数轴概念教学要重在让学生领悟“三要素”——全国青年教师优秀课展示活动课例点评*

●吴增生

(仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)



数轴概念教学要重在让学生领悟“三要素”
——全国青年教师优秀课展示活动课例点评*

●吴增生

(仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)

原点、正方向和单位长度这“三要素”是数轴概念的本质，在数轴概念教学中，通过适当的问题情境，让学生充分感悟三要素是确定0,1位置中的充分必要条件，结合数系扩充进一步感悟它们是在直线上唯一地表示一个确定有理数的充分必要条件，这是提高数轴概念教学思想性的有效做法.

数轴；三要素；教学；设计

数轴是理解数与数的大小关系、数的加法运算的直观工具，是联系数和形的桥梁，也是日后学习平面直角坐标系乃至函数的基础，因此，数轴是数学核心概念.第9届全国初中青年教师优秀课展评活动中展示了数轴概念教学课例，可以看出，参评的课例都运用团队的力量进行了精心的教学设计，执教教师在实施教学的过程中也都体现了深厚的教学基本功.但也暴露出一些问题，现对其中的一个课例(北师大版《数学》教材)进行分析，以供参考.

1 课例的教学思路

1.1 创设情境，引入新知

1.1.1 复习旧知

师：上节课，我们学习了一类新的数——负数，这样就可以用正数和负数表示具有相反意义的量，从而数的范围就扩大到有理数范畴.那么，有理数如何分类呢？

师生活动 教师引导学生用2种方法对有理数进行分类(按照整数、分数分类和按照正、负、0分类).

图1

1.1.2 情境引入

情境1 以海平面为基准，珠穆朗玛峰高出海平面8 844 m，吐鲁番盆地低于海平面155 m.若记海平面高度为0 m，则珠峰和吐鲁番盆地的高度是多少呢？如何用图形表示呢？

师生活动 教师展示数和形的表示，如图1所示.

图2

情境2 小明从学校门口出发，向东走50 m到达书店，向西走300 m到达家.如果规定向东为正方向，向西为负方向，则小明从学校出发，书店记作什么？家又记作什么？如何用图表示？

师生活动 教师展示数和形的表示，如图2所示.在情境1和情境2中，教师让学生先用数表示，再用形大致表示相对位置.

情境3 你能读出图3中温度计上的示数吗？

图3

师：仔细观察温度计的构造，有什么特点？

师生活动 学生很容易读出示数，教师提示注意刻度的示数左右均有，让学生回答，相互补充.

结论1 1)有1个起点或基准点；2)有正、负2个方向；3)刻度线都是等距的，每相邻2个刻线之间表示温度相差1 ℃.

在此基础上，教师引导学生比较情境1～3，指出情境1和情境2由于没有规定刻度，因此只能表示出点的相对位置，而情境3由于有了刻度，因此能准确地表示数的位置.

1.1.3 归纳共性

想一想 以上3个图有什么共同特征？

师生活动 学生先独立思考，然后4人一小组讨论归纳，再派代表发言，各组相互补充.

结论2 1)都用一条直线来表示位置、高度或温度；2)直线上都有一个起点或基准点(0 m，0 ℃)；3)都规定了正、负方向；4)要准确表示必须有刻度.

1.2 类比归纳，提炼概念

问题1 能否用一条直线来表示有理数呢？

师生活动 根据3个实例图的分析，让学生抽象出没有实际背景下的正数、负数、0的表示.

师：直线上要有一个零点、要规定一个正方向，还要有刻线，相邻刻线等距且意义相同.这样的一条直线就是我们今天要学习的数轴(教师板书：2.2数轴).

问题2 到底什么是数轴呢？

一般地，画一条水平的直线，在直线上取一点表示0(叫做原点)，规定直线上向右的方向为正方向，选取某一单位长度，这样的直线就叫做数轴.

实际上，数轴就像是一个横放的温度计.

1.3 理解概念，辨析概念

问题3 如何画一条数轴？

师生活动 教师在学生自主画数轴的基础上，引导学生总结：

1)原点(0)：一般居中；

2)正方向(向右)：右端标箭头；

3)单位长度：适当，画短线，标数.

问题4 图4中哪些是数轴？哪些不是？为什么？

图4

1.4 应用概念，数形转换

想一想 建立了数轴，我们就可以用数轴上的点来表示有理数了.如何来表示一个有理数呢？

1)0在数轴的什么位置？正数呢？负数呢？

2)整数怎么表示？

3)分数怎么表示？

4)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示吗？

师生活动 在教师的引导下，学生得到以下结论.

结论3 整数可以用数轴上的刻度点来表示，正整数在原点右侧，负整数在原点左侧;分数可以先找到它所在的2个相邻整数点，再等分成几份，找到相应的位置.正数在原点的右侧，负数在原点的左侧.每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.

思考 在数轴上表示一个有理数时，应注意什么？

师生活动 在教师的引导下，学生得到以下结论.

