小填空，大乾坤——讲评一道模考题有感

☉江苏省天一中学　陈俊峰

小填空，大乾坤——讲评一道模考题有感

☉江苏省天一中学陈俊峰

数学试卷讲评是高中数学教学不可或缺的环节，在高三阶段更是常规的重要课型之一，对学生而言，有着矫正错误、拓展思路、揭示本质、总结经验、提升能力的功能.基于此，如何才能提高数学试卷讲评课的效率，也就成为高三数学教师经常思考的问题.笔者拟以此文，以管窥豹，谈谈自己的一些粗浅认识.

一、提出问题

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y-3）2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________.

此题是笔者所在学校2015年3月高三模拟试卷的填空题第12题，本题主要考查直线和圆的位置关系、圆的几何性质的应用、函数思想等.笔者所带理科班全班54人，只有26人做对.试卷发给学生后，笔者对该题答题情况做了统计：方法不当导致错误的有18人（其中11人通过求P，Q点坐标来求PQ长度，3人通过联立直线PQ方程与圆C方程来求PQ长度，4人毫无头绪）；运算错误的有10人，直接利用特殊位置求解正确的也有8人.由于之前类似背景的问题曾有接触，且考前一段时间刚进行了圆的专题复习，如此情况令笔者感到较为不满，于是笔者要求学生再次认真思考此题，并尝试结合以前的学习对该题做一些简单的变式拓展，笔者也进一步探究了该题的内涵和外延，并对讲评方式做了一些预设，最后决定“重拳出击”，用一节课的时间来讲评该题，以期达到“小中见大”的效果.

二、讲评过程

1.一题多解，殊途同归

生1（脸色有些尴尬）：设出点A坐标，然后想方设法求出P，Q点坐标，由两点间距离公式求出PQ，但是求P，Q点坐标实在太繁了，算不下去.

师：部分同学也遇到了与生1类似的困难.不妨换个角度重新认识一下PQ.

生2：PQ是圆C的弦，而且是切点弦.设A（a，0），求出切点弦PQ所在直线方程：ax-3y+7=0，点C到直线PQ的距离，则所以线段PQ长的取值范围为

师：当已知弦所在直线方程时，运用圆的几何性质是解决圆的弦长问题最常规简单的方法.

图1

生3：PQ还是Rt△PAC斜边上高的两倍.连接AC，PC，且AC与PQ相交于点H（如图1）.设A（a，0），在Rt△PAC中，由等面积法可得PQ=2PH=所以线段PQ长的取值范围为

生4：抓住特殊位置更简单.当点A在x轴上运动时，可以发现：当A、C间的距离越来越远时，线段PQ越来越长且无限趋近于直径2；当A、C间的距离越来越近时，线段PQ越来越短，当A运动到O点时，AC长度取得最小值3，此时线段PQ长的最小值为

不少学生发出赞叹声，但也有不服气的.

生1：有一定的道理，但总感觉不严谨，如果改成解答题呢？

生4（反驳）：可以建立PQ长度关于AC长度的函数关系.设AC=x（x≥3），由生3的思路，求出PQ=PQ为增函数，所以线段

师：生4通过建立函数关系论证了自己的直观判断，很牛！（学生鼓掌、喝彩）请问线段PQ长度变化的源头是什么？

生5：源于点A的运动变化，所以只要找到线段PQ长与点A坐标或者AC长度的关系，问题就迎刃而解了.

师：这样看来，上述多种解法，其实殊途同归，这其中圆的几何性质都起着关键的作用.

2.变式拓展，深化思维

师：该题背景并不陌生，经过大家的梳理和思考，该题可以做哪些变式拓展？并思考变式该如何求解？

生10：若改变P、Q点，其他条件不变，可以得到变式3：PQ是圆C的一条直径，求的取值范围.

图2

师：以上题目解法的共性是什么？

生（齐）：都是通过建立关于AC的目标函数进行求解.

