心中存司南，笔下有圆方——新课标全国数学卷Ⅰ试题特点及应对策略

☉湖北省安陆市第一高级中学　伍海军

☉武汉市黄陂区第一中学盘龙校区　李红春

心中存司南，笔下有圆方——新课标全国数学卷Ⅰ试题特点及应对策略

☉湖北省安陆市第一高级中学伍海军

☉武汉市黄陂区第一中学盘龙校区李红春

自2016年起新课标全国数学卷Ⅰ使用省份扩大后，研究新课标全国数学卷Ⅰ成了当前高三老师的当务之急．本文就新课标全国数学卷Ⅰ特点及如何搞好高考数学复习备考，迅速由地方卷（以湖北卷为例）转变到全国卷Ⅰ，谈几点看法建议，供老师们参考．

一、新课标全国数学卷Ⅰ的由来

2007～2010年海南、宁夏两试验省份委托教育部考试中心命制课标卷（海南、宁夏卷），2011～2012年鉴于新增了吉林、黑龙江、山西、河南、新疆等试验省份而改称新课标全国卷，区别于还在试用过渡版大纲的大纲全国卷，2013年开始，又由于统一使用课标卷省份增多，中原三省（河南、河北、山西）开始使用新课标全国卷Ⅰ．

二、新课标全国数学卷Ⅰ的特点

1．小题大题考查情况分析

小题命题特点：集合、复数、算法框图、三视图、平面向量等必考，基本都属容易题；函数与导数（函数性质、导数几何意义）、立体几何（三视图和球）、解析几何、概率统计每年2题，数列和三角函数3题，不等式小题多考查线性规划．填空题没有多选形式．

大题位置相对固定：17题为数列和三角函数（二选一），18题和19题为概率和立体几何（两题的顺序时有互换），20题为解析几何，21题为函数与导数．考题内容相对稳定，数列常考等差、等比通项的求法，及求和方法的应用，常有简单的递推变换；三角函数常考解三角形（正、余弦定理和面积公式）；概率统计题以实际问题为背景，多与统计学知识结合，理科加考概率与数学期望，文科加考概率和统计的数据特征；立体几何有两问题，其中第一问线面关系的证明，偏重垂直少见平行，第二问文科偏重面积体积，理科偏重空间角和距离的计算；解析几何多为直线与椭圆、抛物线、圆等曲线的综合问题，第一问求曲线的方程，第二问中多考范围和最值，用常规方法求解，不大主张使用韦达定理，运算量不是很大；函数与导数题作为试卷的压轴题，主要考查导数的应用（研究单调性、最值和函数的形态），分类讨论，证明不等式等，思维难度较大．

2．模块考查情况分析

（1）不等式模块：一般会和其他知识结合，主要考查不等式性质、解法，线性规划等，较简单．

（2）函数与导数模块：试题个数逐渐稳定在2小1大，分值约为22分，小题一般都以函数与导数压轴，考查零点问题、不等式等知识，综合性较强；解答题一般以函数、导数、不等式综合问题压轴，主要考查不等式的证明、不等式恒成立、不等式有解等问题，综合考查运算求解、变形、抽象概括，推理论证等能力、也会涉及函数与方程、转化与化归等数学思想，难度较大．

例1（2014年高考新课标Ⅰ理）设函数f（x）＝aexlnx＋曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝e（x－ 1）＋2．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

课标卷研究的函数类型更丰富，高等数学初等化，强调与高等数学的衔接．单调性是函数的核心性质，是高考命题专家的“宠儿”；往往结合具体函数并强调和函数图像、性质的综合考查（多类比三角函数）函数的周期性；对于函数的对称性，突出对对称性概念的基本认识，一般类比二次、三次函数或者函数奇偶性，不深入探讨周期性、对称性、奇偶性之间的关系．

近几年基本上每年都会考查切线问题，通过切线研究曲线中的参数，强调解方程，特别要关注两个曲线公切线的问题．课标卷在海南、宁夏卷时期考查过定积分的几何意义，涉及简单计算，但近四年都没有设计定积分的相关问题，因此关于定积分的复习不建议拓展深化．导数工具性体现的是函数研究的思维深化，对于导数更强调在单调性基础上的图像特征，以及与之相关的方程与不等式问题，强调对特征值特征线的认识，综合性较强，文科函数与导数的解答题难度有向理科靠近的趋势．

