MPCK视角下的高中数学复习课教学——以空间角的求法设计为例

☉浙江省嘉兴市第一中学　沈新权

☉浙江省台州市玉环中学　施小斌

MPCK视角下的高中数学复习课教学——以空间角的求法设计为例

☉浙江省嘉兴市第一中学沈新权

☉浙江省台州市玉环中学施小斌

一、引言

《现代汉语大辞典》对“复习”一词的解释是：把学过的东西再行温习，使之巩固.因此，从学生学习的角度来看，数学复习是学生对数学知识的再学习，是把数学知识进行巩固内化，并逐步提高问题解决能力必不可少的一个学习环节；从教师教学的角度来看，通过数学复习课的教学，可以进一步激发学生对数学的兴趣，帮助学生构建科学的知识网络，并促进其对数学思想方法的理解和掌握，提高他们数学问题解决和探究能力的一个非常重要的过程.高中三年的数学教学中我们上了不少的复习课，一个教学单元结束，我们要复习一下；为了准备期中考试、期末考试（有时候甚至是月考），我们也要上几堂复习课；再有，似乎是约定俗成，高三的数学教学就是复习课教学，一轮、二轮甚至三轮、四轮，复习与练习几乎成了学生高三数学学习的全部，学生在数学复习的循环教学中结束了高中的数学学习.于是很大程度上，高中数学复习课教学的效率如何，决定着高中数学教学的质量（尤其是高考的成绩）.但在实际教学中，我们很多教师并没有给予复习课以必要的重视，一方面很多教师在平时的复习课教学中习惯以复习卷讲评代替复习课的教学设计，复习卷讲完，复习课也随之结束，教师缺乏对复习主题的内涵与外延的研究；另一方面，很多高三教师上复习课时往往是以一轮或者二轮的复习教辅资料代替复习课的教学设计，依据的是教辅资料对复习内容的编排，至于复习的内容在课程标准里是如何要求的，在考试说明里是怎样解读的，在历年的高考试题里面又是什么样的形式出现的，我们的教师也缺乏足够的研究.从复习课的教学方式来看，不少教师认为，上复习课无非就是“三步曲”：罗列基础知识，讲解“典型”例题，布置课后作业.殊不知，通过这样的“三步曲”，学生的知识基础照样漏洞百出，学生的解题能力也依旧在原地徘徊.因此，他们的复习课存在着教学效果差、效率低的问题.［1］

要改善复习课的教学现状，我们觉得首要的着眼点应该要重视数学复习课的教学设计.“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，复习课教学设计的质量取决于教师的数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）及教育技术知识（TK）.

二、MPCK理论及其背景下的高中数学复习课教学

1986年美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼（LeeS．Shulman）提出的教师的专业知识结构理论的核心要素是学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge），简称PCK．［2］香港中文大学黄毅英教授在此基础上则把数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为MPCK（MathematicsPedagogicalContent Knowledge）．MPCK是由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）及教育技术知识（TK）融合而成的．［3］MPCK的本质是教师如何根据学习者的不同兴趣、能力来组织、表达和调整具体的课题、问题或论点，以促进他们对数学学习内容的理解和掌握的知识．［4］

说得简单一点，MPCK是数学内容和教育学、心理学、学习论的有关原理融合而成的与教学相关的综合性知识，是关于某一领域的数学教学内容该如何进行表达、呈现和解释，从而转化成使学生更容易接受和理解的知识.其核心就是如何将数学知识的学术形态转化为教育形态、学生的学习形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养.［5］MPCK理论是教师进行复习课教学设计和复习课课堂教学的基础，教师对复习内容的理解和把握程度，运用教学方法的适切程度及复习课教学的效果如何在很大程度上取决于教师的MPCK．

