渗透图形理念建立数学思想

☉江苏省苏州市吴县中学　韦　莉

渗透图形理念建立数学思想

☉江苏省苏州市吴县中学韦莉

如果细数高中数学当中的思想方法，相信很多师生都会想到“数形结合”.的确，数形结合是解决高中数学问题的一个十分重要的方法，具有相当广泛的普适性.这也明确彰显了图形在高中数学学习过程当中的重要性.实际上，数形结合思想的广泛运用，只是展现了图形对问题解答的辅助作用.透过这个视角继续深入挖掘便会发现，图形对于整个高中阶段的数学知识学习都具有积极意义.我们应当站在一个更高的视野层次，将图形上升为一种理念，在知识学习当中建立起一种图形化思想，推动学习效果走向完善.

一、运用简单图形，明晰概念认知

概念是数学知识的基石，只有将每一个基本概念准确理解，才能稳扎稳打地对相应内容展开学习.因此，教师们常常会将概念教学作为新知识教学当中的第一个重点.那么，如何开展概念教学是比较可取的呢？单一的语言描述往往会让本就十分抽象的概念内容变得更加晦涩，教师应当考虑一些创新的教学方式.图形便是其中比较具有代表性的一种.

案例1在讲解三棱锥的概念后，笔者向学生提供了如下几个命题：（1）正棱锥的每个侧面都是等腰三角形；（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（3）正棱锥的每条侧棱与底面所成的角相等；（4）两条相邻侧棱所成角相等的棱锥是正棱锥；（5）正棱锥相邻的两个侧面所成的二面角相等.笔者请大家运用所学概念来判断每个命题的正误，并以图形的方式来阐释每个命题.在图形的辅助下，学生清晰地认知了三棱锥相关概念的内涵，对这部分知识的运用也更加自如了.

对于很多较为抽象复杂的数学概念来讲，想要通过语言将其内涵阐释得完整清晰并不容易.如果教师在这之中没有把控好语言的力度，甚至会误导学生的理解方向，或是降低学生对数学概念的学习热情.图形的运用，可以说是为概念教学点亮了一盏灯.很多难以用语言描述清楚的数学概念，通过一个图形却能清晰地表示出来，且这个图形无需过于复杂.简单图形的运用，不仅降低了教师的教学难度，更为学生快速准确地掌握概念铺平了道路.

二、运用具体图形，实现知识整合

在高中数学学习过程当中，知识数量激增与知识内容交错经常会成为引发学生学习困难的主要因素.笔者曾经多次与学生进行沟通，大家表示，自己之所以会感到学习数学不容易，主要是由于知识发展脉络不清晰，不知道应当如何把握知识内容.这也为教师的教学开展提出了一个重要课题：我们不能仅仅负责向学生呈现知识，还应当将零散的知识内容予以整合，帮助学生有条理地驾驭知识.在实现知识的整合总结时，图形的运用便可以助师生们一臂之力.

案例2指数、对数函数的内容一直是高中数学的一个重点内容，也是学生容易产生学习困难的部分.由于这些函数的形式比较相似，学生总是对之产生混淆，更不要说在解题当中熟练运用了.为了让大家能够将每种函数及其变化趋势区分清楚，笔者将几种典型的函数图像整合在了同一个平面直角坐标系中予以呈现（如图1），学生非但没有感到困惑，反而对每种函数的特点掌握得更加透彻了.

图1

图形的巧妙运用，让原本混沌复杂的知识内容一下子清晰了很多.在很多情况下，不要害怕将容易混淆的知识放在一起.只要我们能够采取科学有效的方法将之予以整合和区分，这样的方式反而能够让学生一目了然地发现知识之间存在的相同点与差异点，从而更加便捷清晰地进行记忆，实现对知识内容的高效掌握.在这当中，具体的图形可以说是知识整合的一个捷径.对于比较相似的内容，我们甚至可以将几个图形集中表现出来，让其中的差异展示得更为直观.

三、运用直观图形，解析重点难点

随着知识数量的不断增加，重点难点的出现频率也越发提升了.重点难点问题虽然给数学教学增加了不少难度，我们绝不能无视或回避，这些重点难点问题才正是高中数学学习的关键.准确掌握了它们，便能够提纲挈领地将整条线上的知识内容理解清楚.因此，迎难而上，反而能够让教学活动达到事半功倍的效果.将直观的图形在其中予以运用，也能够为重点难点问题的有效解析助力不少.

案例3学生曾经遇到过这样一个问题：棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，则这个球体的表面积是多少？这个问题模型是立体几何当中经常出现的，对它的掌握非常重要.然而，仅靠字面上的理解，很难完整获得题目条件的内涵，更无法发现隐藏的已知条件.因此，笔者带领学生将题目状态以图形的方式来表现.图形刚刚画好，还没等笔者进一步启发，学生已经开始构造辅助线，分析棱长、对角线等数值了，题目的解答在学生的自主推进中完成得十分理想.

运用直观图形来解析重点难点问题的过程当中，常常会闪现出数形结合的影子.在高中阶段的数学学习内容当中，问题的出现，通常会体现出比较强的综合性，代数与几何之间的界限并不明确.重难点问题当中所体现出的这种特点也就更加明显.因此，为了有效解答这种问题，便需要打通数与形之间的壁垒，让二者能够相互借力，用数字去描述图形，以图形来阐释数字.图形方式的融入，为重难点问题的解答提供了一条捷径，学生对于这方面内容的学习也自信了很多.

