周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路声带隙耦合分析

曹晓丰， 郁殿龙， 刘江伟， 温激鸿

(国防科技大学 装备综合保障技术重点实验室，长沙 410073)



周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路声带隙耦合分析

曹晓丰， 郁殿龙， 刘江伟， 温激鸿

(国防科技大学 装备综合保障技术重点实验室，长沙 410073)

声子晶体带隙特性可以抑制声波的传播，为减振降噪提供了一条新的途径。采用理论与数值方法研究了周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路的声传播特性，分析了局域共振带隙及布拉格带隙的带隙特性。通过调节参数，发现局域共振带隙与布拉格带隙可以产生耦合，可实现低频宽带隔声，进一步分析了不同晶格常数下的带隙宽度及传递损失。研究结果表明可以通过调节参数，使两种机理的带隙发生耦合，有望为拓宽低频声带隙提供一种新方法。

噪声控制；声子晶体；平面波假设；声带隙耦合

管路系统广泛应用于船舶动力、航空航天、核工业、深海石油开发等工业及军事领域中，主要用来传递液体质量流、动量流或能量流。

管路中一般存在流体噪声，强烈的噪声会严重影响装备的工作性能、精度、效率、以及运行安全性、可靠性和服役寿命；噪声还会破坏装备使用者的工作环境舒适性，降低设备运行质量，甚至危害使用者的身体健康[1-6]。

管路噪声主要分为低频噪声与中高频噪声，中高频噪声的传播会随距离增加而较快衰减，所以中高频噪声的传播距离较小，对噪声传播的总体辐射虽然有一定影响，但由于其衰减快，多呈现为装备局部的声辐射现象，对总体的声隐蔽性能影响不大。而低频噪声，由于其声波长较长，衰减慢，传播距离远，会严重影响装备的隐蔽性能，削弱武器装备战斗力，因此管路低频降噪是提高装备性能的关键。

目前，在管路降噪问题中的主要措施有：接入挠性接管；包覆高阻尼材料；调整管道的走向、支承位置等。但由于管路系统元件众多，同时受空间、重量等条件的限制，传统措施存在一定局限[7-8]。近些年，赫姆霍兹共鸣器在管路降噪中应用广泛，并引起了许多学者的关注。马大猷[9]对单球腔Helmholtz共振器声特性进行了理论分析。SELAMET等[10]研究了单腔圆柱颈口内插式Helmholtz共振器的声学特性，重点指出了颈部内插长度对其传播损失的影响。TANG[11]应用韦伯方程，对单腔锥形颈口Helmholtz共振器声特性进行了研究。

但由于赫姆霍兹共鸣器在应用中的尺寸限制，其所产生的消声频带较窄，并不能满足实际应用的需求。声子晶体带隙在管路噪声控制中的应用探索已经开展，一些学者开始关注赫姆霍兹共鸣器周期性安放在管路上的问题，并研究其对声波的控制效果。HU等[12-13]研究证实了周期性安放赫姆霍兹共鸣器的人工周期材料存在声带隙。WANG等[14]发现在周期附加单腔赫姆霍兹共鸣器管路中可同时存在局域共振带隙和布拉格带隙。上述学者的研究发现，由于声子晶体带隙的存在，可以为管路降噪提供了一条新的途径。

声子晶体有两种带隙机理：一种是局域共振带隙机理，这是由于弹性波传播使得局域振子发生共振从而抑制该共振频率处所对应的弹性波的传播。局域共振带隙虽然可以解决低频的降噪问题，但它的带隙频率范围较窄，对噪声的衰减较小，附加质量大。另一种为布拉格带隙机理，它是由于弹性波在周期结构中反射所形成，其带隙中心频率对应的弹性波波长约为晶格常数的2倍。利用布拉格带隙机理对低频声波进行控制时，由于对象低频声波波长较大，导致晶格常数(几何尺寸)过大，在尺寸要求苛刻的低频降噪领域中应用困难[15-20]。如何设计一种声子晶体管路，在附加质量与几何尺寸较小的情况下实现低频宽带噪声抑制，这种方法将具有重要的理论价值和工程意义。

肖勇等[3]在对梁杆振动的研究中，具体分析说明了梁杆振动中的布拉格带隙和局域共振带隙耦合的现象，发现带隙耦合会明显拓宽带隙宽度，实现宽带隔振的效果。

张亚峰[21]对扩张式共鸣器的研究中，发现了声带隙耦合现象，并描述了这种耦合现象可以消除通带，扩宽声波带隙。

但目前没有研究说明带隙耦合的具体条件，以及参数对耦合特性的影响。本文在分析周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路局域共振带隙特性与布拉格带隙特性的基础上，发现了两种带隙耦合现象。主要用平面波假设研究单腔赫姆霍兹共鸣器的声学特性，并由传递矩阵法给出了能带结构特性，分析了单腔赫姆霍兹共鸣器声学特性及声带隙特性。并调整参数使带隙耦合，进而分析不同参数对带隙耦合特性的影响，有望为周期管路的降噪设计提供新思路。

