利用向量求解二面角大小

邓虹

目前，立体几何中学习的空间角有线线角、线面角、面面角，其中面面角又叫二面角，是高中立体几何中的重点和难点，常常出现在高考的解答题中，难度属于中等题。它的解法可以使用传统的几何方法（如定义法、三垂线定理法、垂面法、射影法等），但是这些解法在思维上难度都太大，往往思路明确，算无结果。

我们知道，向量是连接几何与代数的桥梁，我们可以利用向量的方法把几何问题转化为代数问题，利用代数运算算出最终结果。这样减少了思维按照一类方法计算下去，很多学生特别是中等生容易接受。

下面我将从空间向量方法的角度，谈谈怎样利用空间向量求二面角。

二面角的文字语言：在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

二面角图形语言：

二面角符号语言：α，β是两个半平面，m，n是两条直线，α∩β=l，m？奂α，n？奂β，m⊥l，n⊥l，且m∩l=D，n∩l=D，那么角θ叫α-l-β二面角，也是二面角的平面角。

综上求二面角，就是求α-l-β二面角的平面角。

用向量法求二面角的步骤：

（1）建立空间直角坐标系，在坐标系内设点；

（2）求平面α的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面β的法向量为n2=（x2，y2，z2）；

（3）求n1和n2的法向量的夹角的余弦值

（4）根据题目观察，结合cos的值得出二面角θ的大小。

在这里需要注意的是：

因为平面的法向量的方向问题如图1和图2，容易知道在图1中二面角θ的大小与Φ互补，在图2中二面角θ的大小与Φ相等。

往往在实际解决问题时，题目会让你求出锐二面角的角度或者余弦值。在实际中我们是要学生学会求二面角的方法，对于是钝角还是锐角也没有严格的要求。

下面我将用高考试题把求二面角的步骤应用一遍：

例题：如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C。

（Ⅰ）证明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解：（Ⅰ）略

解决本题的关键主要有以下几点：一是要建立空间直角坐标系，尽量把尽可能多的点放到坐标轴或坐标平面上，这样有利于找点和后面的计算；二是法向量是非零向量，它是用不定方程组求出来的，解有无数组，找出最简单的一组就好，一般是令x=1；三是二面角的大小有时是钝角，有时是锐角，这要根据具体的题目来分析，观察法也是个好方法。

求解二面角大小是高考中经常出现的题型，而用向量的方法求解也是我们常用的方法，要求学生有很强的计算能力和空间想象能力，平时教师就应该要求学生把计算进行到底，要用快速的计算来弥补思维的不足。

（作者单位：福建省沙县金沙高级中学）