在比较中发现区别，在复习中改进对策——谈使用全国卷《函数与导数》的高考复习

☉福建省宁德市民族中学　郑一平

☉福建省宁德市民族中学　苏华春

在比较中发现区别，在复习中改进对策——谈使用全国卷《函数与导数》的高考复习

☉福建省宁德市民族中学郑一平

☉福建省宁德市民族中学苏华春

福建省与全国许多省市在2016年将结束自主命题改用教育部统一命题的全国卷，这标志着高考改革又将迈入一个新的阶段.如何加强对全国课标卷的研究，适应全国课标卷（简称全国卷）的考试摆在教师面前.教师要从过去研究本省自主高考命题和《考试说明》转向研究全国考试大纲、全国卷和全国高考《考试说明》，通过对近几年全国卷与本省卷的比较中寻找区别与联系，对症下药改进复习策略，从而做好2016届高考复习，提高复习效率.下面就福建省高三《函数与导数》内容复习从三个方面谈谈个人的看法供参考.

一、考点分布比较

从函数与导数考点分析，近五年《函数与导数》（理科）内容全国卷与福建卷的考点分布：

从上述表格可以看出对于函数与导数，全国卷与福建卷都以比较多的题量、比较大的力度进行比较全面的考查.试题特别关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，常交汇整合常用逻辑用语和推理论证中的相关内容，隐性交汇解不等式和不等式证明的知识内涵，以体现对创新意识和探究能力的考查和对学科能力与学科思想的综合考查，考查要求高，解答题均以压轴题的形式出现.

在具体选材和考查权重方面，也存在一定的差异.存在的主要差异是：全国卷与福建卷选择、填空题的选材各有侧重，福建理科卷常考定积分，且常与几何概型进行交汇，全国卷对定积分的考查基本不涉及.全国卷对函数零点有一定关注，而福建文科卷对函数零点关注较多.全国卷在函数方面比重比福建卷略少，大约占22分，福建卷基本都在27分以上，全国卷比较稳定地采用导数压轴，压轴难度相对福建卷要低.福建卷对函数与导数的考查总体难度高于全国卷，除设置于解答题的“压轴”位置，还常包揽了选择、填空的“压轴”位置，常交汇常用逻辑用语和推理论证中的相关内容.全国卷压轴的函数与导数试题都是两问，而福建卷基本上是三问，而且第三问往往难度都大于全国卷.

二、试题特点比较

全国卷与福建卷都坚持“重点知识重点考查，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试卷的主体”的命题指导思想，既注重全面考查基础知识又突出考查主干内容，既全面考查基本素养，又综合考查发现问题、分析问题和解决问题的能力.

全国卷最大特点是坚持通性通法的考查，不回避课堂教学热点，试题基本遵循“稳中有变、立足基础、突出能力、锐意求新”的命题指导思想，所有函数与导数试题形式简约常见，每年都作为压轴题，学生见到压轴题不会陌生，除了通性通法，注重思维能力的考查，多考一些想，少考一些算，基本功扎实就能拿到压轴题大多数的分.而福建卷往往常变常新，题目新颖，常常与探索性、开放性等相结合，体现创新性.同时题目位置不稳定，波动较大，今年压轴题，明年可能变成前三题，有命题人员与一线教师捉迷藏的嫌疑.

函数与导数全国卷与福建卷近三年试题理科考点分析（文科略）：

2013年全国卷理考查分段函数、函数性质、导数的几何意义、函数的最值、导数与函数的单调性等.（两小一大，试题略）

2013年福建卷考查函数极值、新定义函数、积分以及函数的导数、不等式、方程等综合知识，考查运算求解能力等．（三小两大，试题略）

2014年全国卷理考查函数零点、导数与函数极植、导数与切线、导数的不等式证明，考查学生分类讨论能力以及转化与化归思想等.（两小一大，试题略）

2014年福建卷考查函数的图像、函数性质、函数与几何概率以及初等函数的导数、积分、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识等.（三小一大，试题略）

2015年全国卷理考查利用导数求参数取值范围、判断函数的奇偶性、导数的几何意义与切线、函数的最值与零点等.（两小一大，试题略）

2015年福建卷考查函数奇偶性、导数的性质、函数与几何概率、分段函数、积分以及导数及其应用等基础知识等.（四小一大，试题略）

从上述试题可以看出，全国卷都以两小一大的形式出现，解答题基本上形成一个模式，作为压轴题出现，第一问求函数解析式、切线方程、极值点或最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均和不等式相联系，考查最值问题、不等式恒成立时参数取值范围问题或证明不等式等综合问题，难度较大.福建高考函数与导数试题题量大于全国卷，分值高于全国卷，难度大于全国卷，特别选择题、填空题的压轴题多为函数与导数试题，若解答题压轴题为函数与导数问题，往往有三个小问题，特别第三问难度都高于全国卷.

