数学高考中的化归与转化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中学 浙江杭州 310000)



数学高考中的化归与转化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中学 浙江杭州 310000)

化归与转化是高中数学重要思想方法之一，掌握好化归与转化的思想方法的特点，对我们学习数学是非常有帮助的.从熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、特殊化原则、和谐化原则出发，笔者例谈化归与转化思想在高中数学应用中所涉及的基本类型的解题策略.

高中数学;化归与转化;解题

1 知识内容

化归与转化是高中数学的重要思想方法之一，它是学生学习了基础知识之后解决综合问题的重要途径，是处理复杂问题方法的精髓，是知识转化为能力的桥梁.所谓化归与转化的思想，是指在研究和解决数学问题时，把研究对象通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个或者几个相对较容易的问题加以解决.转化和化归的特点是通过不断转化实现问题的熟悉化、简单化、直观化、特殊化等，以便应用已知的知识和方法达到问题的有效解决.其一般模式如图1所示：

图1

中学数学问题解决的过程中到处体现着化归与转化的思想，它是问题解决过程中最活跃、最重要的一个环节.化归与转化既可以从陌生向熟悉转化、抽象向具体转化、正与反相互转化，也可以从函数与方程的转化、数与形的转化中去寻求有利于问题解决的途径和方法，促进问题的有效解决.

2 命题分析

目前的数学高考命题重视对学生能力的考查，作为高中重要数学思想方法之一的化归与转化，在近几年的高考试卷中得到了较好的体现.学生对于陌生问题的恐惧源于在解决具体问题中不能够灵活应用转化思想，不能从纷繁复杂的外表中发现其数学本质.化归与转化的思想及方法已渗透到每一个数学内容和解题过程中,其方法多种多样，但目标是一致的：将复杂问题变得简单、熟悉，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之路.下面笔者结合近几年的部分高考题和各地市模拟题为例，谈谈化归与转化的思想方法应遵循的原则.

3 典题剖析

3.1 熟悉化原则

许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、经验来解决.在具体的解题过程中，通常是借鉴熟悉的背景知识和模型，在已知和未知之间寻找转化的桥梁.

例1 如图2，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省数学高考理科试题第13题)

图2 图3

图4

转化3 (几何图形模型化)注意到此三棱锥的3组对边两两相等，就可以将此三棱锥放入长方体内，构造长方体模型(如图4所示)，则该问题便成为学生所熟知的问题.

点评 立体几何空间角的基本处理方法是通过转化为平面角实现的，源于空间向量的自由移动，因此几何问题向量化也成为解决立体几何空间角问题的主要处理途径.当然对于立体几何问题，常通过研究几个熟悉的基本模型，如长方体、正四面体等来理清空间线面的位置关系.

3.2 简单化原则

通过一定形式的变形转换，将复杂的问题化归为我们所熟悉的简单问题，通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的，或者获得某种解决问题的启示.这里的简单，既指问题的处理过程方法比较简单，也指解决问题的方案通过转化变得比较简单.

由此可知2个函数图像的对称轴也存在相应的数量关系.

3.3 直观化原则

把抽象的问题转化为具体的问题.数学的特点之一便是它具有抽象性.有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助图形等直观手段来表达，使得复杂的问题变得比较容易解决.

(2015年浙江省数学高考理科试题第15题)

转化1 从代数角度看最值，应用函数的观点，通过配方解决问题.

令t=xe1+ye2,则

t2=(xe1+ye2)2=x2+xy+y2,

从而 |b-(xe1+ye2)|2=

|b-t|2=b2-2b·t+t2=

b2-4x-5y+x2+xy+y2=

b2-7=1,

即

此时

此处代数式的配方对学生代数式的转化提出了很高的要求，学生不一定能够顺利突破.而解决问题的关键是对向量表达式

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=

1(其中x0,y0∈R)

的认识和转化，该式意味着向量b所对应的点B与由e1,e2所构成的平面内的点之间的最短距离为1.如何处理这个距离，可以有几何、向量等不同的转化方式.

图5 图6

点评 看似复杂的问题，若能挖掘出代数式的几何背景，理解数量积的几何意义，把数量关系转化为图形位置关系，则可使问题由抽象变为直观，使隐含的关系显露出来，起到事半功倍的效果.正所谓看得越透彻，解法越快捷，联想越丰富，思路越奇妙！

3.4 特殊化原则

通过考察问题的极端元素，灵活地借助特殊问题解题，避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度.

分析 此题从条件“ak-(ak+1+ak+2)仍是该数列中的某一项”看，可以建立一般关系1-q-q2=qm，显然从此方程中要解出2个未知数，学生往往束手无策，因此可以转换角度，尝试特殊化处理，从m=1,2,3中去思考取舍，并尝试着解决当m≥4的情况，最后从等式2边的取值范围上寻找突破．

取m=3，则

1-(q+q2)=q3.

点评 带有一般性的数学问题，往往可以通过由“一般”状态转化为“特殊(极限)”情形来处理，可使抽象问题具体化、复杂问题简单化.特殊化原则的本质既是有限与无限的转化，也是特殊与一般的转化，还体现了用静止的观点处理运动中问题的一种转化思想.

3.5 和谐化原则

其实很多复杂问题的化归与转化都是对以上各种转化原则的综合应用，对同一个问题基于不同角度的认识可以有各种不同的转化，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，以及问题所需要的各种外部形态，使其推演更加符合我们的思维规律.

(2015年浙江省数学高考理科试题第20题)

转化3an+1=an(1-an)=an-1(1-an-1)(1-an)…=a1(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)，利用迭代可以判断an的符号.

转化5 由an+1=an(1-an)，得

从而

由第1)小题的结论可知

从而

于是实现目标的证明.

点评 以上所有转化都构成解决问题的关键，这些转化是基于对同一个代数式结构的不同看法所引起的.在平时的教学中，教师要重视这些基本转化的训练，强调一道题目的多种解法，教会学生学会观察，对同一个代数式尝试从不同角度形成不同的认识，以拓宽学生的视野，同时加强思维深刻性的培养.

数学中的转化比比皆是，其实质都是揭示内在联系实现转化.除极其简单的数学问题外，几乎每个数学问题的解决都是通过转化为已知问题的解决实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程，当然在实施转化的过程中还应注意转化中的等价性，这是正确解决问题的必要保证.

4 精题集萃

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

2．设a，b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是

( )

参 考 答 案

u2+au+(b-2)=0,

(1)

从而a2+b2=a2+[(2-u2)-au]2=

(1+u2)a2-2u(2-u2)a+(2-u2)2=

令t=u2+1≥5，则

此时u=±2,从而

�2015-12-15；

2016-01-17.

詹爽姿(1979-)，女，浙江杭州人，中学一级教师，研究方向：数学教育.

O12

A

1003-6407(2016)03-41-05