政府对企业最优控制的数学模型及策略分析

王昭海

(安康学院 数学与统计学院， 陕西 安康 725000)



政府对企业最优控制的数学模型及策略分析

王昭海

(安康学院 数学与统计学院， 陕西 安康 725000)

政府对企业在不同情况下的控制策略,包括企业为政府所有时的最优生产策略,以及企业为个体私有时的最优税收政策和税率。考虑了一个污染型的生产企业,当该企业为地方政府所有时,通过最优模型,推导出地方政府的最优生产策略；而当该企业为个体私人所有时,推导出政府的最优税收政策,使社会的经济效益最大化。

环境污染；最优控制策略；最优税收策略；最优生产策略

伴随社会进步和经济发展的一个主要问题是环境污染。因此,在经济发展中怎样既能使经济高速发展又能较好地保护环境是许多国家研究的一个重要课题。对于这个问题,很多经济学家都进行了大量的研究。Baumol对税收与环境外部性的控制进行了研究；Raymond和Kawaguchi把环境因素考虑到企业研究策略中。环境污染不是市场体系之内的原因,因为环境污染不在市场体系内,所以市场机制就不能去解决。 因此,由环境污染造成的社会成本就不能在市场经济发展过程中自行弥补和有效转移。本文通过对一个有生产污染的地方性出口垄断企业,在企业性质不同情况下从理论上推导出最优控制策略，并讨论了在普通情况下的柔性分析及最优控制策略。

一、最优控制策略的数学模型介绍

其中λ为正常数,代表自然界对污染的净化率,那么λM表示t时刻的自然界净化污染量,E是企业生产产品的时候带来的污染量,这一定和企业生产产品的数量有联系,生产产品越多，污染越大。γ是正常数,可以理解为每生产一个产品企业产生的污染量。可以推导出：

为了将问题直观化,把一些指标量化,先引入污染危害函数B(θ,M),即可以理解为污染存量是M的时候,给居民带来福利的损失是B(θ,M),这里θ可以看成居民兴趣、爱好或技术变化等因素,简单起见设θ为常数。假设B(θ,M)=-θM,这样我们就可以简单地计算社会福利：社会福利=企业利润-居民的损失。要求社会福利最大化问题的模型：

(1)

二、企业为政府所有时的最优控制策略

企业为政府所有,也就是说政府可以控制企业的产量,从而控制企业排出的污染量以及企业的利润,使社会福利最大化。

接下来我们先考虑(1),根据哈密特函数：

H=((a-c)-by2-θM)+μ(γy-λM)

(2)

(3)

(4)

(5)

三、企业为个体所有时的最优控制策略

企业为个体所有时,也就是说生产的决策由个体决定,政府只能通过相关政策来引导企业合理管理生产产量,这里主要考虑的是政府采用不同的税收政策对企业进行限制。对企业进行征税,有很多种方式,比如对企业的收入进行征税,按企业生产产品时的排污量征税。

(一)当政府对企业的收入进行征税时的最优控制策略

(二)当政府对排污量进行征税时的最优控制策略

对企业排出的污染量进行征税,其实也可以看作是按企业生产的产品数量进行征税。假设对企业生产一个产品排放出来的污染所收取的平均费用是τ,那么生产y个产品时当然就是τy了,也就是可以看成税量。此时,企业的最大利润是：

四、普通情况下的柔性分析及最优控制策略

前面我们讨论的时候一直是假定θ值是一个常数,θ可以看成人们的兴趣、爱好或技术的变化等因素,其实更合理的说法是θ服从几何布朗运动：dθ=αθdt+σθdz,

此时我们只将θ当成常数看待,其他条件不变。我们只考虑企业为政府所有时的情况。政府的决策还是要追求社会福利的最大化,即：

(6)

(7)

(8)

由(7)和(8)解出：

当r>2α+σ2时,有A1<0,B2>0；当r<2α+σ2时,有A1>0,B2<0。

(9)

(10)

本文考虑了政府在不同情况下的最优控制策略,包括企业为政府所有时的最优生产策略,以及企业为个体私有时的最优税收政策,得出了具体结论。最后还考虑了普通情况下的柔性分析及最优控制策略。

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(责任编辑：高士荣)

Mathematical Model and Strategy Analysis of Govermental Optimal Control of Enterprises

WANGZhao-hai

(School of Mathematics and Statistics, Ankang University, Ankang 725000, China)

Government usually takes different controling policies according to the character of the enterprise, that’s optimal production strategy over the state-owned and optimal tax policy and tax rate over the private. When it comes to a polluting enterprise, the former will be imposed on one owned by a local government for the sake of the optimality model, the latter on one owned privately for the sake of the maximisation of economic efficiency.

environment pollution;optimal control;optimal strategy;tax revenue;optimal production strategy

2016-03-28

陕西省教育厅科研计划项目(15JK1012)

王昭海(1966-)，男， 陕西安康人，安康学院数学与统计学院副教授，研究方向为模糊数学和非经典数理逻辑。

F224

A

1672-2817(2016)05-0048-04