解构高考试题优化教与学——以浙江高考数学圆锥曲线与方程为例

☉浙江省杭州市余杭高级中学　马富强　曹凤山

解构高考试题优化教与学——以浙江高考数学圆锥曲线与方程为例

☉浙江省杭州市余杭高级中学马富强曹凤山

附表1：浙江省高考数学2010～2015圆锥曲线与方程部分客观题解构

解构视角一、题材与设问模式

根据附表1统计，11道客观题中，题材中双曲线、抛物线、椭圆、直线、圆出现的次数分别是6次，4次，3次，3次，2次.

从题材选择显示，理科客观题对双曲线格外“偏爱”，每年必选；解答题的题材，椭圆与直线综合的五次（2013年中还含有圆），抛物线与直线、圆综合一次.在每年的试卷中，椭圆、双曲线、抛物线都会出现，客观题侧重双曲线、抛物线，解答题中主要是椭圆与直线，客观题中的直线大多是“静态的”，涉及定点、中点、垂直等特殊情况，解答题中的直线则是动态的.

从设问角度看，由附表1，10道题中求双曲线离心率3道，求双曲线渐近线2道，另外还有求直线的斜率、求点的坐标、抛物线上的点到准线的距离等；由附表2，解答题的设问一律采用一题两问的模式，第一问相对简单，内容如求椭圆方程、点到直线距离、切点坐标、参数范围等，第二问主要是求特殊位置下（如三角形面积最大、与中点相关等）直线的方程以及某些量的取值范围等，特别关注临界状态.

【实例1】（2010年第8题）设F1，F2分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）.

A．3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0

(1)不同施肥处理对2个玉米品种先玉335、金穗4号根际4种土壤酶活性均有不同程度影响，差异显著(P<0.05)。在各生育期，土壤酶活性总体表现为：处理B(菌肥+85%化肥)>处理C(菌肥+70%化肥)>处理A(全量化肥)>处理D(全量菌肥)>处理E(对照)，其中在抽雄期和灌浆期达到峰值。

【解析】本题的题材选取双曲线，设问为求双曲线的渐近线方程.《考试说明》中没有直线与双曲线位置关系方面的要求，所以双曲线不适合在解答题中出现，重在定义、图形、方程与简单几何性质，是客观题理想的题材之一.求解双曲线的渐近线是其最典型、最个性的问题之一.本题根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程即可得解.

【对教学的启示】《考试说明》中的知识点都可能作为高考命题的题材，不偏废，又有所侧重；每一部分都有其“个性”问题.如圆锥曲线体现了数学研究的一个重要方法：由形到数，再通过数研究形的性质，这一过程中，概念、性质、思想方法等发挥着重要作用，个性突出，这些个性就是高考重点考查的内容.落实个性问题涉及的知识、技能以及蕴含的数学思想方法与能力，就是这部分教与学的重要目标.

解构视角二、考查的主要知识点

由附表1，客观题中双曲线、椭圆、抛物线标准方程分别出现5次、3次、4次，简单几何性质也是每题一定考查的内容.中点出现的频数也很高，为4次，直线垂直3次，圆、向量、直线等也偶有出现.双曲线主要是涉及渐近线、离心率、焦点、焦距、实轴、虚轴等，椭圆则涉及焦点、顶点、长轴与短轴等，抛物线是焦点、准线.由附表2，解答题中，每题都涉及到一至两种圆锥曲线的标准方程及其简单几何性质，问题的核心情境都是直线与圆锥曲线的位置关系，其中涉及三角形的面积、圆的切线、直线垂直等.

【实例2】（2011年第17题）设F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若则点A的坐标是_______.

【解析】本题本质上是常见的焦点弦问题，源于教材又高于教材，情境新，通过向量适度综合，形式优美，方法多样，层次明显.方法一，用两条直线方程求解；方法二，根据椭圆的对称性，转化为一条过焦点的直线与椭圆交点问题，根据图形，通过三角形相似，进一步转化为两点纵坐标关系，充分体现转化与化归、数形结合、方程等数学思想方法的重要作用；第三种方法——猜想验证，猜想点A可能位于比较特殊的位置，画出简图，猜想特殊点，然后检验满足条件即可.