基于MPCK视角的高中数学复习课教学，教师在进行教学设计时，应该思考：所复习的内容在课程标准里的要求是怎么样的？通过这些内容可以培养学生哪方面的思维能力？可以让学生领悟什么样的数学思想和方法？所复习的内容在高考中的要求是如何的？在历年的高考试卷中，命题人又是从哪个角度、什么形式来考查学生的？同时，教师还要思考，学生在复习该内容前对这些内容的掌握程度如何，以及可能存在的困惑是什么？如何在学生已有的知识基础上通过复习解决学生学习中的困惑？教师在进行复习课的教学设计前首先要对这些问题进行研究和思考，这样教师才能够既整体把握课程标准、考试大纲对所复习内容的要求，又能够了解学生对所复习内容的掌握程度.在此基础上进行的教学设计，如何进行课堂引入，怎样复习数学概念和公式，应该选取什么样的教学素材（例题），以及课堂教学中采用什么样的教学方式等才能够有的放矢，因材施教.所有这一些，则是教师MPCK的集中体现，若教师的MPCK知识中的某一方面有所不足，就会影响到其所作的复习课教学设计的合理性和科学性，很多时候会影响到复习课的教学效果.

下面我们以一堂高三复习研讨课“空间角的求法”的教学设计为例来阐述MPCK背景下的高中数学复习课的教学设计.

三、运用MPCK理论进行空间角的求法的教学设计

知己知彼，才能科学应对.MPCK背景下的高中数学复习课的教学设计，教师应充分认识所复习内容在学科教学中的地位和所承载的作用，应深刻把握所复习内容在高考中的要求和呈现方式，还应充分了解学生对所复习内容的掌握程度．基于MPCK视角下的教学设计，不是对旧知识的简单重复，通过复习使学生加深对所学知识的理解，并启发他们体会知识间的联系和发展等辩证观点，培养学生的应用意识、探究能力，以及提出问题、解决问题的能力.

（一）认识空间角的地位与作用

1.课程标准的要求

立体几何的内容在人教A版的必修2和选修2-1的教材中，与之相关的内容在《普通高中数学课程标准》（实验）里的描述是这样的：“立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力.培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力，以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题.”［6］

2.山东省考试说明的要求

《2014年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（数学，理工农医类）对空间角的要求的描述：“理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.”而且，考试说明里面同时有这样一句话：“高考命题不拘泥于某一版本的教材，鼓励考生多角度、创造性地思考和解决问题.”［7］

3.山东省最近五年高考数学立体几何试题统计（理工农医类）

年份2011年2012年2013年2014年2015年考试内容三视图+线面垂直+二面角体积+线面垂直+二面角直线与平面所成的角+线线平行+二面角体积+线面平行+二面角体积+线面平行+二面角

从表格中，我们可以看到，最近五年山东省的高考理科数学试卷中，立体几何内容一般是一个小题（选择或填空），一个解答题，空间中的三类角在这五年的高考中都有所涉及，尤其是二面角的大小的求法成为每年高考的必考内容.

（二）运用MPCK理论进行空间角的求法的教学设计的几个基本环节

环节一：异面直线所成角

请同学回忆异面直线所成角的定义，以及异面直线所成角的范围和求法.

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方体面对角线AD1和A1C1的中点，求异面直线EF和CD所成的角.

方法一：把EF平移到DC1，求出异面直线EF和CD所成的角.

方法二：建立空间直角坐标系，用向量方法求出异面直线EF和CD所成的角.

设计意图：异面直线所成的角虽然是空间三种角中最简单的一种，但它却是空间三种角的基础，求解直线与平面所成的角及二面角的问题，到最后都是转化为两直线所成的角.因此，异面直线所成角的求法具有承上启下的作用，教学设计时应体现其特殊的地位.让学生回忆异面直线所成角的概念，是为了让学生重温求解异面直线所成角中的“平移法”，为用方法一求异面直线EF和CD所成的角做好铺垫.通过方法二，引导学生善于利用空间向量的数量积来求空间两条直线所成角的大小.

环节二：直线与平面所成角

请同学回忆直线与平面所成角的定义及范围和求法.

例2（人教A版，必修2第66页例2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角.

