极限思想在高中物理学习中的应用

单蕾+戴军

极限原本是数学中的一个名词，顾名思义，就是把一个数值无限放大或缩小，也可能是无限接近于某一个值.极限法在进行某些物理过程的分析时，其基本步骤是，解题者可以将某个量进行无限增大与缩小，通过这个极限得到一个结论，然后通过该结论反推原题.介于它的高效性，恰当应用极限法能够避免复杂计算，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确，提高解题效率.

一、极限思想在物理概念理解中的应用

高中物理概念是非常多的，在理解这些概念的时候往往不容易把握，但是如果渗透极限的思想，将会事半功倍.

例1对电子轨道能量的理解

，如图1所示是玻尔理论的能级图，学生对于这样的问题往往产生一个疑问，既然是能级，能量值为什么是负值？而且电子作为实物粒子本身就在运动，它是具有动能的.

解析对于玻尔能级，电子位于无穷远处时，系统的总能量为零.当电子从无穷远处向靠近核的能级跃迁时，核对电子的引力（电场力）做正功，电势能Ep=-kQer减小.但电子的动能EK=mv22=kQe2r（库仑力充当向心力，mv2r=kQer2）增大.波尔理论认为：电子向靠近核的轨道跃迁时，总能量减小，减小的能量以光子的形式辐射出去；电子吸收能量后向远离核的轨道跃迁，总能量增大.应用极限的思想就很容易说清楚——取无穷远处为零势能参考面，那么库伦力做正功，电势能减小，自然是负的，而且这个负值比电子动能要大，学生就很容易理解了.

拓展一将该问题进行拓展，就可以很好地解释天体运动中天体引力势能为负值的问题——取无穷远（极限）为参考面，万有引力做正功，引力势能减小，所以天体的引力势能为负.

拓展二对分子势能的理解

例2如图2所示，甲分子固定在坐标原点O，乙分子沿x轴运动，两分子间的分子势能Ep与两分子间距离的变化关系如图中曲线所示.图中分子势能的最小值为-E0.若两分子所具有的总能量为0，则下列说法中正确的是

解析首先对于图象，x2位置是分子势能最小处，但是其值也是取无穷远为0这个极限之后才确定的.因此就很好地说明了为什么分子势能有一部分为负值，而且最后是无限趋近于0的.分子处于r0位置时所受分子合力为零，加速度为零，此时分子势能最小，分子的动能最大，总能量保持不变，由题图可知x2位置即是r0位置，此时加速度为零，A错.x=x2位置，势能为-E0，则动能为E0，B项正确.在Q点，Ep=0但分子力不为零，分子并非处于平衡状态，C项错.在乙分子沿x轴向甲分子靠近的过程中，分子势能先减小后增大，分子动能先增大后减小，即分子速度先增大后减小，到Q点分子速度刚好减为零，此时由于分子斥力作用，乙分子再远离甲分子沿原路返回，即乙分子运动的范围为x≥x1，D项正确.

二、极限思想在运动问题中的应用

极限思想在解决复杂问题过程中可以大大减少计算量，甚至免于计算.而且将某些物理量无限放大和缩小之后会增加解题的趣味性.例如，常见的追及相遇问题就变得容易理解，后面车减速追击前面匀速或者加速车，当后面车的速度已经小到和前面车速度一样这个极限时，依旧没有追上，那么后车就没有机会追上前车了——于是我们得出了追及问题的临界状态就是二车速度相等的状态.

例3从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？

解析一当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远.以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vy = v0tanθ = gt ，解得运动时间为

解得小球离开斜面的最大距离为：

H =v202gtanθ·sinθ

解析二采用极限的思想，首先引导学生弄清楚何时有离开斜面的最大距离——小球的运动只有垂直斜面的分量决定离开还是靠近斜面，而斜面平行的分量则与此无关.因此这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便：

只需将初速度v0的垂直斜面分量v0sinθ分解出来，这个方向上小球做匀减速直线运动；

然后将该方向的加速度分a=gcosθ

分解出来代入公式的2aH=（v0sinθ）2

解得最大距离H=v202gtanθ·sinθ与解析一一致.

三、极限问题在平衡问题中的应用

极限在平衡问题中往往代表的是一个临界状态，而临界状态恰恰是解决问题的关键.

例4如图4所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC =38R， 半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数μ=0.2，求无滑动时物体离球心O点最大距离是多少？

解析设物体距球心为x时恰好无滑动，以和地面接触点为轴，根据平衡条件有：

G·3R8sinθ =G8·xcosθ

得到：x = 3Rtanθ

可见，x随θ增大而增大.临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：

tanθm =fmN= μ = 0.2，

所以 x = 3μR = 0.6R .

综上所述，极限思想在解题中应用的目的在于将普通特殊化，然后由特殊的结论反推普遍情况，在解决一个量随另一个量变化等问题中有着显著的优势.极限思维的应用也能够使学生对知识理解更加便捷，节省许多计算以及记忆时间，从而大大提高解题效率.极限法的范畴很广，高中物理的极限法除了可以应用在学习过程中还可以在教学过程中使用，从而提高教与学的效率.