2道高考题的共同背景和命题思路*

●余建国

(大厂高级中学 江苏南京 210044)



2道高考题的共同背景和命题思路*

●余建国

(大厂高级中学 江苏南京 210044)

源自课本的一个函数不等式，反映了指数(对数)函数与多项式函数的大小关系，它有很多的变形和拓展．循此思路，若干高考函数压轴题就是在指数(对数)函数的泰勒展开式的基础上“截取”多项式函数，并与其他有理函数组合，融入参数，将问题“倒过来”设问，编制而成．

数学高考；函数压轴题；泰勒展开；命题思路

每年的高考压轴题，我们在惊叹考题设计之精巧、解答之天衣无缝的同时往往很想知道“这些题从哪来,如何构造出这么精准的函数”.怀揣好奇之心，笔者对2015年的2道高考题仔细研究，发现原来如此！

例1 已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，k∈R．

1)证明：当x>0时，f(x)

2)证明：当k<1时，存在x0>0，使得对任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；

3)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有|f(x)-g(x)|

(2015年福建省数学高考理科试题第20题)

1 初步分析

第1)小题就是证明不等式：当x>0时，ln(1+x)1时，lnx1时，x0时，x+1

在图2中，将函数y=ln(1+x)在原点处的切线y=x绕原点旋转,于是当直线l：y=kx的斜率k∈(0，1)时，l必与函数y=ln(1+x)的图像在第一象限有一个交点(x0，f(x0))，因而当x∈(0，x0)时，根据图像位置关系恒有f(x)>g(x)(如图3所示)．而当k≤0时，因为x∈(0，+∞)，所以f(x)>0，g(x)<0，f(x)>g(x)，x0的存在性是显然的，x0可以是任意正数．这样，第2)小题就“命题”成功了．

图1 图2 图3

2 高数背景

如果说第1)，2)小题还能从初等数学背景“还原”命题思路，那么第3)小题是如何产生的呢？我们不妨从《数学分析》中找一找：函数f(x)在x=0处的泰勒展开式为

(1)

因此，函数f(x)=ln(1+x)在x=0处的泰勒展开式为

(2)

或者用拉格朗日余项形式写成

其中0<θ<1，于是不等式|f(x)-g(x)|

由于0<θ<1，0

图4 图5

而当k=1时，由x>ln(1+x)，可令

m(x)=x-ln(1+x)-x2=

因为0<θ<1，当x∈(0，+∞)时，m(x)<0，即

x-ln(1+x)

经过“参数化”，即|kx-ln(1+x)|

3 自由组合

至此，第3)小题的命题思路已十分清楚：先将超越函数ex，lnx等用泰勒公式展开，这样就能“截取”多项式函数，并与其他有理函数组合；然后融入参数，并将问题“倒过来”编制．仿此思路，也来命制一题．

背景 函数f(x)=ln(1-x)在x=0处的泰勒展开式为

(3)

式(2)-式(3)，得

当0

基于这个背景，仿例1的思路，现在我们也可以“成功”地编制出以下高考试题：

1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2015年北京市数学高考理科试题第18题)

高考题并不神秘！作为一线教师，要摒弃题海战术，真正理解数学，在整个数学的历史长河中摸清经典试题的背景和来龙去脉，引导学生理解数学、解决问题，这样的复习对高考才是有效的．

[1] 单墫．普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-2)[M]．南京：江苏教育出版社，2012.

[2] 毛丽娜，魏定波．一个指数函数不等式 五道高考数学压轴题[J]．福建中学数学，2014(1/2)：74-76.

[3] 陈传璋．数学分析(上) [M]．北京：人民教育出版社，1979．

�2015-09-01；

2015-09-29.

余建国(1965-)，男，江苏南京人，中学高级教师，研究方向：高中数学解题与课堂教学.

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1003-6407(2016)03-49-02