生12（若有所思）：倘若改变点A的运动轨迹，AC的范围则会发生变化，以上问题的答案也会随之发生变化.如：点A是圆x2+y2=1上的一个动点，由圆的几何性质可求出AC∈［2，4］.

师：生12的想法很有开放性，上述问题通过改变点A的运动轨迹将会变得更加丰富多彩，大家课后再去研究研究.刚才大家变得好，解得也好.继续改变P、Q点，其他条件不变，可以得到变式4：圆C上存在两点P，Q使得则点A横坐标的取值范围是___________.

生14（颇有些得意）：只要抓住临界位置：当直线AP经过圆心C，且设A（x0，0），算得临界位置时AC=所以x0=±3，所以点A横坐标的取值范围是［-3，3］.

教室里议论纷纷，有赞叹的，也有持反对意见的.

生15：临界位置的界定理由不充分，随便猜猜只是碰运气！

生14准备不足，面露尴尬之色，无言以对.

生16：当直线AP经过圆心C时，生14已求，x0=±3.当直线AP不过圆心C，过点C作CB⊥PQ于B，连接AC，QC（如图3）.在Rt△BCQ中，BQ=在Rt△ABC中，AB=由AP=2AQ且BP=BQ，可以得到AB=3BQ，所以化简得AC2=18-8BC2.设A（x0，0），则AC2=9+又BC∈所以x0∈［-3，3］.故点A横坐标的取值范围是［-3，3］.

图3

师：运用圆的几何性质，结合勾股定理，找出点A横坐标和变量BC的关系，通过函数或不等式都可以进行求解.生16很严谨，把直线AP经过圆心C的情况单独讨论是有必要的.

笔者还想继续往下讲，生14把右手举得很高.

图4

生14：我有更好的方法，生14得到笔者同意后走上讲台，边画图边讲解（如图4）.通过数形结合来研究的范围：当AP与圆C相切时，=1，又P，Q不重合，所以>1；如图4，直线AP由相切位置开始，绕着点A逆时针旋转，经过圆心C之前，AP越来越长，AQ越来越短，当AP经过圆心C时，AP最长，AQ最短，此时最大为继续逆时针旋转．同理由对称性可知，故的取值范围为由题意≥2，即AC≤3，设A（x0，0），则，所以x0∈［-3，3］，即点A横坐标的取值范围是［-3，3］.

教室里响起一阵掌声，生14脸上洋溢着一雪前耻的得意.

师：与定圆有关的动点问题，转化为与圆心有关的问题，常能以静制动.生14很善于动脑筋，思路很清晰.

生17：是不是也可以通过只改变点A的运动轨迹对变式4进行变式呢？

师：大家的思考很有创造性.如生17、生12所讲，得到变式5，请课后思考.

变式5：在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x2+（y-3）2= 2，圆M：（x-3）2+（y+1）2=r2（r>0）上存在一点A，且圆C上存在两点P，Q使得则r的取值范围是______.

3.课堂感悟，归纳升华

师：通过刚才的学习，你们有哪些感悟？

生18：今天我们学习了三个动点和一个定圆的故事（幽默的语言引起教室里一片笑声）.

生19：处理解析几何中圆的问题要充分运用圆的几何性质.

生20：数形结合的思想.

生21：处理范围问题的常见途径：建立目标函数；找出不等关系.

生22：以静制动.

生23：一个题目，通过改变条件或问题进行变式，可以丰富研究的角度，使思考变得更加深刻.

师：归纳得非常好.研究越深刻，就越能触及问题的本质.希望同学们能多从研究的角度去学习数学，从而让深刻成为一种思维习惯.

