有误必有因有思才有悟

☉福州华侨中学　李文明

有误必有因有思才有悟

☉福州华侨中学李文明

一、提出问题

题目：三对夫妻站成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率是多少？

这是2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛（高二年级）第8题.在网上只能搜到答案，但是这个问题及与之有关的问题也大都没有详解，网上错误解答也层出不穷，这的确是一道较难的问题，不但很多学生不能给出解答过程，其实相当一部分老师也无法给出详细解答，笔者对问题进行了认真思考，现把探究思路和过程提供给大家，以此引导学生学会调整思考方向和方法，学会思考，同时要让学生懂得教师也会犯错误，关键是学会在山穷水尽疑无路的“逆境”中，辨明方向，理清思路，探索进取，走出泥潭，进而修正错误.提升数学思维能力和数学素养.我们认为真正的好老师要敢于把自己犯过的错误呈现给学生，也就是说要有勇于承认错误的精神，同时还要善于把自己所犯错误的性质及纠正的思考过程展现给学生，只有这样才能为提高学生的数学思维能力和数学素养提供借鉴.

先分步再分类：第一步，从三对夫妻中任选一对，其余两对先排分两类情况.

（1）这两对先排且有一对相邻：从两对中任选一对，剩下一对站成一排，再把前面从两对中选出的那一对插在两个人中间，插入的一对再全排列，故方法数为

（2）这两对先排且夫妻互不相邻：从两对中任选一对全排列，然后从最后一对中任选一人插入夫妻中间，再把最后一人排在两边，故方法数为

第二步，把最初选出的一对夫妻插入其中，并保证仅有最后插入队伍的夫妻是相邻的，所以方法数共有

这是本人在认真思考过程中得出的一个答案，看上去似乎没有问题，在不知道问题答案的情况下如何辨别问题的正确与否呢？困惑：一是觉得概率很大，但是概率问题是无法直接验证的，二是与之相关的问题都清楚了吗？要解决其他与之相关问题难度与原问题难度相当，确有欲罢不能之感，其实这才是引发我们积极思考的最好契机.

二、问题探究

为了研究问题，我们探究与之相关的下列问题：

（1）三对夫妻站成一排，三对都相邻的概率；

（2）三对夫妻站成一排，仅有两对相邻的概率；

（3）三对夫妻站成一排，仅有一对相邻的概率；

（4）三对夫妻站成一排，夫妻互不相邻的概率.

这四个问题彼此互斥，难易程度不同，我们不妨先易后难.

正解：（1）三对夫妻都相邻的方法数.

分两步：第一步，先“捆绑”把每对夫妻看作“一个元素”，三对全排列；第二步，在“捆内排列”，由分步计数原理得A33（A22）3=48.

（2）仅有两对夫妻相邻的方法数.

分三步：第一步，先从三对夫妻中任取两对夫妻，每一对夫妻“捆绑成一个元素”进行全排列；第二步，在“捆内全排列”；第三步，把最后一对元素插在“夫妻对”与“夫妻对”之间和两边3个空中的2个中.

（3）仅有一对夫妻相邻的方法数.（本题难点所在）

先分类再分步：第一类，相邻的夫妻排在队首.

分五步：第一步，先从三对夫妻中任选一对夫妻，排在下面六个位置的最前面方法数有如图1所示；

图1

第二步，从余下的4人中任选一个，排在第3个位置，方法有A14种；

第三步，第4个位置只能从余下的一对夫妻中任选一个，方法有A12种；

第四步，第5个位置只能排站在位置3的人的配偶，方法只有1种；

第五步，第6个位置只能排站在位置4的人的配偶.

第三类，相邻夫妻排在第2、3两个位置上，如图2所示.

图2

第一步，先从三对夫妻中任选一对夫妻，排在六个位置的第2、3位置，方法数有种；

第四步，第5个位置只能排站在第1个位置的人的配偶，方法有1种，第6个位置只能排站在第4个位置的人的配偶.

方法共有

第五类，相邻夫妻站在中间的两个位置，如图3所示.

图3

第一步，先从三对夫妻中任选一对夫妻，排在六个位置的第3、4位置，方法有种；

因此由分类计数原理得夫妻仅有一对相邻的方法总数有48+48+48+48+48+96=288.

（4）三对夫妻站成一排，夫妻互不相邻.

先分步再分类，如图4所示.

图4

第一类：第一步，先从6人中任选一人站在第1个位置，方法有种；

第二步，从余下的两对夫妻中任选一人站在第2个位置，方法有种；

第三步，第3个位置排站在第1个位置的人的配偶，方法1种；

第四步，第5个位置排站在第2个位置的人的配偶，方法1种；

图5

第二类：如图5，第三步，从余下的一对夫妻中任选一人排在第3个位置，方法有种；

第四步，从站在第1、2位置的人的两个配偶中任选一人排在第4个位置，方法有种；

三、探究错因

老师为什么会犯错误，到底错在哪里，是思考方向错误，还是计算错误，俗话说，退一步海阔天空，著名数学家华罗庚教授曾经说过：善于“退”，足够地“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍，先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去.这就是以退为进的思想.当我们在探求某些数学问题的解法时，碰到一些疑惑费解或难于入手的困难，不妨将复杂的问题退到较为简单易求的地步，从中找出能反映问题本质属性的东西，使原问题化难为易而获解.为了把错误搞清楚，我们不妨先研究与之相关的简单问题：把“三对”减少为“两对”.