方法一：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以作出直线A1B与平面A1B1CD所成的角并求出其大小.

设计意图：回忆定义是为了突出当直线与平面相斜交时，直线与平面所成角是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，因此，如果要作出直线与平面所成的角，其重点在于“垂”，作平面的垂线，找出斜线的射影.这也是方法一（教材上的解法）的来由，体现了处理立体几何求角问题时的“一作二证三求解”的典型思想；方法二是利用空间向量求直线与平面所成角的通法，方法二也是对方法一的一个拓展.采用教材上的例题作为复习课中的例题也是为了表明我们的高中数学复习不应该脱离教材，复习的起点应该高于教材（尤其是问题解决方法，立意可以更高），但也应该植根于教材.

环节三：二面角

二面角的定义及范围：与同学一起回忆并利用图形展示（PPT动画）二面角平面角的作法：（1）定义法；（2）垂线法.

利用向量求二面角大小的方法：（1）考虑与二面角的棱都垂直的两向量的夹角；（2）考虑二面角两个半平面的法向量的夹角.

例3在四面体P-ABC中，△ABC是边长为a的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=a，求二面角A-BP-C的平面角的余弦值.

方法一：从二面角的一个面内一点C作另一个面的垂线CD，过点D作PB的垂线DE，连接EC，则∠DEC就是二面角的平面角，然后计算其大小.

方法二：若直接过点A，C分别作棱PB的垂线，当垂足重合时，利用定义可以求解；当垂足为不同点时，此时二面角的大小可转化为求两个向量的夹角.

方法三：建立空间直角坐标系，计算平面PAB的法向量及平面PBC的法向量，求出这两个法向量的夹角即可.

方法四：利用原图形和射影的面积关系计算二面角的大小.

设计意图：二面角大小的求法不仅是立体几何中的重要内容，也是高考中的重点内容.例3的求解中，方法一通过作平面角然后求出其大小，可以帮助学生复习线面间的位置关系并培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力；方法二和方法三则是利用空间向量求二面角的大小，可以体现借助代数方法求解立体几何问题的优势，培养学生的运算求解能力；而当二面角的平面角不易作出（找不到）时，可采用想而不作的办法，因此方法四有时候成为求解二面角大小的“应急方法”.

环节四：课堂练习

练习：在正三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=2AB，D、E分别是BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A，D，E三点作一截面，求截面与底面所成的角.

设计意图：通过例3的探究，学生对二面角的求解方法与以前相比应该有了全新的认识.此时，教师趁热打铁，出示新的问题，引导学生独立思考此问题的解决方法.（课堂上不需要详细求解）

环节五：课堂小结

本节课我们一起复习了空间角的求法，请大家再次总结一下异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解方法.

设计意图：适时总结，及时巩固，把空间角的求法纳入到学生已有的知识体系中，使这些方法成为学生求解空间角时的思维习惯.

环节六：作业布置

（1）三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC= 2，点M、N分别是AD、BC的中点，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.

（2）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，AM⊥PD于点M.求直线AB与平面ACM所成角的余弦值.

设计意图：复习课的教学还应该重视课外作业的布置.一是要注意选择对所复习的内容有巩固作用，对学生的解决问题的能力有提高作用的问题；二是要注意所选习题的数量，选择作为练习的问题要典型，不能无端加重学生的学习负担.