四、运用拓展图形，完成学习延伸

按照教学计划完成相应知识内容的呈现后，教师还需要继续对知识方法进行拓展延伸，在完善对所学内容理解的同时，还能够提高学生的数学思维能力，形成良好的意识习惯，成为整个数学学习过程的动力.随着教学要求的不断提升，对知识内容进行拓展延伸，已经成了当前高中数学教学当中的一个必需.因此，如何巧妙地带领学生完成学习延伸，已经成了每一个高中数学教师所要重点思考的问题.笔者经过多次教学实践发现，图形的拓展性运用，对于这个教学问题来讲是一个很好的回答.

案例4在圆弧知识的教学中，学生接触的大多是规则的圆弧图形与相应分析.为了能够升华学生对这部分内容的理解，笔者将圆弧图形灵活化，形成了如下形态，并以此提出了一个问题：月牙形的实线部分由圆P上的一段优弧与圆Q上的一段劣弧围成，两圆半径均为2，点P在圆Q上.现欲截取一个多边形，使其顶点均在圆P上.那么，若多边形确定为△RST（如图2），其最大面积是多少？若多边形确定为等腰梯形BCDA（如图3），其最大面积是多少？由此，学生不仅以新的角度感知了圆弧，还从这个变化过程中发现了一些有趣的规律.

图2

图3

实际上，数学图形的拓展性运用是可以通过多种形式来实现的.具体说来，我们可以从两个角度来对拓展运用图形的方式进行归纳：一是从形式上拓展，即让图形脱离其常规的呈现形态，可以将之设计为发展的，甚至是动态的，进而赋予图形更多的功能.二是从内容上拓展，即为数学图形填加更为丰富的内涵.在学生看来，图形似乎只是用来解释文字和数字的，当教师向图形当中融入更多内容时，往往会给学生耳目一新的体验，也会更加热衷于图形方式的运用.

五、运用习题图形，寻找知识出口

如果询问大家对于数学习题作用的看法，大家一定认为，这是为了巩固所学知识而存在的.当学生学习过一些基本概念和基本方法之后，及时让他们完成一些习题练习，让大家更加准确地理解所学内容.其实，除此之外，习题的功能还有很多.尤其是在含有图形在内的习题当中，往往蕴含着诸多知识出口，学生能够在图形的引领之下感受学以致用.

图4

案例5在学习过三角函数知识后，笔者请学生解答这样一个问题：如图4所示，某船由点O出发，沿北偏东α的OZ方向航行.距离O点a（a为正常数）海里的北偏东β的A处有一个小岛.已知现要从点O正东海里处的点B派船去往A，并沿BA方向追赶第一艘船，两船在点C处相遇.若当△OCB的面积最小时，船的行驶状态最为适宜，则m应当取得何值？在这里，图形与题目背景是配套出现的，从图形当中，学生很直观地看到了三角函数在航行问题中的应用，学习热情大增.

让学生能够在实际生活中灵活运用知识，是高中数学教学的一个重要目标.然而，仅仅靠语言去告知学生，无法让大家产生确切的感知.加入了图形之后，数学知识的运用瞬间直观了很多.特别是运用习题当中所出现的图形，同时可以借助习题本身所营造出的问题情境，让学生更好地知晓如何运用理论知识指导生活实践.

六、运用自制图形，强化解题能力

所谓自制图形，指的是学生自己画出的数学图形.图形不仅是教师开展课堂教学的手段，更是学生自主解题的重要工具.因此，除了会看图，学生更要学会自己绘制图形.正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”，让学生学会自制图形，无疑为其解题能力的强化提供了保障.

案例6立体几何单元曾出现过这样一道题目：某工厂要制作一个由同底圆柱和圆锥组成的油罐，要求圆柱与圆锥的总高度同圆柱底面半径均为r.若圆柱侧面用料单价为a，圆锥侧面用料单价分别为圆柱侧面与底面用料单价的4倍和2倍，设圆锥母线与底面成角θ，则当θ取何值时，总费用y最少？想要顺利解题，必须依题意将图形画出来.学生在理解条件时出现了一些歧义，但笔者仍坚持让学生自己画图，最终完成了准确图形（如图5）.

图5

前面已经提到，高中数学解题当中广泛运用着数形结合方法.因此，想要让学生独立解答问题时，能够熟练运用数形结合，自制图形的能力必不可少.在教学过程中，教师要有意识地为学生提供更多作图的机会，让图形理念在学生的思想中逐渐渗透，有效强化解题能力.

从前文的论述当中不难看出，图形在高中数学的知识学习过程当中可谓是无处不在的.也正因为如此，图形理念在学生头脑中进行渗透也更加容易了.教师恰好可以抓住这个机会，观察搜集每一个图形得以出现和介入的时机，着重强调，将这些环节当中的图形运用得更为灵活和到位，从而实现学生对于数学知识内容的扎实掌握，并在图形的帮助之下对所学知识进行更加深入、开放的思考.图形理念渗透到位了，自然会在学生意识当中建立起一个系统化的思想架构，数学学习与问题解答的思路也就更加开阔了.

1.张必平.数形结合解题的常见误区分析［J］.数学教学研究，2005（5）.

2.严海平.走出数形结合的误区［J］.中学教研，2005（3）.

3.孙青芬.数形结合开拓解题思路［J］.青海教育，2004（12）.

4.董晓萍.高中数学教学中如何渗透数形结合思想［J］.中学生数理化（学研版），2013（5）.