例谈数学建模在小学数学教学中的应用

刘 纲

（云南省昆明市盘龙区明通小学 云南昆明 650051）

例谈数学建模在小学数学教学中的应用

刘 纲

（云南省昆明市盘龙区明通小学 云南昆明 650051）

数学是社会生活和实践活动的产物，来源于生活，又指导社会实践活动，随着时代的发展，特别是随着计算机的迅猛发展和数学理论、方法的不断扩充，数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，培养学生应用数学的意识和能力也已经成为数学教学的一个重要方面。而应用数学去解决各类实际问题就必须建立数学模型，小学数学教学的过程其实就是教师引导学生不断建模和用模的过程。因此，用建模思想指导小学数学教学显得愈发重要。

小学数学 模型思想 乘法分配律

数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。引导学生建构数学模型的过程，就是数学化的过程，也是思维训练的过程，这将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。

《数学课程标准（2011版）》将“模型思想”作为十大核心概念之一，同时强调：“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”[1]由此可见建模教学的现实价值，建模教学也成为研究的热点问题。所以说建模教学不仅仅是教学的新授环节，还应该有整体的视野、儿童的视角、系统的视域，让学生模型建立的过程落到实处。

一般而言建立数学模型的新授课包含两类，即全新型新授课和延伸型新授课两类。所谓全新型新授课是指在学生数学认知结构中，首次学习的全新知识。如“9 加几”中的“凑十法”、乘法的初步认识、商的性质（变与不变）、长方形面积计算公式、单式统计表（图）等。学生学习这类知识，往往是以自己的生活经验（也需要学习经验）为基础，通过观察、实验、比较、推理和交流，构建新的数学模型。所谓延伸型的新授课是指在学生数学认知结构中，新知识和已有相关知识联系紧密。如“8 加几”中的“凑十法、分数基本性质、正方形和平行四边形面积计算公式、复式统计表（图）等。学生学习这类知识，往往是以已有相关知识（也需要生活经验和学习经验）为基础，通过猜想、验证、推理和交流，实现知识的“同化”或“顺应”，构建新的数学模型。

结合新课程提出的新授课的教学模式和对于教材解读，笔者认为对于教学全新型新授课教学往往需要经历四个环节：“一导模”“二建模”“三用模”“四验模”。

所谓“导模”，是指从教材创设的情境问题中导出数学问题，从多个数学问题中选择本课的学习主题，并及时将数学问题转化为数学算式。学生往往通过观察与分析教材上的图和式，并与已有知识进行对比、质疑，才能“导”出数学问题和学习主题。所谓“建模”是指剖析问题抽象与概括及建模，在多数情况下，学生通过对数学算式（图形）的分析与综合、比较与分类，找出具有共性的特征（即本质特征），运用归纳推理（或不完全归纳推理），构建数学模型。所谓“用模”，是指运用刚刚构建的数学模型，以演绎推理的思维方式去解释并解决问题。所谓“验模”，是指求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果，从而验证和完善数学模型。

小学生有限的生活经验、学习经验和数学认知结构决定他们在数学建模的过程中，往往要经历“由模糊到清晰”“由繁琐到简约”“由粗放到精确”“由具体到抽象”的认知过程，不可能一蹴而就，这需要教师给他们有较多的思考时空和耐心的引导、等待，以使他们的“个性化建模”顺利地过渡到“规范化建模”。

结合《乘法分配律》一课阐述“一导模”“二建模”“三用模”“四验模”的四个教学环节。

一、创设情境，诱发问题。

小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体现一个模型化的过程。

明德小学的操场是一个长方形，原来长50米，宽20米，扩建后，宽将增加10米。扩建后的操场面积有多大？

1．独立思考，尝试解决。

2．组织交流，分析比较。

生1：我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场的面积。50×（20＋10）= 50×30 = 1500（平方米）。

生2：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。50×20＋50×10 = 1000＋500 = 1500（平方米）。

根据学生回答，教师板书以上两种算法。

在这一环节中，当教师提出问题后，让学生明确问题解决的目标，激发问题解决的动机，充分发挥教师的引导作用。同时，问题的提出针对学生实际，问题的引入力求趣味、新奇、有针对性，能够诱导、启发、激活学生头脑中潜在的知识，使之服务于问题的解决，最大限度地调动学生的求知欲。

二、点拨导学，构建模型。

在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，然后用不完全归纳法构建数学模型。这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。

师：刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。现在请让我们回头来看一看，50×（20＋10）=1500，50×20＋

50×10=1500，计算结果相等，我们是否可用“=”把这两个式子连接起来？

生：可以！

教师随即板书：50×（20＋10）= 50×20＋50×10。

师：你会读这个等式吗？

生：50乘20与10的和，等于50乘20的积加50乘10的积。

师：现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？课件呈现“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自主学习单1”。

在组织交流时，教师有选择性地板书，并提问:观察一下，这些等式有什么特点？和同桌悄悄地说一说。然后课件展示如下:师：请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如左下图），并对自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。