同时函数与导数在全国高考试卷中形成新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题，其命题有以下趋势：

（1）全方位.在近年新课标高考题中，函数的知识点基本上都有所涉及，基本上涉及函数的各个知识点.

（2）多层次.近年新课标高考试题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全.低档难度题一般仅涉及函数本身内容，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图像等，且对能力要求不高；中、高档难度试题多为综合程度较高的试题，或由多个知识点综合或与相关知识交汇，或是多种方法渗透，对能力要求较高.

（3）巧综合.为强化函数主体地位，常把函数与相关知识交汇，考查多种方法、多种能力（包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力等）.

（4）变角度.出于“能力立意”和创设情境需要，函数试题设置问题的角度和方式也在发生变化，加大了应用题、推理探索题，开放题和信息题的考查，使函数试题更加适应新课标要求.

（5）重能力.以导数为背景的函数试题，利用导数工具性作用，把解决问题上升新的高度，考查能用函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论等数学思想处理问题能力，考查学生分析问题、解决问题的能力和数学基本素养.

三、复习建议

从对近五年全国卷函数与导数的高考试题分析，充分体现高考命题强调“以能力立意”的指导思想，就是以函数知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识综合性、应用性的考查，全国高考对函数与导数的综合题考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式相关知识的联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力和逻辑推理能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想，将是今后全国高考的命题方向，必须给予足够的重视.

因此在函数与导数复习中要把握好以下几个问题：

（一）调整复习策略，函数与导数的复习须重新定位

根据全国卷以两小一大的题量、对函数与导数进行比较全面的考查，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，常以初等函数为背景设计综合题和应用题，一般以压轴题的形式出现的特点.因此函数与导数的复习应突出基础性和综合性，要准确理解概念，掌握通性通法，学会融会贯通，要会利用函数解决某些简单的实际问题，尤其要关注以下几个问题：

1.关注函数的图像与性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值等基本内容.

2.关注函数与方程、不等式、数列等相结合的综合问题，强化转化与化归、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法在解题中的作用，要发挥导数的工具性作用，如应用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式的证明等.

3.关注实际生活中的应用问题，掌握解决这类题型的一般步骤.

（二）从四个方面突破函数复习难关

1.突出函数概念、性质的基础作用.

①函数概念性强，函数性质是数学解题的重要工具，尤其是函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等是高考的重点，每年必考，必须熟练掌握.

②尤其要重视函数的概念、图像及变换的考查，分段函数、绝对值函数蕴含着分类讨论与数形结合思想要引起足够重视.二次函数的最值讨论、二次不等式解的讨论与二次函数零点分布是导数题基础，要反复过关.平时多训练学生利用函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的关系描绘函数图像，掌握图像的平移、翻折、对称变换，能够自觉运用图像解题（数形结合法），其中对称性蕴含着从特殊到一般的数学思想要重点加强.

③导数应用中求函数单调区间、极值、最值是基础，讨论函数单调区间、极值、最值是热点，特别是函数在区间上单调与不单调问题思想方法丰富应受到重视.函数零点问题的多种转化形式也是热点，多训练学生应用函数与方程思想解决零点问题.

例1（2014全国卷1）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

思考1：由已知a≠0，f′（x）=3ax2-6x.

当a>0时，x∈（-∞，0），f′（x）>0；x∈），f′（x）< 0；x∈且f（0）=1>0，f（x）有小于零的零点，不符合题意.

