确定性信号分解与平稳随机信号分解的统一研究

2016-11-24王宏禹邱天爽

通信学报 2016年10期

关键词：确定性正则正弦

王宏禹，邱天爽

（大连理工大学电子信息与电气工程学部，辽宁大连 116024）

确定性信号分解与平稳随机信号分解的统一研究

王宏禹，邱天爽

（大连理工大学电子信息与电气工程学部，辽宁大连 116024）

对确定性信号分解与平稳随机信号分解进行了深入统一的研究。首先根据线性系统稳定性理论，分别给出正则稳定情况下与边界稳定情况下2种信号分解的统一研究结果。然后根据线性空间投影理论，分别给出正交投影情况下与自投影情况下2种信号分解的统一研究结果。前一种研究明确具体且物理意义清晰，后一种研究数学意义与几何意义清晰，将两者合在一起研究，相得益彰。

信号分解；线性系统；正则稳定；边界稳定；线性空间；正交投影；自投影

1 引言

确定性信号与平稳随机信号的分解或展开已有许多研究[1～5]，已为众所熟知。这2种信号（包括连续的与离散的、有限的与无限的）有许多共性，可对它们进行统一研究。不过，据文献调研，目前尚未见到这种研究。为此，本文对这2种信号分解进行了统一研究。由于确定性离散信号与平稳随机离散信号（以下均略去“离散”）可分别由{δ(n)}与白噪声序列{w( n)}激励一线性时不变离散系统（以下均简称为线性系统）所产生，所以这2种信号可由线性系统理论统一起来研究。线性系统稳定性分为正则稳定的与边界稳定的，前者为人们熟悉，后者却不熟悉。本文对这2种信号于线性系统正则稳定与边界稳定情况下的信号分解，给出了统一研究结果。对这2种信号的共性，可由数学泛函分析的线性空间理论统一研究。线性空间投影分为正交投影与自投影，前者为人们熟悉，后者却不熟悉，本文对这2种信号于线性空间正交投影与自投影情况下的信号分解，给出了统一研究结果。

2 线性时不变离散系统及其稳定性

设因果线性时不变离散系统（以下为了简便起见，再次将其简称为线性系统）的传递函数H( z)为有限阶m和n的有理函数[5]

式(1)可表示为如下的零、极点模型，有

在式(2)中，分子项与分母项为1时分别对应于全极点模型与全零点模型。

H( z)为全极点模型时，将其展开为部分分式，当它所有极点不同时，有

与H( z)对应的格林函数g( k)或脉冲响应h( k)为

由此可见，当k→∞时，使g( k)=h( k)→0的唯一条件是λi＜1，i=1,2,…,n 。如果λi＞1，则当k→∞时，g(k)将无限增长。因此，对线性系统，若H( z)所有极点均位于单位圆内时，系统是稳定的，而H( z)只要有极点在单位圆外时，系统是不稳定的。由于极点全部位于单位圆内，有限阶全极点模型可以化为无限阶全零点模型，所以，若线性系统是稳定的，则必定是因果的最小相位或最小时延系统。

若H( z)的极点位于z平面的单位圆上，线性系统处于稳定与不稳定的边界，其稳定性要视极点在单位圆上的位置与H( z)是否有相同的极点而定。当H( z)在单位圆上有l个相同极点时，则其格林函数gl( k)或脉冲响应hl( k)为

1) 极点位于单位圆实轴上，即λi=1,i=1,2,…,l。对l=1，为1阶极点情况，g1( k)=h1( k)=C（C为常数）。对l=2，为2阶极点情况，g2(k)=h2( k)=C1+C2k （C1、C2为常数），它为k的线性增长函数，对l一般情况，有

它为k的l−1阶多项式增长函数。

2) 在z平面单位圆上有一个一阶共轭极点时，即λ1,2=e±jω，由式(5)有

即g( k)=h( k)为稳定的等幅正弦与余弦振荡函数。式(7)中常数a=C1+C2，常数b=j(C1−C2)。

若g( k)=h( k)在z平面单位圆上共有n个不同的一阶共轭极点时，则

为n个不同频率的稳定等幅正弦与余弦振荡函数。

若g( k)=h( k)在z平面单位圆上有l（1＜l≤n）个相同共轭极点时，则

为l(1＜l≤n)个不同频率且幅度增长的正弦与余弦振荡函数。

由此可见，当g( k)=h( k)为常数与单个或多个等幅正弦与余弦振荡函数时，线性系统是边界稳定的；当g( k)=h( k)为一线性增长、多项式曲线增长与单个或多个不同频率增长的正弦与余弦振荡函数时，线性系统是边界不稳定的。

