基于系统观理念下的周期函数概念教学设计*

●任伟芳 ●桑红迪

(鄞州教育局教研室 浙江宁波 315100) (姜山中学 浙江宁波 315100)



基于系统观理念下的周期函数概念教学设计*

●任伟芳 ●桑红迪

(鄞州教育局教研室 浙江宁波 315100) (姜山中学 浙江宁波 315100)

概念教学要在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目，要从系统的高度设计学生参与揭示概念本来面目的教学活动，从整体、层次和联系中寻找要素，并与相关概念构成“概念域”，达到学生对概念本质特征的自然建构，从而培养学生的创新精神和实践能力.

系统理念；周期函数；概念教学；创新能力

近期，浙江省宁波市教研室组织了一次展示课教研活动，内容取材于人教A版《数学(必修4)》“1.4.2正弦函数、余弦函数的性质”第1课时.笔者运用系统观中的整体性原则、层次性原则、联系性原则等理念设计周期函数概念教学,使这节课的结构框架能够在宏观上取得与整个知识体系较为一致的逻辑连贯性,从而减少学生知识构建的歧义和差异.由于教学设计立意高、系统性强，因此受到参会教师的一致好评.采用系统观指导下设计概念课是概念教学中的一次新尝试，愿与大家共同探讨.

1 课堂简录

1.1 创设情境，引入新课

(播放视频)不知细叶谁裁出，二月春风似剪刀；首夏犹青和，芳草亦为歌；自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春潮；隆冬到来时，百花即已绝.

师：四季轮回，周而复始；春夏秋冬，生生不息.每个季节都有属于自己的美丽，“春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪”，只要我们用心去欣赏品味，岁月无时不溢彩，四季无时不流韵.像这样以相同的间隔而重复出现的规律，即“周而复始”的规律，反映的是什么现象？

生1：四季轮回是周期现象.

师：在生活中、自然界中、学科领域中还有周期现象吗？

生2：日出日落、月圆月缺、潮起潮落、国际传统节日、人的属相、物理中的简谐运动.

点评 创设生动有趣的周而复始现象情境是系统观下联系性的体现，生活与数学是相互联系的，包括横向联系和纵向联系，这种联系性构成了系统赖以存在和发展的结构体系.深入洞悉教材编写意图的联系性，便会对教学有更深刻的理解.周而复始现象体现在生活中的方方面面，数学中也普遍存在，三角函数只是一种显性代表而已.利用周而复始现象的情境引入，能引导学生摆脱周期函数认识中的局限，认同周而复始现象是一种迭代思想，有助于周期函数知识的拓展和运用.

1.2 数形结合，初探概念

问题1 在我们所学过的函数中，有没有具有“周而复始”变化规律的函数呢？

生3：正弦函数.

师(几何画板展示图1)：函数图像的特点如何？

图1

生4：函数图像出现“周而复始”变化规律.

师：函数解析式有何特点？

生5：“周而复始”变化规律的代数刻画：从诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(其中k∈Z)可知，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.

问题2 数学上用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.对于任意的函数怎样定义周期函数呢？

生6：对于一个函数，自变量每增加一个不为0的定值，函数值重复出现，那么这个函数叫做周期函数.例如正弦函数就是周期函数.

师(追问)：能否用数学符号表示？

(可以类比正弦函数，引导学生把sinx记作f(x)，把2kπ记作T.师生一起总结周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.)

师：以前我们学习了函数哪些性质？

生7：函数的单调性和奇偶性.

师：函数周期性的定义与函数的单调性、奇偶性定义有什么区别和联系？

(先分组讨论，然后各组代表发言，最后教师总结他们的区别与联系.)

点评 问题1利用几何画板直观形象地给出函数的图像特点，利用数形结合进行代数刻画.问题2遵循由特殊到一般的认知规律，逐步对函数值重复出现这一现象加深认识，最后上升到理论高度，观察归纳出周期函数的概念.通过感知数学现象，提升数学认识，培养学生的分析、抽象和概括的能力.

1.3 小组合作，深究概念

角度1 咬文嚼字

师：为什么要取非零常数？

生8：f(x+0)=f(x)，所有函数具有周期性，也就没有讨论和研究的意义了.