（3）向量与三角模块：这两个模块如果有解答题，则会出现2～3个小题，如果没解答题则会有3～4个小题，一般所占分值为20～25分．三角模块小题主要考查三角函数的图像与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简，平面向量的基本性质与运算；大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托，考查三角函数化简求值，与实际测量有关的解三角形题．

图1

例2（2013年高考新课标Ⅰ（理））如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA

（4）数列模块：如果没有解答题，会有两个小题，如果有解答题，则为一个大题不出小题，一般所占分值为10～12分．小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题，在复习中建议及时调整方向，以免浪费时间；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列为主．

例3（2014新课标全国卷Ⅰ17题）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

（5）解析几何模块：一般为2小1大，占22分．小题主要考查直线与圆、圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助图形可求解；大题一般以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，常涉及多种圆锥曲线，如圆与椭圆、圆与抛物线，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查轨迹方程，探求有关曲线性质、参数范围、最值与定值、存在性等问题．

例4（2013年高考新课标卷Ⅰ）已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

（6）立体几何模块：一般为2小1大，占22分．小题一般侧重于线与线、线与面、面面的位置的关系以及空间几何体中的空间角、距离、面积、体积的计算与考查，解答题以平行、垂直、夹角、距离为考查目标，几何体以容易建立空间直角坐标系的四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主．三视图在全国卷的位置一般靠后，球方面的考查显得很重要，几乎每年都有一道．

（7）组合、概率统计模块：统计思想的呈现体现概率统计的应用性；文理差别较大，文科以必修3为基础，主要体现简单概率的计算和统计思想的应用，理科从样本统计出发，以排列组合为工具计算概率及分布列、期望和方差；案例分析（回归分析和独立性检验是文理都有可能考查的题型）；概率统计题型丰富，涉及抽样方法、两种概率（古典概型、几何概型）、概率中各种事件的关系（互斥、对立、独立、独立重复、条件概率）、各种图表的应用、典型分布列（尤其二项分布和超几何分布）、正态分布、用均值和方差比较产品优劣、案例分析等.

例5（2015高考新课标卷Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z= 0.2y-x，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（8）算法与推理模块：每年出现一个，程序框图主要是数列和函数的综合.

（9）集合与简易逻辑、复数模块：集合每年都考，主要考查集合的运算；简易逻辑主要考查命题的真假性判断，特称和存在命题以及充要条件，例如：

A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3

复数也几乎每年都考，主要考查化简能力，特别是2009，2010，2011三年都考了提取“i”可很快化简的技巧.

3.文理差异分析

试题文理差异有逐渐变大趋势，如2014年相同的题目只有理科第3题（文科第5题）、理科第7题（文科第9题）、理科第11题（文科第12题）、理科第14题（文科第4题）和三选一试题，理科19题和文科19题是姊妹题，而2013年文理科试题有7个题是相同的，有一道立体几何姊妹题，2012年文理科试题有7个题是相同的，却有三道大题为姊妹题.

三、全国卷Ⅰ与湖北卷考查内容的差别

全国卷有要求湖北卷未要求或低要求的主要考查内容：（1）反函数：全国卷有要求偶有考查，湖北卷未要求未考查；（2）分段函数：全国卷几乎每年必考，对函数分三段的有要求有考查，湖北卷对分段函数时有考查，对函数分三段的未要求未考查；（3）伸缩变换：全国卷有要求暂未考查过，湖北卷对此没有要求；（4）圆与方程：全国卷比湖北卷对此要求更高、考查更多；（5）抽样：新课标卷有要求“理解随机抽样的必要性和重要性”，曾考查过，湖北卷无此要求；（6）随机数：全国卷有要求“了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率”暂未考查，湖北卷对此无要求；（7）独立性检验：全国卷有要求“了解独立性检验的思想、方法及其初步应用”有考查，湖北卷对此无要求.

全国卷未考查或极少考查而湖北卷常有考查的主要考查内容：（1）柯西不等式：湖北卷常考查，全国卷未考查；（2）合情推理湖北卷每年考查，全国Ⅰ卷考查较少；（3）异面直线所成的角：湖北卷有要求有过几次考查，全国卷Ⅱ仅在2015年理科卷有一次考查；（4）事件的关系与运算：湖北卷有要求有考查，全国卷无要求未考查；（5）参数方程与普通方程：湖北卷对此比全国卷要求高且广泛；（6）函数模型与函数的实际应用、数学归纳法、几何概型等，湖北卷均有要求有考查，全国卷有要求未考查；（7）定积分：湖北卷有要求常有考查，全国卷仅见一次考查.特别需要指出的是全国卷与湖北卷在“概率统计”与“统计案例”方面，无论是命题风格还是考试要求都有较大的差异，备考时需要高度重视.