由以上研究，线性系统的稳定性分为稳定的与边界稳定的，本文为了使两者区分更加清楚，对稳定的情况，改称为正则稳定的情况，因线性系统这种稳定情况是众所熟知的。

3 基于线性系统稳定性理论的信号分解

由于确定性（离散）信号与平稳随机（离散）信号分别由{δ(n)}与白噪声序列{w( n)}激励一线性系统所产生，故这2种信号分解可由线性系统理论统一研究。因线性系统稳定性有正则的与边界稳定的2种情况，需要对它们分别进行研究。

3.1 线性系统正则稳定情况下的信号分解

正则稳定的线性系统有3种描述方式：z域传递函数或时域格林函数、零极点模型、线性差分方程，这3种描述方式可以互相转换，可以从任何一种得到另外一种。欲利用正则稳定的线性系统对确定性信号与平稳随机信号的信号分解进行统一研究，以采用格林函数描述方式为最佳，其理由如下。

1) 数学物理意义清楚，并为人们熟悉。这易由图1中线性系统的输入输出关系而得到。

图1线性系统输入与输出关系

图1中确定性信号x( n)为

平稳随机信号x( n)为

2) 便于与后面研究的线性空间投影理论相联系，得到几何意义解释。

对应于线性空间理论研究，{δ(i)}可以视为标准正交基组同样，白噪声w( n)是正交的，若其方差σ2=E[ w2( n)]=1，也可视为标准正交基组。这样，确定性信号x( n)与平稳随机信号x( n)均可视为线性空间中的一个矢量，信号分解就是将x( n)矢量分解（或投影）到标准正交基上，g( i)是x( n)在相应基上的坐标，如图2所示。图2中，ei⇔δ(i) 时，为确定性信号x( n)在线性空间中的分解情况，而ei⇔w( i)时，为平稳随机信号x( n)在线性空间中的分解情况。

图2信号x( n)的矢量分解

3) 可推广研究非平稳确定性信号与非平稳随机信号的分解，详见文献[5]。

对正则稳定的线性系统，要求其n阶全极点模型的极点λi不同，并且λi＜1,i=1,2,…,n 。现对确定性信号与平稳随机信号的统一研究，使用的是线性系统的格林函数g( k)，对它所要求的条件也应研究清楚。先考虑一阶极点模型，它可化为一无穷阶全零点模型如下

对式(12)最后表示式进行因式分解，当λ＜1时，显见其所有零点必须在单位圆内，此种情况，称为最小时延系统或最小相位系统。与式(12)H( z)对应的格林函数g( k)或脉冲响应h( k)为

当k=0,1,2,…时，得序列{g( k)}={h( k)}={1,λ,λ2,…}，若λ＜1，则{g( k)={h( k)}是因果最小时延序列或因果最小相位序列。此种一阶极点模型研究结果，可以推广到λi＜1(i=1,2,…,n )且各λi不同的n阶全极点模型情况，它就是λi＜1(i=1,2,…,n )时的式(3)与式(4)。

综上研究，正则稳定的线性系统必定是因果的最小时延系统或最小相位系统，而此种线性系统用格林函数描述时，格林函数序列{g( k)}应该是因果的最小时延或最小相位序列。

3.2 线性系统边界稳定情况下的信号分解

1) 边界稳定线性系统的格林函数与差分方程

边界稳定线性系统的格林函数g( k)=h( k)为常数与单个或多个不同等幅与频率的正弦与余弦函数组成，现研究与其对应的线性差分方程。先考虑如下单个等幅正弦函数情况