师：为什么x取定义域内的每一个值？

角度2 刨根问底

师：周期函数对定义域有什么要求？例如：y=sinx(其中x∈[0,2π])是周期函数吗？

生10：可以从图像观察，它不是周期函数.若x是定义域内的一个值，则x+T(其中T≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域是无界的.

师：周期函数的周期是否唯一？请你求出正弦函数的周期是多少？

生11：2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2kπ(其中k∈Z,k≠0)都是它的周期.f(x+2T)=f(x+T)=f(x)=…，kT(其中k≠0)是它的周期.

师：如果从所有的周期中选定一个作为代表，你会选谁呢？

生12：最小的一个正周期.

生13：对于常数函数f(x)=c(其中c为常数)，所有非零实数都是它的周期，而最小正周期是不存在的，因此常数函数没有最小正周期.

角度3 欣赏经典

师：正弦函数、余弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？

生14：2kπ(其中k∈Z,k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.

师：正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律，图像不仅周而复始，而且波浪起伏.“君看一叶舟，出没风波里”(范仲淹《江上渔者》)来描述正弦函数、余弦函数的图像是最恰当不过了.正弦函数图像重复对称，不是平稳向前，而是有起有伏，就像我们的人生道路，起起伏伏，今天我们感受了这种变化，明天就会有良好的心态把控我们的人生.比喻人生，高峰时不要得意忘形，低谷时不要灰心丧气.人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全.

点评 探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的，也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的趣味感，发展学生的创造性思维.本环节从不同维度对周期函数的定义进行剖析，进一步加深学生对周期函数概念的认识，同时也教给学生可以从不同的角度观察身边事物的方法.用正弦函数图像比喻人生起起伏伏、高峰低谷的教学设计为下节课研究三角函数奇偶性、单调性和最值的教学打下了伏笔.

1.4 编题交流，巩固概念

虽然财务会计与管理会计的结合已成为必然，但是这个结合是一个漫长的过程，需要依靠健全的工作机制。对此，要想促进财务会计与管理会计的有效融合，企业应当结合实际，构建完善的工作机制，为财务会计与管理会计的结合提供支持。首先，立足财务会计与管理会计之间的联系与区别，健全管理制度，对财务会计与管理进行有效的管理；其次，落实责任制，明确财务会计人员的职责和权利，确保相关工作有序开展；再者，要落实监督机制，地财务会计与管理会计工作进行全面的监督，确保企业资源能够高效利用，保证财务会计信息真实、可靠。

问题3 请以正弦函数、余弦函数为原型，编拟类似的函数，要求编完题后同桌交换，并求它们的周期.

经过3分钟的学生讨论，把全班编的题归为以下4种类型：

1)y=3cosx,x∈R；

2)y=sin2x,x∈R；

4)y=|sinx|,x∈R.

合作交流共同探究解答上述函数的周期性.

师：请从以上的解答过程中归纳函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω>0)的周期与解析式中哪些量有关？

师：求函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的周期一般有几种方法？

生15：定义法、公式法、图像法.

点评 本环节充分调动了学生的积极性，引导学生参与自主编题、解题，培养学生的创造性思维和合作精神，打造高效课堂.

1.5 归纳小结，知识升华

师：请同学们思考以下3个问题：

1)本节课你学习了哪些内容？函数周期概念与以前学过的哪些概念有关联？

2)本节课学习过程中运用了哪些数学思想方法？

3)在概括和运用周期函数概念的过程中你的体会如何？

(先分组讨论，然后各组代表发言，最后教师小结.)

点评 采用问题启发式进行课堂小结，充分体现了“以生为本”的教学理念.问题1)是为了加深学生对所学周期函数概念的理解，把函数周期性与单调性、奇偶性等放在一起进行比较，使函数周期纳入学生知识结构的概念系统中；问题2)是帮助学生养成归纳总结知识的良好习惯，在学习过程中不但要掌握知识、运用知识、提升能力，还要重视数学思想方法的运用；问题3)的作用是增强学生数学学习的自信心，鼓励学生对自己思维的合理性进行主动、自觉地判断，及时调整自己的思维过程，从而培养学生自我监控的能力.