学生在自主完成“自主学习单2”后，交流讨论：

生1：我的猜测是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通过验 证， 得 出70×（3＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，因为他们的结果相等，所以我的结论是：一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。

……

生4：假如用字母表示，我认为可以这样表示：a×（b＋c）=a×b＋a×c。

师：在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。（板书课题）

教师导学是构建模型的前提。从导思、导议、导练入手，结合学生心理特征和认知水平提出的启发性问题，不宜过于简单，也不能超过学生的实际水平。同时，老师要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、现象的、感性的问题上升到理性并纳入到所要达到的教学目标的轨道上来，从而形成集体求索的态势。另外，当提出一个或几个问题之后，要给学生思考的时间。要让学生独自在课堂教学“这棵大树下”思考一会儿，静静想一想，如何“跳”才能“摘到果子”。这样，他们解决问题的能力才会更强些。只有当学生经过独立思考之后，在随后的小组交流中才会有话想说、有话可说，这样小组交流的质量才能提高。

三、深层探究，求解结果。

教师在点拨导学，引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题。这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模型，引领学生走向数学更深的本源。

简便计算：37×7＋37×3 48×19＋52×19 102×17

1．学生独立计算。

2．反馈交流。在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。

师：联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？

生1：第一个算式可以看作求两个长是37，宽分别是7和3的长方形面积之和。因为它们的长相等，所以，可以把这两个长方形沿着长拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长仍是37，宽是7＋3=10。

师：大家能想象他所说的长方形是怎么样的吗？请你把它画在纸上。

学生开始动笔画，教师提示只需画草图就行。然后选一张展示。

师：第二个算式呢？

生2：第二个算式可以看作长分别是48和52，宽都是19的两个长方形面积之和。因为它们的宽相等，所以，可以把这两个长方形沿着宽拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长是48＋52=100，宽是19。

师：那么第三个算式又怎么解释？

生3：把一个长方形分成了两个长方形，也就是把长分成了100和2，然后剪开。但是把这两个长方形的面积加起来，仍旧等于原先一个长方形的面积。

师：大家能想象吗？

生意会地点点头。

这一环节以学生交流讨论为主，交流讨论的目的在于抓重点、明思路、排难点、解疙瘩、澄疑点、解迷惑，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。学生交流讨论的过程是学生之间、师生之间的多边互动的过程，应最大限度地调动学生的积极性，提高学生的参与程度，尤其是思维参与程度。在这里，教师的作用是指导问题求解的策略，要组织好交流活动，使学生尽情地交流求解问题的经验，相互补充，完善表述，形成策略。同时要把握好“收”与“放”的关系，放开以各抒己见，收拢以达到相对统一的认识，使学生的认识系列化、规范化。

四、结合实际，检验模型。

求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。因此关键在于教师的引导和重视。

师：学习了乘法分配律，你认为有什么作用？

生1：可以使一些计算简便。比如计算38×32＋38×68，就可用38×（32＋68）=38×100=3800。

生2：解决应用题时，可以用两种方法解答。

……

师：那你能解决这个问题吗？

课件出示：

明德小学的操场是一个长方形，原来长50米，宽20米，改建后，宽将减少10米。改建后的面积有多大？

生1：我先算操场原来的面积，再算减少的面积，最后算改建后的面积是多少。50×20－50×10 = 1000－500 = 500（平方米）。

生2：：要求改建后的面积是多少，可以想象成把两个长方形沿着一条长重叠起来。因此，我只要先算出减少以后部分的宽是几米，再和长相乘，就可以算出改建后的面积是多少。50×（20－10）= 50×10 = 500（平方米）。

根据学生回答，教师板书以上两种算法。

师：结果相等，是否也可以把这两个算式用“﹦”连接起来？

生同意地点了点头，教师随即板书：50×（20－10）﹦50×20－50×10。

师：那么你能用字母公式表示这个新规律吗？

生：（a-b）×c=a×c-b×c 。

在以上的教学过程中，教师不仅引导学生结合实际去检验结果，同时也不断地引导学生发现新的数学知识。用“计算结果相等的两个式子也相等”，发现乘法分配律同样适用于两个数的差等。这是一个不断探索与发现的过程，体现了数学学习是学生用数学知识解决问题和发现新的数学知识的过程，同时还拓展了数学模型，引领学生走向数学更深的本源。

总之，基于建模思想下的教学过程突出了基本数学模型的构建，并深刻体验运用数学模型，为以后的教学做了示范，以期能驾轻就熟。同时通过四个环节的层层推进，在学生对“乘法分配律”透彻认识的同时，也历经分析综合抽象概括等思维活动。

另外，在建模教学实施过程中需要关注建模教学的几个特性：一是注重知识的渐进性，不断完善丰满构建学习模型。二是尊重学生的差异性，最终能利用差异，发展差异。三是必须体现过程的结构性，在学习中不断主动地进行模型的构建、感悟、运用。

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