其中，b为正弦函数的幅度，ϕ为相位。由三角恒等式

结合式(14)和式(15)有

将式(16)表示成一般线性差分方程形式，有

式(17)中，a1=2cosω，a2=−1。式(17)为一零输入二阶线性时不变差分方程。若线性系统由n个不同等幅与频率及相位的正弦函数组成时，即

则可得零输入2n阶线性时不变差分方程，为

式(19)是1个零输入2n阶线性时不变差分方程。对此种零输入差分方程，由于g( k)可由g( k)的过去值g( k−i)（i=1,2,…,2n ）线性组合精确确定或精确预测，因此，对凡是零输入差分方程，其所描述的信号x( k)是可精确确定或可精确预测的。

对正则稳定的线性系统，其格林函数g( k)定义为δ(n)输入时线性系统的输出。现对边界稳定线性系统，无需δ(n)输入。系统会自激而产生正弦与余弦振荡。因此，前者定义的格林函数g( k)对后者并不适用。为此，对边界稳定的线性系统，应寻求格林函数以外比较合适的定义方式。本文将系统自激所产生正弦与余弦振荡函数的线性组合定义为奇异的格林函数，表示为g(s)(k)。这样，由式(18)可得g(s)(k)的一般表示式为

g( k)与g(s)(k)对比关系如表1所示。

表1g(k)与g(s)(k)的对比关系

2) 线性系统边界稳定情况下的平稳随机信号

线性系统边界稳定情况下的正弦与余弦函数经平稳随机变量调制，可以得到平稳随机信号[6,7]，常见的有如下情况。

① 调相平稳随机信号

设单个信号时

式(21)中ω为常数，ϕ为在[−π,π]均匀分布的随机变量，其概率密度在。因x( k)的自相关函数r( l)为

上式后一项消失，故

由此可见，r( l)与时间k无关，故x( k)是平稳随机的。若

式(22)中Ai与ωi为常数，ϕi为[−π,π]均匀分布的随机变量，其概率密度在−π≤ϕ≤π为1，2π i=1,2,…,n 。x( k)的自相关函数r( l)为

可得到式(22)的x( k)是平稳随机的。

② 调幅平稳随机信号

复正弦调幅信号x( k)为

式(23)中ωi是常数，ai是互不相关的随机变量，其均值为零，方差σi2=E[ ai2],i=1,2,…,n 。x( k)的自相关函数为

实正弦与实余弦调幅信号x( k)为

在式(25)中，ai与bi是互不相关的实随机变量，均值为零，且的自相关函数为

由于式(24)与式(25)、式(23)与式(25)的调幅复正弦与实正弦与实余弦信号都是平稳随机的，并且不难得出调幅与调相平稳随机信号的一般表示式为

其中，ωi为常数，ai、bi与ϕi为随机变量，且ai与bi互不相关，为概率密度的均匀分布，i=1,2,…,n 。

对上述3种平稳随机信号，与调幅及调幅调相平稳随机信号对应的线性差分方程是线性随机变量系数的随机差分方程，现尚未见到文献介绍，只有调相平稳随机信号对应的线性差分方程是线性常系数随机差分方程，可以对其进行研究。将式(22)改写为

它是一个零输入的随机差分方程。

平稳随机序列{x( n)}，其现在值x( n)是不能由其过去值x( n−i)( i=1,2,…)精确确定或精确预测的，但有的文献将预测误差ε(n)的σ2=E[ε2(n) ]为零时，定义为在均方意义下可精确确定或可精确预测的，即

式(30)可进一步表示为

上式即式(29)。这样，可知式(29)所示的零输入随机差分方程是均方意义下可精确确定或可精确预测的。

3) 线性系统边界稳定情况下信号分解的统一研究

由式(19)线性系统边界稳定情况下的奇异格林函数g(s)(k)，也就是此种情况下确定性信号x( k)的分解表示式，即

它与平稳随机信号x( k)分解表示式(27)相同，因此，可在数学上将两者统一起来。但应明确，对确定性信号x( k)，ai、bi、ωi和ϕi均为常数，而对于平稳随机信号x( k)，ωi为常数，ai与bi是不相关的且有相同方差的随机变量，ϕi是在[−π,π]均匀分布的随机变量。

综上所述，线性系统在边界稳定情况下，系统可以自激而产生正弦与余弦振荡，将它们线性组合起来，而产生所需要的信号。对此，在信号分析与处理中，称其为调和过程，以区别他激线性系统产生信号的一般线性过程。