2 课后反思

以系统观理念下的周期函数概念教学需要体现构建逻辑连贯的概念形成过程，通过课堂教学实践至少有以下3个方面值得反思.

2.1 重视知识的整体性

本节课学生的认知冲突是如何刻画和量化“周而复始”的变化规律，这就要探究组成系统的各个要素及其相互关系.从三角函数知识体系来看：系统的要素有用单位圆定义任意角三角函数、三角函数线和诱导公式等，这些要素之间关系密切，互为支撑与依赖，如单位圆定义任意角三角函数的作用在函数周期概念中得到淋漓尽致的显现.学习三角函数周期性是对《数学(必修1)》中研究函数基本性质的进一步完善，因此本节课教学知识逻辑起点定位于自然界的“周而复始”和正弦函数图像的变化规律上，这样先由生活中的实例开始，再到学生已经得到认知的三角函数图像，经历了概念的产生、发展和形成的全过程，最后到概念的应用.教学设计由浅入深，循序渐进，使学生从感性认识到理性认识，再到知识的升华，符合学生的认识规律，也凸显了知识的整体逻辑结构，为后续的知识打下了扎实的基础.

2.2 关注目标的层次性

本课是研究正弦函数、余弦函数的性质第1课时，起到了承上启下的作用.因此本课的教学目标应体现这一地位，具体有如下3个方面的目标层次：

1)理解周期函数的概念，会求一些简单常见的函数周期.能用定义法、公式法、图像法求函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的周期.

2)探究正弦函数的周期性概念，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想.通过类比函数单调性和奇偶性的研究方法，再次体会研究函数性质的基本套路，培养学生的创新精神.

3)利用三角函数的图像呈周期变化的特点，比喻人生道路，使学生感受人生之路并不平坦，只有努力攀登才能到达顶峰，从而培养学生勇于探索、不怕困难的精神.

系统观要求下位系统目标应逐渐上升到它的上位系统目标中.为了达成理解函数周期概念的系统目标，本节课在学生“周而复始”的意识基本形成后，接着从3个角度顺应和同化函数周期定义，再运用3种系统要素：定义法、公式法、图像法求三角函数的周期，最后由三角函数图像比喻人生道路，体现数学的人文价值.为此本节课的教学设计不是结论的简单告知，而是一种过程的经历、一种体验、一种感悟，立足于三角函数周期性的数学本质，关注思想方法的回归，体验生成过程，实现发展学生思维和智慧育人的教学价值.

2.3 注重概念的关联性

系统观理念下的概念是相互依存、相互联系的.函数周期性与函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等概念形成了“概念域”，系统下的“概念域”的联系是自然和合情合理的.本节课教学设计从“周而复始”的变化规律出发，通过实际模型，逐步使语言精确化、符号化，通过“每隔一定时间出现”、“函数值就重复出现”等语言逐步过渡到用定量刻画这种“周而复始”的规律变化，从而给出函数周期的定义.概念辨析阶段，函数的周期性与奇偶性、单调性概念进行比较，充分考虑知识体系的关联性，为此教学设计更多考虑学生直接参与的探究活动，让学生经历正弦函数图像分析归纳周期概念的形成过程，重视数形结合思想方法，体验从特殊到一般再到特殊的探究过程，从而感受研究函数性质的一般方法.课堂氛围宽松、自由、充满活力，无论是学生独立思考、师生(生生)对话还是小组探究，教师始终关注每个学生的真实思维活动，暴露他们的“相异构想”，引导学生在讨论、展示、交流中不断矫正、完善认知结构，凸显概念的关联性.

总之，概念教学要在概念的发生、发展过程中揭示它的本来面目，要从系统的高度设计学生参与揭示概念本来面目的教学活动，从整体、层次和联系中寻找要素，并与相关概念构成“概念域”，达到学生对概念本质特征的自然建构，从而培养学生的创新精神和实践能力.

�2015-11-16；

2016-12-13.

中国教育科学规划2014年度中小学教育研究课题“高位提升惠及全民中小学课程建设和课堂教学改革的研究与实践”(BHA150042).

任伟芳(1966-)，男，浙江鄞州人，中学高级教师，研究方向：课堂教学改革和选修课开发.

O12

A

1003-6407(2016)03-14-04