求距离或相关问题，越来越注重应用极坐标求距离或面积，这对于部分考生来说是不熟悉的、不擅长的难点，现就将这些难点题型及解题规律梳理如下，供读者参考使用.

一、利用曲线的参数方程求最值(范围)问题

利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是非常简捷、方便的，是我们解决这类问题最常用、最普遍的好方法.为此：

(1)必需熟悉常见曲线的参数方程，参普方程的互化以及参数方程的简单应用；

(2)数形结合，根据图形优化解题策略，是用参数法还是普通方程法.

(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(Ⅱ)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

(Ⅱ)如图1，在曲线C上任意取一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为：

评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参，加减消参，整体消参，平方后加减消参等.一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值(范围)问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为三角函数问题得以解决，使解题的过程简单明了.

例2 (2015年高考陕西卷理科第23题)

(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程；

(Ⅱ)Ρ为直线l上一动点，当Ρ到圆心C的距离最小时，求Ρ的直角坐标．

评注 求最值问题通常转化为函数问题解答，难点是确定变量及建立函数关系式，几何问题也常常数形结合，根据几何意义确定最值点.

二、利用直线参数方程中t的几何意义求与距离有关的问题

三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题

《坐标系与参数方程》通常的解题思路是把极坐标方程、参数方程都化为直角坐标方程，用普通方程的方法解决，但也不尽然.

大家知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上这一点与原点O之间的距离，为此与原点O有关的距离、面积等问题都可首先考虑运用极坐标中ρ的几何意义解决它，这不仅是一种解题思路，更多时候它要比化为直角坐标运算简便得多，是一种优化策略，可谓事半功倍.

例3 (2015年高考全国卷Ⅱ理科第23题)

(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标；

例4 (2015年高考全国卷Ⅰ理科第23题)

解析 (Ⅰ)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρcosθ=-2，C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

四、与其它知识交汇问题

高考注重在知识的交汇点处命题，故《坐标系与参数方程》有可能与集合、向量、概率、函数、线性规划、数列、定积分、程序框图等交汇.

例5 (2014年高考浙江卷)

注：此文为甘肃省教育科学“十二五”规划2013年度《新课改理念下高三数学复习高效策略研究》课题(课题批准号【GS2013】 GHB0771)成果之一.

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1008-0333(2016)31-0002-02