紧扣“细节”，让高中数学导数难题不再难

☉江苏省姜堰中学　李彦

紧扣“细节”，让高中数学导数难题不再难

☉江苏省姜堰中学李彦

随着新课改的不断发展与深化，高中数学课本教材中关于导数内容在编排结构和内容安排上发生了较大的变化，淡化极限突出导数是最明显的变化；导数已经发展成为高中数学课程教学的重要内容，同时也是处理函数难题必不可少的重要“利器”；近年来，导数是高考中必考内容之一；实践表明：高考中导数考查主要涉及导数的概念与意义、运算法则与公式、综合应用等；不少学生对于导数难题存在一定的惧怕心理，在处理实际问题的过程中，稍有不慎就容易掉入导数难题所设置的“陷阱”之中；笔者从事高中数学教学多年来，一直比较关注学生解题能力提升的探究与思考，本文以导数中的疑难和易错问题为研究载体，重点阐述通过对问题细节的剖析，形成处理难题的有效途径与方法，希望读者能够从中有所领悟，以便在处理导数问题时能够做到“得心应手、驾轻就熟、游刃有余”.

一、利用导数处理切线方程问题时，注重题设信息的细致分析与思考，谨防“大意失荆州”

函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义是曲线y= f（x）在点P（x0，y0）处切线的斜率，即曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线斜率为k=f′（x0），则曲线的切线方程为y-y0= k（x-x0）；在处理这类问题的过程中应该注意的是：函数y=f（x）在x=x0处不可求导并不能说明曲线在该点不存在切线；对于已知点P（x0，y0）的特征性质的判断必须准确无误；否则容易掉入命题者设置的“陷阱”之中.

变式1：试求：过点（2，6）的曲线y=f（x）=x3+2（x∈R）的切线的斜率.

错解：根据题意可得f′（x）=3x2，则在点（2，6）处的切线的斜率k=f′（2）=12.

分析：由于已知点不在函数图像上，并不是该曲线的切点，不能直接用导数求解斜率.

正解：根据题意可知点（2，6）不在曲线y=f（x）=x3+2上，令切点坐标为P（x0，2），则在点P处切线的斜率为k=f′（x0）=则切线方程为由于点（2，6）在切线上，则6-（+2）=0，解得x0=1或x0=1±，则切线的斜率k=3或k=12±63.

变式2：试求：过点（1，2）的曲线y=f（x）=x3-x+2（x∈R）的切线方程.

错解：根据题意可得f′（x）=3x2-1，则在点（1，2）的切线斜率k=f′（1）=2，则切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x.

分析：本题已知点（1，2）在曲线上，但是题设中没有明确说明该点是切点，从而导致少解的现象出现.

正解：令曲线的切点为P（x0，y0），则y0=x0+2，且切线斜率k=f′（x）=则曲线的切线方程为y-y=（3x2-

000 1）（x-x0），即2-y0=-1）（1-x0），综合以上可得x0=1或x=-则k=2或k=-，即切线方程为y=2x或y=-1x+04

反思：高中数学中导数几何意义的考查题型主要集中在切线方程和斜率问题上，这类题目易错点在于对题目内涵的理解，曲线y=f（x）在点P的切线与曲线过点P的切线是两个相似但不相同的题设条件，容易让学生混淆不清，曲线在切点P的切线只有一条，但是曲线过点P的切线往往超过一条，在处理这类问题时特别要注意判断所涉及的点是否在曲线上，是不是切点等，只有洞悉题设中蕴藏的“玄机”，才能够有效逃避命题者的“陷阱”.

二、利用导数处理函数性质极值和最值问题时，注重解决问题环节的辨析与细化，务必做到“小心谨慎”

导数是处理函数极值和最值问题的重要方法之一，利用导数对函数极值和最值问题的研究一直受到高考命题专家的青睐，基本上是每年高考的必考题型之一，处理这类问题的基本策略是：首先，在理解函数极值概念的基础之上，求出函数的导数f′（x），令f′（x）=0求出实数根，此时对应的点为“疑似”极值点；其次，对函数在疑似点两侧的单调性进行分析，从而判断函数的极值点，求出极值；最后，搞清楚极值是一个局部概念，最值是某个区间的整体性概念，通过计算闭区间两端点的函数值后综合确定函数最值.

解析：根据题意可得列表如下：

x（-∞，-1）-1（-1，0）0，1（）1（）1 222+∞f′（x）+0--0+ f（x）↗极大值↘↘极小值↗

由表知f（x）的极大值是f（-1）=e-1，f（x）的极小值是

变式1：已知函数f（x）=x3+mx2+nx+m2在x=1处存在极值且等于10，试求：mn的值.

错解：由题意得f′（x）=3x2+2mx+n，由于函数在x=1处存在极值为10，则则mn=-9或mn=-44.

分析：本题错误主要来自于学生对函数极值概念的理解不够导致的，忽视了对“疑似”极值点的进一步判定，只是满足于求出数值后安于现状，没有注意细节的处理，从而导致出现增解的错误.

正解：由题意得f′（x）=3x2+2mx+n，由于函数在x=1处存在极值为10，则

变式2：已知函数f（x）=x（x-a）2在x=2处存在极大值，试求：常数a的值.

错解：根据题意得f′（x）=（x-a）2+2x（x-a）=（x-a）（3xa），令f′（2）=0，解得a=2或a=6.

分析：由于函数的导数值等于零并不是该点成为极值点的充要条件，题中求解的根没有进行根的合理性验证，从而导致多解的错误情况发生.

正解：根据题意得f′（x）=（x-a）2+2x（x-a）=（x-a）（3xa），令f′（2）=0，解得a=2或a=6；将a=2和a=6分别代入函数，检验得到在x=2处取得极小值和极大值；所以a=6符合题意.

反思：在运用导数处理函数的极值问题的过程中，务必要注意函数导数等于零的点并不一定是极值点，实际处理过程中要根据函数极值的定义（列表法）进行判断、检验；如果忽视这些环节的细化处理，很容易出现错误；同时还要注意“极值与最值”的本质区别，切勿“混淆不清”.

总而言之，纵观历年来的高考数学试题，我们不难发现：导数考查的力度越来越大，导数是研究函数性质的有效工具，侧重于函数的综合性质和数学思想方法的考查，这也提醒我们一线的高中数学教师，在高考数学复习中，注重导数问题考查内容和形式的细节分析与思考，让导数真正体现其工具性的强大功能与无限魅力，让学生不再为导数问题而感到“头疼”，进而提升学生利用数学知识处理实际问题的能力.F