思考2：由已知a≠0，f（x）=ax3-3x2+1有唯一的正零点，等价于a=3·有唯一的正根，令t=，则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正根，即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记f（t）=-t3+3t，f′（t）=-3t2+3，由f′（t）=0，t=±1，当t=（-∞，-1），f′（t）<0；t∈（-1，1），f′（t）> 0，t∈（1，+∞），f′（t）<0，要使a=-t3+3t有唯一的正根，只需a

2.强化导数在函数问题解决中的工具作用.

①近几年函数高考题型发生的明显的变化，多为可利用导数知识求解的问题.为适应新高考需要，函数解题必须充分发挥导数的工具作用，根据新的教材特点改变解题方法和途径，避免复习时把函数与导数等知识分割开来.应在复习中互相渗透，尽可能利用导数等知识居高临下的研究函数的性质及图形变化特征，发挥导数在解题中的应用.特别要关注导数的几何意义以及性质的内涵，能熟练应用结合意义和性质灵活处理函数问题.导数几何意义与切线相关问题是必考点，熟练导数运算的公式并能灵活应用.

②关注利用导数破解函数图像的特征、研究方程根及其性质.有些函数直接作出图像比较难，但利用导数性质得到函数一些特征后再作草图则容易奏效.

③由于导数概念是容易出错的知识点，因此必须让学生弄清其实质，有意识加强训练.如要注意“在”与“过”的区别；要注意“f（x）≥0恒成立与f（x）∈［0，+∞）”区别；要注意“f（x）在区间D上是增（或减）函数与f（x）的增（或减）区间是D”的区别；要注意“x∈D时，f（x）≥g（x）恒成立，与x1，x2∈D时，f（x1）≥g（x2）恒成立”的区别等.

3.把握函数作为高中数学知识中的主干作用.

①函数作为高中数学的重要基础知识，历来是高考的重点和热点问题，它内容丰富、应用广泛、贯穿于高中数学的始终，函数与导数还常与常用逻辑用语交汇，考查逻辑推理论证能力，必须给予足够的重视.

②函数与方程、不等式、数列、向量、最值、求参数的取值范围等知识之间都有密切联系，以这些交汇知识进行命题是命题改革的一种趋势，又由于导数的工具作用，解答题都是把函数与导数连成一体，因此必须予以重视.由不等式恒成立问题求解参数范围是常考题型，要重视对不等式恒成立问题解决方法的总结.

③导数与不等式恒成立问题、不等式证明问题是难点，新课标近几年此类问题的共同特点是避免整体对待，强调讨论分解函数，化归转化为一个相对简单的函数或两个函数来突破，这是培养解题能力的一个重要途径.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）证明：f（x）>1.

分析与略解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+从而f（x）>1等价于xlnx>xe-x-

设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，

设函数h（x）=xe-x-，则h′（x）=e-x（1-x），

所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，

故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，

综上可知，当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.

4.重视函数知识在实际中的载体作用.

函数的广泛应用近年越来越受到重视，以函数知识为载体的实际应用题在近年高考中经常出现，学会建立函数模型，应用所学知识解决应用题是数学能力的体现，必须重视和加强.

（三）以思维能力为核心，全面提升能力

1.应注重数学思维能力的训练，合理利用有关材料，在知识交汇处设置问题，培养学生观察、分析、解决问题的能力，特别要培养学生思维意识，审题中能抓住思维起点，结合有关知识能够合乎逻辑地准确表述推理过程，训练推理论证能力.

2.高考提倡“多思少算”，但并不意味着不要运算.复习中应关注学生运算能力的训练，培养学生合理、准确的运算能力.

3.重视数学思想在函数与导数解题中的应用.复习中要始终渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等思想，要注意通性通法的训练，淡化特殊技巧.复习时要注意知识的交叉、融合和渗透，帮助学生进行归纳、梳理、总结和提升，从中把握规律，领会本质，掌握数学思想方法，提高学科素养.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（Ⅱ）用min｛m，n｝表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min｛f（x），g（x）｝（x>0），讨论h（x）零点的个数.

试题解析：（Ⅰ）设（x0，0）为曲线y=f（x）与x轴的切点，则f（x0）=0，f′（x0）=0，

（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx<0，

从而h（x）=min｛f（x），g（x）｝≤g（x）<0，

∴h（x）在（1，+∞）内无零点.

当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx>0，所以只需考虑f（x）在（0，1）内的零点个数.