三、基于本节课而产生的关于试卷讲评的几点感想

1.研读试题“高低”结合

（1）“高处”研究试题，高屋建瓴

教师通过认真做题，对每个题目考查的知识、技能和方法都有一个全面的了解.对典型试题重点研究：如何找出解决问题的切入点？是否可以从多个角度进行求解？哪个角度更自然？哪种解法更优化？问题背后的数学本质是什么？还可以解决哪些类似的问题？另外教师还要关注试题之间的联系，找出“形异质同”或“形似质异”的试题，并对它们进行串联整合.要给学生一杯水，教师要有一桶水，教师应充分发挥自身的主动性、能动性和创造性，从“高处”研究，高屋建瓴，这对培养学生思维的深刻性大有裨益.

（2）“低处”分析学情，有的放矢

仅从教师的角度研究试题，无异于闭门造车，一定会给试卷讲评带来极大的片面性.给学生正确的方法固然重要，但如果学生仍然意识不到到自己的错误所在，下次碰到类似的问题，犯类似错误的可能性依然很大.因此教师在研读试题时，还须站在学生的角度，降低重心，从学生已有的认知基础和经验出发，想学生所想，并结合阅卷、个别谈心交流、错误统计等渠道获悉学生的答题情况：错误学生的情况、产生错误的原因、错误的类型、巧妙的解法等.另外不能被有些“侥幸”的“对”蒙住眼睛，特别是填空题部分，如本文的模考题，部分学生直接用特殊位置进行求解，显然是不够的.教师研读试题，从“低处”分析，有的放矢，才能真正讲评学生“最需要的”.

2.讲评方式恰当合理

（1）整合拓展，专题呈现

很多教师在试卷讲评时，总想着面面俱到，题目从头讲到尾，“眉毛胡子一把抓”反而使得内容零乱，思维不连续，且蜻蜓点水，思维缺乏深度，导致讲评课单一乏味，学生容易产生思维疲劳，效率肯定不高.与其一节课不痛不痒，还不如来几记重拳来得印象深刻，整合拓展显得很有必要.

教师在研读试题后，把学生存在的主要问题和亟需解决的问题，按知识点、解题方法、错误类型等进行归类整合，以此为讲评的切入口，并根据学生的认知特点设计合适的问题主线，引导学生回顾、比较、思考和总结.另外，对于某些重点题型，教师可引导学生多层次、多角度进行再研究，探求一题多解，一题多变，通过拓展外延、并归纳提炼，帮助学生揭示内涵.如本文中，一道小填空也可展现大乾坤.

这种“微专题”式的思维聚焦一方面使得学生对知识方法的理解更加深刻，促进知识方法体系的自我建构和完善，有助于其思维深刻性和灵活性的培养；另一方面让教师的试卷讲评课更有针对性，大大提高课堂效率.

（2）以生为本，以学定教

学生是考试的直接参与者与体验者，一场考试下来，会有很多想法和遗憾不足，他们渴望通过试卷讲评这个平台去分享和弥补，倘若教师一讲到底，就直接扼杀了学生的主体需求，脱离了学生的主体性，再精彩的课堂设计，其效果必定大打折扣.

美国教育学家杜威曾说过：“教学不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种经历，一种体验，一种感悟.”教师讲评试卷时，从学生实际出发，低处着手，由浅入深，循序渐进，让不同层次的学生都能产生一种愤悱的状态，创设民主的课堂氛围，鼓励他们积极参与，通过自由表达、提问质疑、纠偏归正、自我拓展、归纳总结，使得每一位学生都能在自己的最近发展区有所收获.以生为本的讲评方式解除了学生思维的禁锢，点燃了学生思维的火把，思维碰撞不断出现，生成的火花更能为高效的讲评活动锦上添花，正所谓：“水本无华，相荡而成涟漪；石本无火，相击而发灵光.”

1.陆贤斌，朱占奎.联系拓展创新——高考模拟试卷评讲的一种尝试［J］.中学数学教学参考（上），2012（5）.

2.余晓军.错题不是无情物，化作春泥更护花——高中数学试卷讲评课的有效性初探［J］.数学通讯（下半月），2014（1）.