（三）运用MPCK理论分析空间角的求法的教学设计

从MK的角度分析，教师对所复习内容的掌握和理解在复习课的教学设计中起着举足轻重的作用.教师既要能够对所复习的数学内容从数学学科整体的角度进行理解，又要能够站在学生的角度去分析所复习的内容，还要能够从高考的角度把握所复习内容的难易程度，也就是说教师应具备深厚、系统的数学学科知识，熟练掌握复习内容所涉及的数学的方法和思想，并选择一些既能够巩固学生的知识基础，又能够激发学生学习兴趣、提高学生探究能力的例题和练习，这是做好复习课教学设计的必要条件.在空间角的求法的教学设计中，站在MK的角度，教师首先应该要考虑这样的问题：空间角有哪几类？它们的定义如何？它们反映了空间几何体的什么特征？课程标准中对空间角的要求是什么？高考又是怎么考查空间角的？异面直线所成的角、直线与平面所成的角，以及二面角的求解方法是怎么样的？利用立体几何综合法应该怎么来求？借助空间向量又需要注意些什么？通过对这些问题的思考，在前面的三个环节中我们既设计了针对空间三种角的概念的复习，以及利用具体问题进行求解的各种方法的展示，一方面帮助学生理清概念，巩固方法，另一方面则意图鼓励学生在复习中要注意多角度思考问题，尤其是立体几何中角度问题的求解，既要引导学生能够用几何的综合法通过“一作二证三求解”来求解，还要善于利用空间向量的方法进行计算来求解，两种视角，多条解决问题的途径，不可偏废.通过这些问题的设计，学生空间想象能力的培养与运算求解能力的提高两不误，这样的教学设计考虑到了所选问题的针对性和实效性.

从PK的角度分析，在空间角的求法的教学设计中，把空间角的求解路径和思维方法，以问题解决的方式让学生去思考、体会和领悟.比如，对于环节一中例1的方法一（平移法）的核心在于“移”，通过在空间内选定一点平移其中一条或两条直线使其转化为平面内的两条相交直线所成的角，然后通过解三角形求出两条异面直线所成的角（锐角或直角）.方法二的向量法（坐标法）则是利用向量的数量积运算，转化为求两个向量的夹角.对于二面角的求解，设计中既考虑了作出二面角的平面角的求法，也设计了不作平面角的向量法（建系和不建系）和射影法，求解方法的面面俱到符合学生的学情也开阔了学生的思维.但同时我们也应该要注意在复习课的教学设计中，问题解决及方法的总结尽量避免教师的“一言堂”，教师在呈现问题以后，通过学生的思考，再加以教师必要的启发，尽量使得解决问题的方法从学生的头脑中自然而然地“流淌”出来，学生通过自主探究获得问题解决的方法，有利于学生享受成功解决问题的乐趣.因此，教学设计时，教师一定要充分了解学生的知识基础，在学生思维特点的基础上选择与学生的思维发展区最接近的数学问题.另外，这个案例中，学生在经历了环节三的学习后，我们有必要让学生消化一下二面角求法中的几种常规方法，所以环节四中的课堂练习是不可或缺的，这是一道比较难的问题，其中蕴含着丰富的数学思想，可以采用不同的解题方法去解决，通过补棱作出截面与底面的平面角，也可以建立空间直角坐标系借助截面与底面的法向量来求解，还可以利用射影法去解决.由于课堂教学的时间限制，我们设计时，只要求学生探究解决这个练习的方法，不需要把结果求出来.事实证明，这样的设计是符合当时的课堂教学的实际.类似对环节四这样的问题的解决，既有对课堂中所复习的求解二面角的方法的巩固，也有对课堂中所复习的求解二面角的方法的延伸（对无棱二面角进行补棱），这样的设计检验了环节三的教学效果，同时也是对环节三问题解决方法的一个补充，拓宽了学生的解题思路.