4 基于线性空间投影理论的信号分解

利用线性空间投影理论来研究确定性与平稳随机信号的分解[8～12]，不仅可使这2种信号分解在泛函数学框架下统一起来，并可从空间几何意义上对它们了解得更加清楚。

1) 几种线性空间的意义与关系

由信号序列或数据序列X={x1, x2,…}组成的线性空间，若信号x是稳定的，其能量需是有限的，即。此种线性空间称为l2空间。可表示成内积与P=2的范数（P范数定义为，即

从而有内积线性空间与赋范线性空间。由于范数有不同定义方式，它可不等于内积，对内积等于范数的线性空间，称为希尔伯特空间，表示为H( X)。由此可见，这4种线性空间意义是相同的。线性空间引入内积后，就可以把许多平面几何性质推广到n维或无穷维抽象空间。线性空间引入范数，就可以进行极限运算，以表明信号分解是收敛的，即xk的极限为x，是指，称xk均方收敛于x，并表示为

对平稳随机信号的研究，若ξ与η是随机变量，有：①内积是指；②范数是指；③ξ与η正交是指E[ξη]=0；④ξn收敛于ξ是指。这样，对确定性信号与平稳随机信号在数学表示上可进行统一研究。

2) 希尔伯特子空间投影

在希尔伯特子空间中，由非正交不相关的信号序列X={x1, x2,…,xn}所张成的子空间，将其表示为Hn(X)=span{x1, x2,…,xn},xn在子空间Hn−1(X)=span{x1, x2,…,xn−1}的投影表示为xˆn，投影误差为εn，则有

式(31)中αi为待定的线性组合系数。式(31)的关系如图3所示，εn⊥Hn−1(X )，εn与Hn−1(X )中各元素x1, x2,…,xn−1都正交。

图3εn在Hn−1(X)投影

nn稳随机信号的研究中，xˆn为均方误差E[( xn−)2]=E[]最小对x的线性最优估计或最优一步预测，n在最优一步预测中，εn是不线性依赖于xn过去值而出现的新息。通常在希尔伯特子空间中研究的都是这种情况的投影，将其称为正则投影。

在对确定性信号研究中，若εn=0，则，即xn在子空间Hn−1(X )的投影是其自己，现将这种投影称为自投影或奇异投影。这种情况的投影，Hn(X)≡Hn−1(X )，对所有n均成立，即所有子空间Hi( X),i=n, n−1,…是相同的。另外，xn可由其过去值xn−1,xn−2,…精确确定。在对平稳随机信号研究中，应明确的是为均方意义下的自投影或奇异投影，而xn可由其过去值xn−1,xn−2,…在均方意义下精确确定或精确预测。

根据上述，信号x在希尔伯特子空间上的投影分为2种，一种是正则投影，用xu表示，另一种是自投影，用xv表示。若xu与xv是不相关的，且是同时存在的，则有

现在需要研究的是信号分解的问题。首先要解决如何将x分成为xu与xv，这涉及使用格莱姆—施密特（Gram-Schmidt）正交化方法，应对其做必要的介绍与研究。

3) 格莱姆—施密特正交化方法

格莱姆—施密特正交化方法是将非正交的线性不相关序列X={x1, x2,…,xn}化成为正交的线性不相关序列{ε1,ε2,…,εn}，n可以是有限的，也可以是无限的。该方法的基本思路是选择x1作为ε1；其次，将x2关于x1进行正交分解并选择与ε1正交的分量作为ε2，于是有；再次，将x3关于空间{ε1,ε2}进行正交分解，并选择正交于{ε1,ε2}的分量作为ε3。类此不断继续下去，直至完成处理过程。这种方法的表示式为

若{ε1,ε2,…,εn}欲成为X的标准正交基，需要对式(33)进行归一化处理，得

格莱姆—施密特正交化过程可理解为前一希尔伯特子空间Hi−1(X )增加一个正交基εi以得到后一子空间Hi( X),i=2,3,…,n ，从而成为不断扩大其子空间的过程，如表2所示。