（ⅰ）若a≤-3或a≥0，则f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，故f（x）在（0，1）上单调，而f（0）=，所以当a≤-3时，f（x）在（0，1）内有一个零点；当a≥0时，f（x）在（0，1）内无零点.

评析：导数作为一种工具，可以用来处理与函数有关的问题，本题涉及主要考点：利用导数研究曲线的切线、对新概念的理解、分段函数的零点、分类整合思想.

（四）复习中在全面复习的同时关注课本例、习题，发挥典型问题的作用，在精选与挖掘上下工夫，落实提高复习效益

面临第一年由福建卷转为国家课标卷，在全面把握国家课标卷与福建卷的区别与联系后，关键在于如何按照全国卷《考试大纲》和《考试说明》中的考查内容与要求，提高高三数学复习效益，在有限的时间获得最大的复习效益，我认为高三复习例题的选择与挖掘应有教学价值是提高复习效果的关键，要充分发挥课本例、习题和一些典型问题的作用，通过对例、习题的研究，发挥其应有的价值，再通过引变式、引伸，充分挖掘课本例习题的应有作用，以不变应万变，同时可以帮助学生归纳、提炼必要的数学知识精华，让知识简单化、通俗化、条理化.略举一例以期引起重视.

（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围.

（Ⅱ）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，是否存在实数m：若∃x1∈（0，1），∀x2∈［1，2］，总有g（x1）≥h（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

复习课如何发挥典型例题的辐射作用，变式教学是重要的方法之一，也是避免题海战术、提高解题的灵活性的重要手段.实际上本题是一道十分典型且可以进行变式的很好试题，若能在解题的基础上通过对问题进行变式与归纳，发挥问题的应有教学价值，则能达到解一题、通一片、提高一步的目的.

问题（Ⅰ）我们可以进行以下变式：

变式1：若g（x）在其定义域内为减函数，求正实数a的取值范围.

变式2：若g（x）在其定义域内为非单调函数，求正实数a的取值范围.

问题（Ⅱ）可以有如下变式：

设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，是否存在实数m：若∀x1∈（0，1），∀x2∈［1，2］，总有g（x1）≥h（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，是否存在实数m：若∀x1∈（0，1），∃x2∈［1，2］，总有g（x1）≥h（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，是否存在实数m：若∃x1∈（0，1），∃x2∈［1，2］，总有g（x1）≥h（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

引导学生对变式进行分析，由于篇幅关系，上述变式的解法留给学生课后解决，但通过对本题的变式解法分析可以引导学生发现这类问题实际上是函数问题常出现的“∀x1∈（a，b），∃x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”；“∃x1∈（a，b），∃x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”；“∃x1∈（1，b），∀x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等“使得恒成立”类型的命题，这些问题也是学生在解题时往往不能正确区分每一种情况之间的区别而造成解题失误的根本原因.根据上述问题分析逐题理解其问题的实质及特点，引导学生拓广归纳得到以下四种重要类型的问题及其结论：

类型1：“∀x1∈（a，b），∃x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等价于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）时，f（x1）min≥f（x2）min”.

类型2：“∀x1∈（a，b），∀x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等价于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）时，f（x1）min≥f（x2）max”.

类型3：“∃x1∈（a，b），∃x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等价于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）时，f（x1）max≥f（x2）min”.

类型4：“∃x1∈（a，b），∀x2∈（c，d）使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等价于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）时，f（x1）max≥f（x2）max”.

抓住这四种类型问题的结论及特点，就可以简捷解决一类涉及“任意”与“存在”的试题，达到触类旁通的效果.

总之，函数是高中数学极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程.函数与导数在历年高考中都占有较大的比重，内容丰富，概念众多，题型多样，综合性较强.函数与导数的复习应以函数的基本概念和性质为主线，引导学生利用导数的“工具性”作用，培养学生用导数分析函数性质的意识，渗透数形结合，分类讨论、函数与方程等数学思想方法，提高解决问题的能力，以适应高考改革对复习的新要求.

1.郑一平.数学课堂教学应追求“三性”、倡导“四有”［J］.中学数学（上），2014（10）.

2.郑一平.“任意”与“存在”数学问题解决中值得重视的易错问题［J］.中学数学研究，2013（6）.