一道高考题引出圆锥曲线的三个美妙结论

武增明

2014年高考辽宁卷文15理15：已知椭圆C：x29+y24=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=.

最近，笔者在研究此题时，由此题发现如下圆锥曲线的三个美妙结论.

结论1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=4a.

证明设椭圆C的焦点分别为F1，F2，如图1.因为F1，F2分别为MA，MB的中点，设MN的中点为P，连接PF1，PF2，则由椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a.

又PF1，PF2分别是△MAN与△MBN的中位线，故|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=4a.

结论2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|-|BN|=4a.

证明设双曲线C的焦点分别为F1，F2，如图2.因为F1，F2分别为MA，MB的中点，设MN的中点为P，连接PF1，PF2，则由双曲线的定义.有|PF1|-|PF2|=2a.又PF1，PF2分别是△MAN与△MBN的中位线，故|AN|-|BN|=2|PF1|-2|PF2|=4a.

结论3已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为D.点M与点F不重合，若M关于点D，F的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|的最小值是2p.

证明设MN的中点为E，连接ED，EF，如图3.

因为|AN|+|BN|=2|ED|+2|EF|=2（|ED|+|EF|）

≥2|DF|（当且仅当M点与原点O重合时等号成立）

=2p，

所以|AN|+|BN|的最小值是2p.

分线性质以及正弦定理，对能力要求较强.

（Ⅱ）解法一sinB=sin（60°+C）（性质2），

又sinBsinC=12，化简可得cosC=0.

评注此处用到∠B和（∠A +∠C）互补这一隐含条件，还必须用到（性质2）的结论，这是解题的关键，否则无法往下进行.

又∠C是三角形的内角，所以∠C=90°，故∠B=30°.

解法二sinC=sin（60°+B） （性质2），

化简可得sinC=32cosB+12sinB.

又sinBsinC=12，所以 2sinB=32cosB+12sinB.

化简得tanB=33，所以∠B=30°.

评注此法思路同“法一”，区别是直接得出∠B，所以∠C=90°.此处还可选择多种方法，但仔细思考观察可发现三边恰好构成直角三角形，从而使问题简化，故∠B=30°.

上述解法对知识的综合能力以及知识的积累要求较强，要灵活应用相关性质和结论使问题更简单.