表2格莱姆—施密特正交化过程与H(X)子空间扩大过程关系

表2中，⊕表示“直和”或“正交和”。由表2可得Hn(X)由其子空间Hi( X),i=1,2,…,n −1扩大过程的表示式，为

4) 希尔伯特子空间的正交投影

线性不相关的非正交信号序列X={x1, x2,…,xn}经格莱姆—施密特正交化方法可化为线性不相关的归一化正交信号序列E={e1, e2,…,en}，这样，利用x∈Hn(X )的线性子空间投影可将其转化为在Hn(E)的线性子空间投影。当k＜n时，x在Hn(E)=span{e1, e2,…,ek}子空间的投影为

当k=n时，由于x在Hn(E)中的投影mn就是它自己，即mn=x，因此，得

式(37)被称为x在希尔伯特子空间Hn(E)的正交投影。

5) 线性空间正则投影信号xu与自投影信号xv

xu的希尔伯特空间为H( X)=span{,,…}。xv的希尔伯特空间为H( X)=span{,,…}。若xu与xv不相关，x=xu+xv，则H(x)=H(xu)+H( xv)。H( xu)与H( xv)∈H( x)，且处在2个不相交相邻的H( x)子空间上。为此，可令H( Xu)∈H∞(X )，H( Xv)∈H−∞(X )，这是非常合理的。

对xu采用希尔伯特子空间正交投影法，当n=∞时，由式(37)得信号分解式

这种情况与线性系统正则稳定情况下的信号分解式(10)相对应，因此，式(38)中标准正交基上的坐标gi对应于式(10)的最小延时或最小相位的格林函数g( i)。

由表2可知，格莱姆—施密特的正交化过程是{ε1}→{ε1, ε2}→{ε1, ε2,ε3}→…→{ε1, ε2,…,εn}，H( X)子空间扩大化过程是H1(X)→H2(X)→H3(X)→…→Hn(X )，则它们的逆过程应分别为去正交过程{ε1, ε2,…,εn}→{ε1, ε2,…,εn−1}→…→{ε1}与H( X)子空间减少过程Hn(X)→Hn−1(X )→…→H1(X)。现采取H( X)子空间减少过程，将xu∈H∞(X)从H( X)=H∞(X)+H (−∞)中分出，得到xv∈H−∞(X)，表示为

式(39)是与式(35)相对应的逆过程表示式。xv是自投影的，H(Xv)=H(Xv)，对所有n均成立。n n−1这样，可由其过去值,,…精确确定。

5 与信号沃尔德（Wold）分解关系

信号沃尔德分解任意平稳随机信号x可以分解为xu和xv2个平稳随机信号之和，x=xu+xv，其中，xu是平稳随机MA(∞)信号，即

式(40)中，wn是白噪声序列。xu是不可精确预测的随机信号，也称为正则的随机信号。xv与xu不相关，它是均方意义可精确预测的随机信号，也称为奇异的随机信号。

对上述信号沃尔德分解，已有一些文献研究[13～15]，并给出了严格数学证明，但均繁难，不易理解。本文研究与其研究有相似之处，但存在完全不同之处，有自己的许多新发展。

本文研究与信号沃尔德分解研究相似之处是均应用了泛函线性空间理论，一个是从线性空间投影理论研究，另一个是从线性空间预测理论研究。

本文研究与信号沃尔德分解研究完全不同之处主要有2个方面。1) 本文是对确定性信号分解与平稳随机信号分解进行了统一理论研究，而信号沃尔德分解是仅对平稳随机信号的理论研究。2) 本文提出了新的基于线性系统稳定性的信号分解统一理论，它分为z域单位圆内正则稳定的正则信号分解及z域单位圆上边界稳定的奇异信号分解，而奇异信号分解是正弦与余弦函数的线性组合。因此，它非常具体明晰，可从物理意义上了解清楚，这非常有助于解决依据线性空间理论信号分解的统一研究中在这方面的不足之处。