结论4 先画数轴(完整、适当)；再找位置(定左右、定距离)；最后描点、标数(实心圆点、上方标记).

图5

例2 如图5，数轴上点A,B,C,D分别表示什么数?

思考 数轴上的每个点都对应一个有理数吗？有理数能填满整个数轴吗？

1.5 深化概念，比较大小

议一议 数轴上的2个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？

师生活动 如图6，教师引导学生类比温度计上的实际意义来比较数的大小.

图6

结论5 数轴上2个点表示的数，右边的总比左边的大.正数大于0，0大于负数，正数大于负数.

思考 你能否将例1中的各数用“<”连接呢？教师引导学生借助刚才数轴上各点的位置来比大小.

1.6 收获感悟，总结提升

师：本节课你有何收获？经历了哪些探究过程？学会了哪些知识？掌握了哪些方法？

教师引导学生按照图7的线索回顾总结.

图7

1.7 布置作业，课后拓展

1)课本155页：习题6.7的第1题、第3题.

2)课外探究：点A在数轴上距离原点3个单位长度.

①点A表示的数是什么？

②若将一个点从点A处向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时终点表示的数是什么？

2 课例的特点

2.1 关注数学本质，尊重学习规律

数学概念教学需要经历概念的引入、概念本质属性的概括、概念的定义、概念的辨析、概念的应用、概念的精致(建立概念之间的联系)等过程.

首先，借助实际情境引入概念，体会数形结合思想.教师通过创设高度刻画、位置刻画和温度计刻画温度的情境，把相关的有理数在直线上进行直观刻画的共同特点，提出在直线上表示有理数的问题.接着，通过把温度计横放让学生观察，发现温度计用原点表示0 ℃，用原点的右方(上方)的点表示正温度，用原点的左边(下方)的点表示负温度，用单位长度统一刻度，从而发现数轴的三要素，比较发现情境1、情境2中，由于没有规定刻度，只能大致表示点的位置.最后，归纳3个情境中的图形，归纳其共同特征(用直线表示，在直线上规定零点、正方向、刻度(单位长度))，得到数轴的本质特征，在此基础上抽象出数轴的概念.在情境1～3中，均提出了用正、负数表示相反意义的量以及如何用图形表示这些量的问题，让学生充分地从数和形2个方面感知实际问题，体会数形之间的联系.在概念形成后，通过适当的练习和例题，对数轴概念进行辨别，应用数轴表示有理数.最后，利用数轴规定有理数大小比较法则，建立知识之间的关联，通过以数表形和以形表数，把数轴理解为联系数与形的桥梁.

2.2 精心设计问题，循循善诱

本课的问题具有针对性、层次性和系统性，通过问题对学生进行有针对性的启发.在情境问题中，重视从数和形2个方面提出问题；在归纳3个情境问题的共同特征中，教师有意识地引导学生观察并概括在“原点、正方向和单位刻度”这3个方面的共同特征；在数轴概念的辨别中，提出了如下的问题：

建立了数轴，我们就可以用数轴上的点来表示有理数了.如何来表示一个有理数呢？

1)0在数轴的什么位置？正数呢？负数呢？

2)整数怎么表示？

3)分数怎么表示？

4)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示吗？

通过问题1)～3)，引导学生有序思考怎样在数轴上表示有理数，而后通过问题4)让学生根据有理数的整数比意义得到“任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示”的结论，而不仅仅是凭直觉得到这一结论.

2.3 适当有序训练，有效达成目标

在通过让学生辨别数轴、画数轴、用数轴表示有理数等训练活动来巩固数轴的概念，并通过“由数描点，由点想数”活动和借助数轴理解有理数大小活动引导学生借助数轴理解有理数及其大小的意义，渗透数形结合思想.教师通过练习让学生进一步体会到数轴三要素的重要性，在数轴上表示负数的次序(-1，-2，-3,…)是从原点开始，从右到左进行的，而非从左到右进行的.通过练习总结出在数轴上表示有理数的操作程序“画数轴(完整、适当)——找位置(定左右/定距离)——描点、标数”.

3 值得商榷的问题

3.1 要为概括“三要素”创设问题情境

本课例有3个情境，但这3个情境中都没有让学生经历动手画图形直观表示数的活动，建议取一个情境问题为重点，让学生经历从实际情境中抽象出数轴的过程，体会数轴的三要素；建议去掉“回顾”环节中的有理数分类，只要复习引入负数后得到有理数，就有正数、负数和0，指出用正、负数可以表示相反意义的量即可；同时去掉情境1.事实上，用数表示直线上点的位置是学生最熟悉的，在小学就接触过，因此考虑改编情境2问题，并增加一个校门口向西的点，以便学生体会怎样在数轴上怎样确定负数的位置.