复习是一种另外形式的学习，因此，从CK的角度分析，在进行教学设计时，教师要尽可能多地深入学生、了解学生，除前面提到的要了解学生对所复习的知识基础的掌握情况以外，还要关注学生的心理特征和学习差异，预测学生在复习和问题解决时可能遇到的知识和思维障碍并以适当的问题情景、讲解与示范启发相结合的恰当的生动活泼的教学方式来实施教学.因此，空间角的求法的教学设计立足于问题解决的方法探寻，我们根据学生的知识基础并借助三个不同类型的例题，在前面三个环节中，通过教师的引导，学生的自主探索，从不同角度提炼出了空间角的求法的几种基本解法，实现了本节课的复习目的.但教学设计并没有就此止步.在环节五中，我们还设计了两个练习题，练习1的设计既考虑到了利用平移法和向量法（不建坐标系）求两异面直线所成的角，还结合问题的特点（四面体的对棱相等）考虑把四面体补形为长方体再建立空间直角坐标系进行求解，如果继续拓展下去的话我们还可以引导学生利用练习1的求解方法得出已知四面体的六条棱长，可以求出四面体任意两条对棱的夹角的余弦（斯坦纳定理）的方法.对于练习2的设计也同样如此，除利用例2中求直线与平面所成角的方法以外，练习2的解法中还设计了可以先求出平面的斜线上的一点到平面的距离（俗称“体积法”），再求直线与平面所成角的方法.因此，这两个练习题的解法并不是课堂例题的简单的重复，而是在此基础上的一个螺旋式的上升，这种上升不是教师强加给学生的，而是学生课后通过对问题思考后的一种思维升华.这样的设计，把课堂教学的“余音”延伸到了课堂之外，真正体现了复习课的教学目的.

从TK的角度分析，为了提高复习课的教学效率，在教学设计时，教师要根据所复习的内容，合理运用现代教育技术，辅助复习课的教学.如，在进行教学设计时，我们把每个问题及其图形都用PPT加以展示，除了必要的课堂板书，一些问题的解决方法也通过PPT呈现，省去了课堂上不必要的抄题和画图时间.另外，如果复习课中的一些问题需要动态的呈现，我们在教学设计时，还可以考虑借助几何画板或者多媒体动画给学生以直观形象的演示，以此提高学生的形象思维能力.这对于惜时如金的高三数学复习课堂来说，多媒体技术在其中起到了非常重要的辅助作用.

在空间角的求法的教学设计中，我们运用MPCK理论，通过引导学生对空间角的概念的复习，为学生提供了三个值得探究的空间角的求法的问题，再通过教师的分析、启发、引导学生利用图形观察、推理论证、计算求解等数学思想方法进行自主探索，使学生经历了空间角的求法的“再发现”过程，这样的教学设计在一定程度上体现了空间角的求法在学生头脑中的一个“生长过程”，可以体现出学生对解题方法的领会是主动的而不是被动的，运用MPCK理论，我们还设计了运用信息技术辅助复习课的教学，信息技术的恰当运用可以让学生在直观、动态过程中感受数学问题，从而更能够抓住数学问题的本质.因此，基于MPCK理论的教学设计强调学生的自主和主动复习，还强调着重培养学生的“问题分析”、“思路探究”、“方法总结”等思维能力.

四、总结

MPCK理论不仅对于高中数学的复习课教学有着直接的理论指导，“对于高中数学教学中的概念、公式教学乃至习题教学和教师的专业成长也都有着积极的促进作用.”［8］基于MPCK理论的高中数学复习课教学设计对教师提出了很高的要求，要求教师有扎实的专业素养、以学生为主体的教学理念，还要有钻研课程标准和研究高考试题的意识与能力.这些要求与能力对不少教师来讲是一种挑战，也是普通高中课程改革的大势所趋，教师只有坦然迎接挑战，努力提高自己的专业水平，才能够成为受学生欢迎的、教学优质的优秀教师.

1.沈新权．高中数学复习课的教学设计与实践［J］.中学数学教学参考（上），2012（8）．

2.Shulman L S.Knowledge and Teaching：Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987（57）.

3.黄毅英，许世红．数学教学内容知识——结构特征与研发举例［J］．数学教育学报，2009（2）．

4.童莉．数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识（MPCK）［J］．数学教育学报，2010（2）．

5.李渺，宁连华．数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义［J］．数学教育学报，2011（4）．

6.中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003.

7.山东教育考试院.2014年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明（数学，理工农医类）［M］．济南：山东人民出版社，2014.

8.施小斌，沈新权．MPCK视角下的高中数学定理教学——以正弦定理教学的再设计为例［J］．中国数学教育，2015（6）．F