多元函数极值和条件极值的判定方法

葛培运

鹤壁职业技术学院 458030

多元函数极值和条件极值的判定方法

葛培运

鹤壁职业技术学院 458030

多元函数极值和条件极值判定方法主要包括代入消元法、拉格朗日乘数法、几何模型法、参数方程法、借助重要不等式法。将其应用到研究活动中，能化复杂为简单、拓展研究思维、提高研究效率。高等数学研究活动中，应该结合具体内容合理选择相应的方法，促进研究工作效率提升，为提升高等数学研究工作效率创造良好条件。

多元函数极值；条件极值；判定方法；代入消元法

一、引言

多元函数是高等数学的重要组成内容，为研究人员所普遍重视和关注。对很多研究人员来说，该部分内容的研究难度大，理解起来比较困难，也难以灵活应用多种方法判定极值，制约研究人员的研究效率提升，甚至让他们产生畏难情绪，降低研究的自信心，不利于调动研究人员开展研究活动的主动性。为弥补这些缺陷与不足，应该采取有效方法，加强相关研究工作，让研究者正确判定极值，从而更为有效的融入研究活动，提高研究效果和效率。文章探讨分析多元函数极值和条件极值判定方法的意义，并提出具体的应用对策，希望能为研究活动开展和研究效率提升提供借鉴与启示。

二、多元函数极值和条件极值判定方法的意义

多元函数极值和条件极值的内容比较复杂，解题难度大。为有效实现解题的目的，促进研究工作效率的提升，综合采取有效的判定方法是必要的，其重要作用体现在以下方面。

（一）化复杂为简单。整个多元函数研究活动中，极值和条件极值是关键内容，同时又是比较难的内容，很多研究者研究起来感到比较困难，存在畏难情绪，缺乏研究该部分内容的自信心。为有效破解研究中遇到的这些困难，应该结合具体内容，加大辅导力度，让研究者有效融入研究活动，掌握正确的判断方法。进而将复杂的内容转化为简单，有效融入研究活动，深化对多元函数极值的了解，激发研究兴趣，从而取得更好的研究效果。

（二）拓展研究思维。高等数学知识研究中，除了研究基本的理论知识外，还要善于把握正确的方法，能有效拓展思维，让研究者更好投入研究活动，激发研究兴趣，促进研究效果提升。多元函数极值和判定的研究过程中，由于自变量增加，加大解题难度，采用一般研究方法难以有效掌握相关内容，也加大解题难度。在这样的背景下，应该加强指导，让研究者掌握正确的极值判定方法，有效融入研究活动之中，进而破解困难，拓展研究人员的思维。例如，在整个研究过程中，对极值存在的必要或充分条件的理解、求极值方法存在的陷阱和解决方法、求稳定点过程的繁琐计算等内容，都加大研究难度，导致一些研究人员难以把握正确的研究方向。也影响解题思路，难以拓展思维。在这样的背景下，更应该努力把握极值判定方法，拓展思维空间，掌握正确的方法，提高多元函数极值判定的研究效率。

（三）提高研究效率。通过对极值判定方法的研究，能拓展研究人员的思维，让他们有效融入研究活动。并根据多元函数的具体内容，掌握正确的解题方法，迅速而快捷的解答疑惑，提高研究工作效率，起到事半功倍的效果，对高等数学研究的作用也是十分明显的。

三、多元函数极值和条件极值判定方法的应用

为更好判定极值，促进研究效果和效率提升，结合高等数学的基本内容，在多元函数研究过程中，可以综合采取以下有效方法。这些方法各有自己的特点和优势，整个研究过程中，应该根据题目的具体内容，灵活选择相应的方法，实现提高研究工作效果，提升研究效率的目的。

（一）代入消元法。该方法在多元函数极值判定中十分常见，具体研究过程中，能让复杂的问题简单化，使之转化为普遍的求极值形式，方便问题的解答，有利于促进研究工作效果提升。使用前要考察约束条件的一阶偏导数，选择需要消去的变量，进而把握正确的解题方法。还可以通过多元函数的隐函数存在定理，找到多元函数所需条件，从而正确应用消元法解题，提高解题正确性。

例1：

求z=x2+y2在约束条件x2+y-1=0下的极值。

利用代入消元法求解，将x2=1-y代入z=x2+y2，得出z=1-y+y2，令z=-1+2y=0，得可能极值点，进而求出极小值为3/4。

（二）拉格朗日乘数法。教材对该方法有相应的介绍，研究人员在研究过程中，应该注重深入理解，掌握该方法的应用策略，从而顺利求出多元函数极值，取得更好的研究效果。结合隐函数存在定理，应用该方法判定极值的条件是，函数都连续，并且偏导数存在。这样有利于把握正确的解题方法，让研究人员更好融入研究活动，有效判定函数极值。该方法应用范围广，可以推广到目标函数为多元函数，条件为多个方程的情形。有利于提高解题效果，正确判定函数极值。

（三）几何模型法。几何模型法也是判定极值的重要方法，具体应用中越来越受到重视和关注。借助多元函数微分学的几何应用，得到多元函数条件极值的求解方法。从而正确解答， 满足研究工作的需要，取得更好的效果，正确判定函数极值。

（四）参数方程法。由于每个方程的条件极值存在差异，并非每个条件极值都能转化为无条件极值，为提高解题效果，可以采用参数方程法。从条件中解出单值函数相对容易，才能利用该方法转换。如果能从条件中解出多值函数，效果更佳，实现顺利判定极值的目的。

例2：

求z=x2+y2在约束条件下的最小值与最大值。

分析可以得知，函数在圆内的可能极值点。令zx=0，zy=0，解得点（0,0），z（0,0）=0为函数的最小值。

（五）借助重要不等式法。例如，根据多元函数基本情况，借助柯西不等式、均值不等式。从而顺利判定函数极值，方便解题，提高判定准确性，提升研究效果。

四、结束语

综上所述，整个高等数学研究过程中，函数极值求法和判定是非常关键的内容，对研究活动开展和研究效率提升具有重要作用。应该明确其重要作用，结合函数极值判定的具体内容，采取有效的研究方法，推动研究活动顺利进行，提高解题效率，营造轻松愉快的氛围。作为研究人员，要善于总结经验，提高研究效率，注重对相关方法的研究。从而在解题中能熟练应用方法判定极值，促进研究效果和研究效率提升，为高等数学研究顺利进行创造良好条件。

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