6 结束语

本文依据线性系统稳定性理论与线性空间投影理论，给出了确定性信号与平稳随机信号的信号分解统一研究结果。前者的研究具体明确且物理意义清晰，后者的研究数学与几何意义清晰，对两者合在一起研究，可相得益彰，有助于对信号沃尔德分解的研究。本文具有研究新发展前景，主要表现在2个方面。1) 确定性信号与平稳随机信号的信号分解，各自均可分成为正则信号分解与奇异信号分解，它们可有不同的线性组合方式，例如平稳随机信号的正则信号与确定性信号的奇异信号，它们的线性组合是方差平稳随机信号或均值具有趋向性的非平稳随机信号。因此，对它们的一些线性组合方式进行研究，是有创新发展前景的。2) 本文依据线性系统稳定性理论对信号分解的统一研究，可推广研究非平稳确定性信号与非平稳随机信号的统一研究，作者已对此做了研究，参见文献[5]。

[1]王宏禹. 信号处理相关理论综合与统一法[M]. 北京: 国防工业出版社, 2005.WANG H Y. Synthesis and unification method in correlation theory of signal processing [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2005.

[2]王宏禹. 信号处理方法与应用[M]. 北京: 机械工业出版社, 2008.WANG H Y. The methods and applications of signal processing[M].Beijing: China Machine Press, 2008.

[3]王宏禹, 邱天爽, 陈喆. 非平稳随机信号分析与处理（第二版）[M].北京: 国防工业出版社, 2008.WANG H Y, QIU T S, CHEN Z. Non-stationary random signal analysis and processing (second edition)[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2008.

[4]王宏禹, 邱天爽. 微分方程格林函数法的研究[J]. 信号处理, 2015,31(4): 379-385.WANG H Y, QIU T S. Study on the differential equation using the Green’s function[J]. Signal Processing, 2015, 31(4): 379-385.

[5]王宏禹, 邱天爽. 非平稳确定性信号与非平稳随机信号统一分类法的探讨[J]. 通信学报, 2015, 36(2): 2015028.WANG H Y, QIU T S. Unified classification methods for determinate nonstationary signals and random nonstationary signals[J]. Journal on Communications, 2015, 36(2): 2015028.

[6]PRIESTLEY M B. Spectral analysis and time series[M]. London:Academic Press Inc, 1981.

[7]PAPOULIS A. Probability, random variables and stochastic processes[M]. New York: McGraw-Hill, 1984.

[8]KAY S M, MARPLE S L. Spectrum analysis: a modern perspective[J].Proc IEEE, 1981, 69(11):1380-1419.

[9]ROBINSON E A. A historical perspective of spectrum estimation[J].Proc IEEE, 1982, 70(9):885-907.

[10]李冬海. 频谱估计理论与应用[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2014.LI D H. Spectrum estimation theory and application[M]. Xi’an: Xidian University Press, 2014.

[11]BREZINSKI C. Projection methods for liner systems[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1997, 77(1): 35-51.

[12]GALANTAI A. Projectors and projection methods[M]. Springer Science amp; Business Media, 2013.

[13]ANDERSON T W. The statistical analysis of time series[M]. John Wiley amp; Sons, 2011.

[14]LINDQUIST A, PICCI G. Linear stochastic systems: a geometric approach to modeling, estimation and identification[M]. Springer, 2015.

[15]FRAZHO A E. Complements to models for noncommuting operators[J]. Journal of Functional Analysis, 1984, 59(3): 445-461.

Unified study on the decomposition for deterministic signals and stationary random signals

WANG Hong-yu, QIU Tian-shuang
(Faculty of Electronic Information and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

The unified decomposition theories and methods for deterministic signals and stationary random signals were deeply studied. According to the stability theory of linear systems, the unified results of signal decomposition under both regular stable and boundary stable conditions were given respectively. The unified results of signal decomposition under both orthogonal projection and self projection conditions were also provided based on the linear space projection theory.The former is clear and definite in its physical meaning, and the latter is clear in its mathematical and geometrical meanings. They are both complement with each other.

signal decomposition, linear system, regular stability, boundary stability, linear space, orthogonal projection,self projection

The National Natural Science Foundation of China (No.61172108, No.61139001, No.81241059, No. 61671105)

TN911.7

10.11959/j.issn.1000-436x.2016189

2015-10-14；

2016-08-25

邱天爽，qiutsh@dlut.edu.cn

国家自然科学基金资助项目（No.61172108, No.61139001, No.81241059, No.61671105）