一类可积系统的对称约束及其双非线性化

胡贝贝，李 艳，董凤娇



一类可积系统的对称约束及其双非线性化

胡贝贝，李 艳，董凤娇

本文基于李代数和迹恒等式构造出的一个可积Hamilton系统，给出该系统的一个Bargmann对称约束和关于其Lax对的双非线性化，在此Bargmann对称约束下，该系统的时间部分和空间部分都是有限维的Liouville可积的Hamilton系统。

Lax对；Bargmann对称约束；双非线性化；有限维可积Hamilton系统

随着孤立子理论的蓬勃发展，近二十年来，与李代数相关的可积系统的研究引起大家很大的兴趣。在1988年，曹策问教授提出了Lax对线性化方法，使得许多经典的可积方程族相关的谱问题在约束下被线性化为完全可积系统。在1992年，周汝光教授研究了Li谱问题的非线性化。随后，在1994年，马文秀教授在此基础上加以推广，提出了Lax对及其共对轭Lax对的非线性方法，其主要思想是引入原有Lax对的共对轭Lax对，将Lax对和共对轭Lax对结合起来考虑，构成偶数谱问题，以找到位势与特征函数和共轭函数之间的对称约束。然后，将对称约束代入Lax对的共对轭Lax对，得到有限维系统，进而可以进一步证明该有限维系统是满足Liouville可积的Hamilton系统。李教授与马文秀教授等人对此方面也做出很大贡献。近年来，You研究了mKdV系统的双非线性化，虞静[1,2]博士分别对cKdV系统和Schro dinger系统给出了其双非线性化，徐西祥[3]教授给出了Liouville可积方程族的Bargmann对称约束构造方法。在文献[4]中，Tam等构造了一个等谱问题:

(1.1)

随后，郭秀荣[5]等在此基础上由其相容性条件导出了可积动力系统，通过约化该系统，得到某些有趣的非线性方程。例如，KdV方程，mKdV方程。基于前人的工作，本文旨在文献[4,5]的基础上，给出该等谱问题的哈密顿结构，构造出Bargmann对称约束，并对该谱问题进行双非线性化，可以证明在对称约束下，该谱问题的空间系统和时间系统是有限维的Liouville可积的Hamilton系统。

1 哈密顿结构

考虑下列谱问题

(2.1)

其中λ为谱参数，u=(w,v)T为位势，称φ为特征函数，在文献[5]中已经给出了该方程族的构造，一般步骤为：令

(2.2)

解零曲率方程

(2.3)

就得到下面的递推式

(2.4)

其中递推算子

(2.5)

如果给定初始值a0=-1,b0=c0=0,ambm,cm(m≥1)，由递推关系式(2.4)计算得前几项为

接下来考虑谱问题(2.1)的伴随谱问题

其中，

(2.6)

将M,N(n)带入零曲率方程

(2.7)

就得到下列方程族

(2.8)

令n=2,则方程(2.8)约化为

(2.9)

它的Lax对为M和

(2.10)

特别地，如果设n=3,a0=2则方程(2.8)约化为

(2.11)

如果设t3=t,v=w=u，那么方程(2.11)正是著名的mKdV方程

(2.12)

如果设t2=t,v=1那么方程(2.11)约化为下面的方程

(2.13)

(2.14)

应用迹恒等式[6]

(2.15)

并比较λ-n-2的系数得

(2.16)

令n=0,得到γ=0，故系统(2.8)有Hamilton结构

(2.17)

2 Bargmann对称约束

考虑谱问题(2.1)和它的伴随谱问题

(3.1)

记号“T”表示矩阵的转置，称ψ为共轭特征函数，易得谱参数λ关于位势u的变分导数

(3.2)

(3.3)

其中L为(2.4)给出的递推算子，这个性质在后面非线性化过程中至关重要，由于文章篇幅，在这里这一性质证明从略。对于一般的谱问题，这个性质在文献[1]中已经讨论过。

接下来考虑空间系统

(3.4)

和时间系统

(3.5)

(3.6)

(3.7)

应用(3.3)式和递推关系式(2.4)得

(3.8)

3 双非线性化

本节中，我们将考虑该系统的双非线性化，将对称约束(3.7)代入空间系统(3.4)，可得到下面有限维系统

(4.1)

或表示成向量形式，有

(4.2)

(4.3)

其中Hamilton函数

对于t2部分，将对称约束(3.7)代入系统(3.5)并令n=2得到下面有限维系统：

(4.4)

t2部分也可以写成向量形式

(4.5)

通过进一步计算可将系统(4.5)表示成下列Hamilton形式：

(4.6)

其中Hamilton函数：

(4.7)

(4.8)

显然，系统(3.5)约束的时间部分可改写成向量形式

(4.9)

也可以写成下面的Hamilton形式

(4.10)

即对任意的n系统(3.5)的约束时间部分都是有限维的Hamilton系统。例如，由(4.9)得

(4.11)

其中Poisson的括号定义为：

(4.12)

令

定理：空间系统(3.4)和时间系统(3.5)在约束系统(3.7)下是有限维Liouville可积的哈密顿系统。

[1] J. Yu, J. S. He, Y. Cheng, J. W. Han. A Novel Symmetry Constraint Of The Super cKdV System[J]. J. Phys. A: Math. Theor, 2010,43: 445201.

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[3] X. X. Xu. Bargmann Symmetry Constraint for a Family of Liouville Integrable Differential-Difference Equations[J]. Commun. Theor. Phys, 2012, 57: 953-960.

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[6] G. Z. Tu, The trace identity,a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems[J]. J. Math. Phys, 1989, 30: 330-338.

责任编辑：王 与

Symmetry Constraint and Binary Nonlinearization of the Integrable System

Hu Beibei, Li Yan, Dong Fengjiao

In this paper, an integrable Hamilton system is constructed on the basis of Lie algebra and the trace identity, and an explicit Bargmann symmetry constraint and the binary nonlinearization of Lax pairs for the hierarchy are established. Under the explicit Bargmann symmetry constraint, the part of time and space of the system is Hamilton systems of finite dimensional Liouville integrable.

Lax pairs; Bargmann symmetry constraint; binary nonlinearization; finite dimensional integrable Hamilton systems

O175.29

A

1673-1794(2016)05-0031-05

胡贝贝,李艳，滁州学院数学与金融学院教师；董凤娇,滁州学院计算机与信息工程学院教师(安徽 滁州 239000)。

安徽省高校自然科学研究项目(KJ2015B02、KJ2015B12)；滁州学院自然科学研究项目(2014PY05、2015GH27、2015GH29)

2016-05-04