【对教学的启示】从以上解构来看，高考考查知识点不偏不怪：①重点考基础，突出考查中学数学的主干知识；②在综合运用中考查能力，不断寻求知识间新的综合形式，圆锥曲线知识内部综合，与直线、三角形、圆等平面几何对象综合，与向量、不等式、数列等综合；③在新颖情境下考查.高考规避题型，力争在“个性化”的情境中考查.教与学重点在基础，对于中学数学的主干知识，要舍得花时间下力气，力避灌输、记忆型的方式，让学生体验知识产生、发展的过程，学会鲜活的知识，自己可以建立知识间的有机联系，不断在新的情境下运用知识解决问题，从而适应高考以及素质教育的需要.

解构视角三、求解过程涉及的主要知识、方法

这里所说的方法以通性通法为主，知识则是通性通法中的必需，是解题者根据自己的经验调用的.由附表1，客观题求解中，利用到双曲线（椭圆）定义4次，涉及中点坐标公式5次，勾股定理2次，三角形相似2次，两点间距离公式2次等；在技能上，解方程（组）是每题必考；解答题相对于客观题特色更加明显.由附表2，求解涉及知识点更多、应用更灵活，直线方程相关知识是每道题的必选项，五道题中涉及椭圆标准方程与性质5次，点到直线的距离公式4次，两点间距离公式4次，韦达定理3次，还有中点坐标公式、三角形面积公式、勾股定理、基本不等式等；方法上，代数法研究几何性质更是解析几何的根本大法，待定系数法突出，处理方程（组）的方法每题必需.当然，解答题的求解中数学思想方法的重要性更加明显，数学能力对解题质量的影响更加明显.

【实例3】（2013年第9题）如图1，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为（）.

图1

【解析】设问是求离心率，是双曲线的经典问题.根据题意，点A有“双重身份”：既在椭圆上又在双曲线上，根据定义有

|AF2|+|AF1|=4，①

|AF2|-|AF1|=2a.②

①+②，得|AF2|=2+a；①-②，得|AF1|=2-a.

根据定义解题自然而简捷，体现了高考重点考查基础知识、基本技能、突出通性通法的导向.

【对教学的启示】高考立意在能力，载体在知识，无知便无能.在解题过程中，除试题显示、要充分利用的知识外，解题过程中要引入、调动的知识都是最基本的、耳熟能详的定理、公式、性质等，能够根据题设背景，在知识储备中灵活引入需要的内容，这不仅需要解题者具备这些知识，还要组织良好、有应用意识；客观题中概念、性质的作用更明显，“概念、性质+简单计算”即可，要强化利用概念解题的意识，小题小做；解答题体现代数法这一研究几何性质的根本大法，应用试题给出条件外的知识更多、更灵活.

解构视角四、数学思想方法视角

由附表1，客观题中主要考查数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想，每道题都涉及数形结合思想与方程思想，10道题目中8道涉及转化与方程思想；由附表2，解答题在对数学思想方法的考查上，深度、广度都比客观题更加深入、广泛，转化与化归思想、数形结合思想是每题都有体现，函数与方程思想地位也很突出.

图2

（Ⅱ）求△ABP的面积取最大值时直线l的方程．

解析几何问题中“形”的问题转化为坐标（“数”）问题，坐标问题进而转化为方程问题，在不断转化与化归的过程中研究问题、解决问题.

（Ⅱ）求△ABP的面积最大值，需要转化为函数问题，是函数思想的重要应用，而问题本身并没有直接给出函数，考生需有化归为函数问题的意识，有产生函数的能力.进一步，求△ABP的面积涉及到两个量：底边与高，就是转化为求弦长|AB|与点直线AB的距离.而求弦长需要确定直线的斜率、截距，下面通过建立关于斜率、截距的方程求解.根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，舍去.故可设直线AB的方程为y=kx+m（m≠0），体现了分类讨论思想.

