利用向量的内积证明几何题

买买吐送·尼扎木丁

(和田师范专科学校数信学院， 新疆 和田 848000)



利用向量的内积证明几何题

买买吐送·尼扎木丁

(和田师范专科学校数信学院， 新疆 和田 848000)

本文介绍了利用向量的内积证明几何题的方法，是证明几何题的另一种方法。

向量的内积；证明几何题；数学证明方法

向量是数学中的重要概念之一，它广泛应用于生产实践和科学研究中，向量在解决初等几何问题，立体几何问题，解析几何问题中广泛应用。向量的内积也广泛应用，利用向量的内积容易证明初等几何问题，立体几何问题和解析几何问题。利用内积证明几何问题时，可以减少辅助线的添加，还可以避开一些较复杂的空间图形，降低了证题的难度且思路明确，易于下手，易于接受。下面看几个问题.

例1，证明四面体对棱夹角公式.

例2，如图所示，直线l与平面α内的三条共点直线所成的角相等，则求正：l⊥α

由已知得

例3，如图，已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M,N分别为对角线AE和BE上的点且AM=DN，求证：MN∥平面BCE。

过点N作NN1⊥BC,NN2⊥AB,垂足分别是N1,N2.

设NN1=x,NN2=y,则x=y,所以N(x,x,0).

同理，过N作MM1⊥BE,MM2⊥AB,垂足分别为M1,M2.

设MM1=x,MM2=z,则z=a-x,(AB=a).

例4，如图所示，已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，A1C1=B1C1,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，求证：AB⊥BC.

设A(-a,0,0),B(a,0,0),C(0,c,0),A1(-a,0,h),C1(0,c,h),B1(a,0,h),则

例5，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E,F是棱B1C1和C1D1的中点，求证点A1到平面BDFE的距离等于1。

所以点A1到平面BDFE的距离等于1.

证明几何题时，有时利用向量的内积避免了作太多的辅助线，可以节约时间，避免一些不必要的麻烦，更容易得到证明。

2016-08-10

买买吐送·尼扎木丁(1964-)，男，维吾尔族，和田师范专科学校数信学院副教授。研究方向：几何学。