“小明从学校门口出发，向东走50 m到达书店，向西走150 m到文具店，向西走300 m到达家.如果校门口、书店、文具店以及小明家同在东西向笔直的大街上，怎样用图形表示这些地方的位置？”这样，用图形表示情境如图8(以校门口为基准点，规定左西右东，以50 m为单位长度).进一步，让学生用有理数抽象简约地表示图8中直线上各点的相对位置关系，这需要规定用0表示基准点(校门口)，用正数表示基准点以东方向，用负数表示基准点以西方向，选择50 m为1个单位长度(如图9所示).

图8 图9

3.2 要围绕“三要素”设问

数轴概念中的关键是对数轴三要素的理解，为什么数轴要有三要素呢？这是为了让每一个有理数能在数轴上找到唯一确定的点.数轴的三要素，是保证实数与数轴上的点能“一一对应”的基础，缺一不可.数轴的原点表示0，就是基准点；数轴的正方向，本质上就是实数从小到大的排序方向；单位长度本质上规定了表示1的点离原点的距离.数1的位置是由原点、正方向和单位长度唯一确定的.只要表示0和1的位置确定了，则任何实数的位置就唯一确定了.虽然本课让学生深入分析了温度计的特征，从中归纳出“有零点(基准点)、有正负方向、有刻度”，也比较情境1～3，发现没有刻度只能大致表示点的位置，但没有系统地让学生体会规定原点、正方向和单位长度的必要性.为了让学生能深刻体会三要素的必要性，需要在学生用线段图表示改编后的情境2问题前，用以下问题引导学生思考：

1)用什么表示东西方向笔直的大街？

(直线.)

2)需要对直线作什么规定？

(在直线上任意选取一点作为校门口(基准点)，规定左西右东的方向，选择适当的单位长度(如50 m).)

在学生完成用线段图表示情境问题中各点的位置后，进一步提出问题：

3)在这里，东50 m和西150 m，东50 m和西300 m是具有相反意义的量，相反意义的量可以用正、负数表示，能用正、负数表示这一问题中相反意义的量吗？若用正、负数表示，基准点是什么数？基准点的右边是什么数？基准点的左边是什么数？单位长度有什么含义？

引导学生规定基准点为0，向东为正、向西为负,取50 m为单位长度.

在此基础上让学生观察温度计的结构，为学生抽象数轴提供直观的模型支撑.

在讨论问题1“能否用一条直线来表示有理数呢”后，让学生独立地把画出表示有理数的直线，说出“怎样在直线上进行合理规定才能表示有理数”.在学生说出“规定0的位置、正方向和刻度(单位长度)”后，需要追问学生“为什么要这样规定；如果不规定原点、正方向、单位长度，能把有理数表示为直线上唯一的一个点吗”.还可以问“这样规定了原点、正方向和单位长度的直线上，就能唯一确定每一个有理数的位置了吗”.规定了原点相当于规定了零点的位置，规定了正方向相当于规定了1在0的哪一边(大致方位)，规定了单位长度，相当于规定了1到0的距离，通过这样规定，0和1的位置就唯一确定了.我们知道:只要规定了0和1，就可以唯一确定2，3,4，…等每一个自然数的位置，进一步应用线段比可以唯一确定每一个正分数的位置，在原点相反的方向，可以唯一确定-1，-2，-3，…等负整数的位置，及负分数的位置.这样，就可以唯一地确定每一个有理数的唯一位置.这个问题的思考过程实际上就体现了数系扩充的思想.

3.3 要借助“三要素”理解负数在数轴上位置次序的合理性

把不同的负数有序表示在数轴上的不同位置，是学习用数轴上的点表示有理数的难点.虽然本课在练习中让学生辨别负数在数轴上的排序，但这还不够，突破难点需要在概念形成的过程中进行，而不能只在训练辨别中矫正，那样是事倍功半的.在概念形成过程中让学生突破这一难点的关键是让学生借助具体情境领悟“三要素”，在此基础上体会怎样在数轴上表示负数.在学生得到如图9的图形后，要问学生“为什么-300的位置在-150的左边”，让学生结合具体情境说明其合理性(因为-300表示基准点以西300 m，-150表示基准点以西150 m，显然基准点以西150 m离基准点近)，并说出在数轴上负数-1，-2，-3，…，-150，-300，…应该从原点开始从右往左以此按照距离来标.在此基础上，完整地说出数轴概念的定义：

满足以下要求的直线叫做数轴：

1)在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点；

2)通常规定从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；

3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…,从原点向左，依次隔一个单位长度取一个点，分别表示-1，-2，-3，…等等.

在这里，负数在数轴上的位置次序是数轴定义的内容之一，是一种基于现实问题情境而给出的规定，是“三要素”中规定单位长度的内容之一.

在正确理解概念的基础上再借助练习进行辨别和矫正，是突破概念学习难点的重要且有效的教学策略.

�2015-11-26；

2015-12-23.

吴增生(1962-)，男，浙江仙居人，浙江省特级教师，研究方向：中学数学教学.

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A

1003-6407(2016)03-01-04