【对教学的启示】首先，要有全面的知识视野，把数学思想方法纳入知识的范畴，不仅仅着眼于概念、法则、公式、定理等“是什么”的知识，也要注重数学思想方法这类“如何做”的程序性知识；其次，理解数学思想方法考查的特点.高考对数学思想方法的考查贯穿于全卷，不同题型、不同位置的试题在考查思想方法类型与层次上明显有层次、有梯度，以基础知识为依托、以能力为目的，与通性通法相结合.当然，认识数学思想方法的特点，目的是讲究教与学的策略，提升数学思想方法教与学的水平.只在高三复习中“贴标签”，学生对思想方法的理解运用就不可能达到要求的层次.

解构视角五、数学能力考查

由附表2，圆锥曲线试题最突出的是考查运算能力，推理论证能力等.运算能力每道试题都重点考查，是试题立意的重要内容.这里运算能力的考查既要会“根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据”，更重要的是考查“能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径”.考生感觉解析几何难度大的原因基本上是两个方面：找不到途径、算不出结果，其中，算不出是最头疼的.

图3

【实例5】（2011年第21题）已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M.

（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线的方程.

【解析】第一步考查基本知识，是送分的模式；第二问则对运算能力提出了较高的要求.首先是如何根据问题的条件，“寻找与设计合理、简捷的运算途径”.求直线l的方程大致有如下一些“合理的途径”：①因为点M的坐标已知，设出直线l的斜率k，利用点斜式求直线的方程；②利用两点式，设出点P的坐标然后求解；③确定直线AB的斜率，然后确定待求斜率等等.然后再看“简捷性”.按途径①，解方程组求解点P的坐标，接下来切线方程形式将会繁琐无比，而求A，B两点的坐标、过两点的斜率计算量之大更是难以为继；按途径②，从点P坐标出发，由于两条切线的等价性，设出切线斜率即可，设P（x0，），A（x，），B（x，，由题意得x≠±1，x≠x.设过点P的圆C2的切线方程为y-x0=k（x-x0），即y-=k（x-x0），（*）则即（-1）k2+2x0（4-）k+（-4）2-1=0.

设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以将（*）代入y=x2得x2-kx+kx0-=0，由于点P的坐标是“已知”，一元二次方程已知一个根，另一个根可以表示出来，进而，过AB的直线的斜率就可以确定，利用两条直线的垂直关系，建立方程求解.x1=k1-x0，x2=k2-x0.所以=x1+x2=由MP⊥AB，得kAB·，解得故点P的坐标为所以直线l的方程为x+4.途径③表面上看起来有“路”走起来却无运算之“径”，只能作罢.

【对教学的启示】能力培养要目标正确、步骤扎实、长期坚持，没有捷径可走，比如运算求解能力，“根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据”需要的是公式熟练、计算准确、代数变形合理简捷等，需要在合适题材的基础上反复操作、比较、体验，要有一定量的基础性、针对性的练习；“能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径”则需要综合问题、新颖背景下尝试“寻找与设计”；无解、错解、多解、优解之后的反思优化，在无解处体验“合理”，在优解中体验“简捷”，熟练简化计算需要的常用手段，如设而不求、整体代换、同类可解等等.题不在多，理解则灵.学生只有熟练基本技能、充分体验寻求解题合理性、简捷性方案的基础上，才能逐步提高解决综合性问题的能力.

1.教育部考试中心.高考数学测量理论与实践［M］.北京：高等教育出版社，2005.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.曹凤山.从一道高考题看高考对运算能力的考查［J］.中学数学（上），2010（10）.

4.曹凤山.落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色——从数学思想方法考查的视角分析2012年浙江省高考数学试题［J］.中学数学教学参考（上），2012（11）.