四、一二轮复习建议

1.一二轮复习顺序

高三数学复习应当打破教材的章节顺序，按数学的主干知识进行分块整合.建议一轮复习板块组合与先后顺序为：集合与常用逻辑用语（必修1，选修2-1），不等式（必修5），平面向量（必修4），函数与导数（必修1，选修2-2），数列（必修5），三角函数与三角变换（必修4，必修5），立体几何（必修2，选修2-1），平面解析几何（必修2，选修2-1），计数原理、概率与统计（必修3，选修2-3），复数（选修2-2），算法初步（必修3），推理与证明（选修2-2），选考内容（选修4的某些专题）.二轮复习板块组合与先后顺序为：函数与导数，数列与不等式，向量与几何，统计与概率，函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，转化与化归思想.

2.模块复习建议

从全国卷的函数（函数、三角函数、数列等）大量涉及函数恒成立问题来看，有必要做专门的梳理，强化类型（可求最值型、分离变量型、主客互换的一次函数二次函数型），加强对端点效应的研究；深入研究三个二次之间的关系，加强方程根的分布和方程有解问题的研究；在二次函数研究的基础之上，利用导数能够认识三次函数的形态（图像与对称中心）、零点、极值，最值；适当关注泰勒级数展开式等高等数学知识可以让我们更好地认识试题的来龙去脉，对于尖子学生，在学有余力的条件下适当补充一些大学选修内容也是可以的，这也是课改的趋势；文科函数与导数的解答题增大难度，难度上向理科靠近，文科应适当参考理科的导数题目，开拓学生的思路.

向量的学习和研究要上升到工具意识上面来，要加强向量运算对几何关系的作用，加强向量运算符号的几何含义的理解和把握.

全面梳理人教A版必修5中“解三角形应用举例”、章节习题中正余弦定理的应用模型，有条件的地方建议教师订阅苏教版教材并阅读相关章节，一般来说考虑选材的公平性，这部分内容的考题都会从教材选择.

解析几何大题的复习，建议理科以椭圆、抛物线综合题为主，文科以直线与圆为主，直线与椭圆为主；全面落实轨迹探求的方法（定义、直译、相关点、消参、交轨），文科不回避轨迹问题；特别关注抛物线的焦半径及其相关弦长的研究；加强与直线斜率相关的定点弦、定向弦以及定值定点问题的研究.

立体几何大题的复习，新课标全国卷理科数学中过多地使用向量解决，无疑剥夺了学生空间想象能力的培养，教师在立体几何教学一开始的时候，应该加强几何法的使用力度，让学生得到充分的锻炼.在命题时不妨多编制几个常规几何体的非常规放法的三视图问题，必要时还可以让学生命题，以提高他们的熟悉度和灵活度，后期要注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化.由于文科没有空间向量，所以第一问多以证明平行和垂直为主，特别是证明垂直，如2011年第一问证明线面垂直，2012年第一问证明面面垂直，2013年第一问证明异面直线垂直，2014年第一问证明异面直线垂直，2015年第一问证明面面垂直等；第二问基本上是计算几何体的表面积或体积等，如2012年计算体积比，2013年计算体积，2014年求三棱柱的高，2015年求表面积，少有涉及线面角和二面角.

3.新增内容与选考处理

重视“新增”内容，不忘“边缘”考点.新增内容：如函数与方程，算法初步，几何概型，条件概率，正态分布，统计案例，三视图，全称量词与特称量词，理科的定积分等.据近年对试题的统计，新增内容在量的方面逐年增加，在命题的难度和变化方面也有所加强.另外一个值得注意的倾向是，对于看起来“淡化”或“弱化”的“边缘”考点考查得较为频繁，如2010年课标全国卷Ⅰ文理科第19题均考查了“独立性检验”，2014年课标全国卷Ⅰ理科第18题考查了“正态分布”，课标全国卷Ⅱ理科第19题考查了“线性回归方程”等，2015年课标全国卷Ⅰ文理科第19题均考查了“回归方程”.

选考内容可以选定两个模块为主进行复习，第一轮应加强对坐标系与参数方程的训练与倾向性引导.考场上不宜把三道选考题都阅读一遍再比较，应根据复习备考时准备的两个模块，浏览这两个模块试题后选定一题作答.考生在模考训练时注意养成先考虑解答前三大题，接着解答选考的三选一大题，然后再解答第四、第五大题，这对合理把握考试时间，有效得分是十分重要的.