2015年高考北京文科卷第20题的探究及推广

2016-12-07安徽省寿县第一中学梁昌金

中学数学杂志 2016年1期

关键词：中点斜率抛物线

☉安徽省寿县第一中学　梁昌金

☉安徽省寿县第一中学梁昌金

题目（2015年高考北京卷文科第20题）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A、B两点，直线AE与直线x=3交于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

这是一道解析几何综合题，主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.入手并不难，但对运算和变形的能力要求较高.本文主要对试题第（Ⅲ）问的解法进行探究，并做适当的拓展.

一、对解法的探究

当直线AB的斜率不存在时，易证得BM∥DE.下面探究直线AB的斜率存在时的解法.

思路1：转化为证明向量共线.

方法1：设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠1）.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=

于是

而

思路2：转化为证明对应线段成比例.

方法2：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2）.

图1

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0.

图2

思路3：转化为证明直线平行线.

方法3：如图2所示，过B点作x轴的平行线交直线x=3于点B′，连接AB′交x轴于点F，连接EF.

设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠1），并设A（x1，y1），B（x2，y

2），则B′（3，y2）.

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0.

所以x-2=0，即x=2，所以点F的坐标为（2，0）.

又点E的坐标为（2，1），所以EF⊥x轴，故EF∥MB′，得

方法4：如图2所示，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接AF交直线x=3于点B′，连接BB′，则F（2，0），

设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠1），并设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AF的方程为，令x=3，得点

由方法1知，2（x1+x2）-x1x2-3=0，所以kBB′=0.

二、对结论的推广探究

结合求解试题的过程可以知道，试题的第（Ⅲ）问可以推广到一般的情况，笔者经过探究，得到一般性命题.

图3

证明：如图3所示，设直线AB与直线l交于C点.b2（m2-a2）=0（i=1，2）.

则λi（i=1，2）是方程（b2x2+a2y2-a2b2）λ2+2b2（mx-a2）λ+ b2（m2-a2）=0的两个实数根.

又点C在直线l上，有mx-a2=0.

于是由韦达定理得λ1+λ2=即λ1= -λ2，从而得|λ1|=|λ2|，即

再过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别为A′、B′，连接AB′，BA′交于点F.

所以EF∥B′C，所以所以故 BM∥DE.

三、命题的再推广

在命题1的证明过程中，AA′⊥l，BB′⊥l没有使用，与点D在x轴上也无关.从证明过程中发现，E点的本质是“过线段DD′中点且与l平行的直线上的点”.因此可以将命题1中的D点推广为任意一点，且DD′不必与l垂直，只需满足E点（不在直线AB上）为过线段DD′中点且与l平行的直线上的任意一点即可，结合命题1可推广得出更一般的命题.