两对夫妻排成一排照相，求：（1）两对夫妻都相邻的概率；（2）仅有一对夫妻相邻的概率；（3）夫妻互不相邻的概率.

说明：两对夫妻排成一排，夫妻互不相邻的排法：先从4人中任选一人站在第1个位置，再从余下的一对夫妻中任选一人站在第2个位置，第3个位置只能排第1个位置的人的配偶，第4个位置只能排第2个位置的人的配偶，如图6所示.

图6

由此可见，错解错在第一步分类的第二类，具体到这种想法为什么会错，如何克服呢？

我们不妨用AaBb表示两对夫妻，例如，先取一对是Aa，则这对夫妻有两种站法：

（1）Aa，第二步再把余下两人插入其中的结果是ABab、bABa、BAba、AbaB；

（2）aA，第二步再把余下两人插入其中的结果是aBAb、baBA、abAB、BabA.共计8种结果.

若先取得一对是Bb，再插入其余两人结果与上述相同，因此出现了重复排列，纠正的方法是：不用从两对夫妻中任选一对先排列，只需指定其中一对先排列，再排其余两人就可以完成.

点评：这正是采用“插空法”特别值得注意的问题，由于“造空”的元素个数与“插入”元素个数相同，因此只需先“指定”其中两个元素“造空”，即可克服重复排列的发生！于是就有了问题的另一种解法.

先分步再分类：第一步，从三对夫妻中任选一对，其余两对先排分两类情况：

（1）这两对先排且有一对相邻：从两对中任选一对，剩下一对站成一排，再把前面从两对中选出的那一对插在两个人中间，插入的一对再全排列，故方法数为

（2）这两对先排且夫妻互不相邻：将其中一对全排列，然后从最后一对中任选一人插入夫妻中间，再把最后一人排在两边，故方法数为

第二步，把最初选出的一对夫妻插入其中，并保证仅有最后插入队伍的夫妻是相邻的，所以方法数共有

有误必有因，有思才有悟，我们虽然找到了错因，也悟出了克服差错的方法，我们的思考是否可以停止呢？其实从整体上我们还是没有发现问题的本质，我们还要继续思考，到底什么才是问题的本质呢？我们前面用了“退一步海阔天空”的思想，现在我们要“进一步领略风光”，“三对”问题与“两对”问题联系是怎样的？其实“三对”只不过是“两对”增加了一对，方法数有怎样的关系呢？于是问题就有了第三种解法：

解法三：对于“三对”问题我们可以先考虑已经排好了“两对”再增加一对.

（1）三对夫妻都相邻的方法数：只需在已经排好的两对都相邻的（方法数为基础上，把最后一对插入前面“两对”及两边的3个空当中，插法为

（2）三对夫妻仅有两对相邻的方法数.

所以，三对夫妻仅有两对相邻的方法数为144.

（3）三对夫妻仅有一对相邻的方法数.

由分类计数和分步计数原理得三对夫妻仅有一对相邻的方法数为

（4）三对夫妻互不相邻的方法数.

由分类计数和分步计数原理得三对夫妻互不相邻的方法数为8（20+8+2）=240.

由此可见我们不但解决了问题本身，还发现了本质规律，为学生开辟出探究之路，“四对夫妻”、“五对夫妻”……都是可以解决的！这里我们不仅很好地运用了“分类与整合思想”，还把数列中学到的“递推思想”有效迁移到排列组合中，充分体现数学思想方法的相互融合.

四、探寻规律

数学思维追求简约自然，数学最显著的特点是高度抽象性与广泛应用性，提高学生对现实问题进行数学抽象和概括的能力，也是数学教育教学根本目的之一.

设f（m，n）（m，n∈N，m≥1）表示“m对夫妻站成一排，仅有n对夫妻相邻的方法数”.

由此可得递推公式：

（规定：当m

五、问题启示

教学过程如何发挥教师的引导作用一直是人们关注的热点，关于“引导作用”有时会被曲解，引路就是要引导、开拓，有路要引路，无路要开路，很多老师都觉得只有把老师经过“咀嚼”后得到的“精华”奉献给学生才能发挥“引导作用”，我们觉得关键是教师不要越俎代庖，最关键的是不要代替学生“思考”，要允许学生犯错误，也允许教师犯错误，最为重要的是帮助学生学会数学思考，学会在困难面前不退缩，不气馁，勇于进取，敢于担当，善于探索，理清问题的本质，举一反三，有误必有因，有思才有悟，坚持不懈就一定能为提高学生的思维能力和数学素养做出积极的贡献.

1.李文明.创新之路在脚下无限风景在眼前［J］.中学数学（上），2015（6）.

2.李文明.回眸课标导数题把握备考方向标［J］.中学数学（上），2015（10）.