1 传递损失与带隙理论分析

如图1所示，该图所描述的是位移驱动下单腔赫姆霍兹共鸣器声波传播。考虑到研究频率段所对应的波长远大于赫姆霍兹共鸣器的各结构尺寸，管中声波频率小于波导理论给出的截止频率，因此可以忽略空间相并采用平面波假设的方法进行研究。高阶声波影响已给出修正，文中颈长已经包含修正相[22]。

1.1 单腔赫姆霍兹共鸣器传递损失分析

单腔非内插圆柱颈共振式共鸣器的声波传播如图1所示。

图1 单腔非内插圆柱颈共鸣器声波传播图示Fig.1 The wave propagation in a single HR

对于管中的一维平面波，方程如下：

(1)

c0是声波在空气中的传播速度，利用声压连续边界条件和体积速度连续边界条件，计算出单腔共振式共鸣器的颈口声阻抗为：

(2)

ρ0是空气密度，式中：

(3)

Sc是腔体截面积，Sn是连接颈截面积，由声阻抗可得到传递损失：

(4)

Spi是主管路截面积

1.2 声带隙理论带隙

图2 声子晶体管路中声波传播示意图Fig.2 The schematic diagram of an acoustic waveguide in the artificial periodic pipe

(5)

式中T为：

如果考虑无限周期，Bloch定理[15]给出

(6)

q为波矢。结合方程(5)和(6)，可得到色散关系：

(7)

方程(7)可用于计算声带隙结构。布拉格波矢的实部Re(q)可用于描述通带。虚部Im(q)用于描述禁带。

1.3 无限周期能带结构

首先计算无限周期的能带结构，计算中结构参数如表1所示。将共鸣器周期排布在管路上，主管路横截面为5 cm×5 cm，晶格常数为a=1 m。单腔赫姆霍兹共鸣器的声阻抗可由方程(2)得到，方程(7)同时给出了能带结构的理论结果。图3给出了在该管路结构下的能带特性曲线，在0～600 Hz中出现了四个带隙，分别为58.7 Hz～118.9 Hz，171.5 Hz～224.9 Hz, 343 Hz～368.9 Hz,514.5 Hz～625.5 Hz。虚波矢Im(q)可用于描述振动衰减的大小，Im(q)值越大，则振动衰减越快。由虚波矢可发现，声子晶体管路存在多阶布拉格声带隙，共鸣器共振频率以上的各阶带隙，向高频发展生成带隙；共鸣器共振频率以下的各阶声波带隙，向低频发展生成带隙。观察发现，与局域共振声带隙临近的布拉格声带隙，带隙宽度大，并且具有较强的声波衰减能力。反之，越是远离局域共振声波带隙，声波的衰减能力越弱，带隙宽度越小。

表1 标准单腔赫姆霍兹共鸣器参数(m)

图3 周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路能带结构Fig.3 The acoustic BGs of the pipe periodically installing single HR

从能带结构中可以发现90 Hz频率处，存在一个平直带，这是由于共鸣器的共振频率导致。共鸣器共振频率为：

(8)

式中:Sc是腔体截面积，lc是腔体长度，Sn是连接颈截面积，ln是连接颈长。可计算得出共鸣器的共振频率为90 Hz，对应于能带结构中的平直带。

1.4 有限周期结构传输特性

上文采用传递矩阵法计算得到的周期性附加赫姆霍兹共鸣器一维周期管路能带结构，是建立在无限周期的基础上。对于有限周期结构，可以采用有限元法仿真其声波传输特性，根据传递损失频响曲线来判定声带隙是否存在及其带隙的位置和宽度。文中采用有限元分析软件COMSOL对有限周期结构的传输特性进行计算。图4给出了6个周期的管路传输特性示意图，其几何结构参数与表1一致。

图4 有限周期管路结构示意图
Fig.4 The schematic diagram of wave transmission in finite artificial periodic pipe

图5为有限元计算的有限周期结构中声波传输特性曲线，其主要消声频段在59 Hz～119 Hz，172 Hz～225 Hz，以及343 Hz～369 Hz，与图3(a)中理论能带结构中的带隙位置，带隙宽度基本相符。

图5 有限周期结构声波传输特性曲线Fig.5 The characteristics of wave transmission in finite artificial periodic pipe

2 分析与讨论

在分析声带隙特性时，首先研究晶格常数对带隙特性的影响，通过改变周期管路的晶格常数，来观察带隙位置及宽度的变化，进而实现带隙耦合，分析带隙耦合条件。然后，研究共鸣器结构参数对带隙特性的影响，通过改变结构参数，探究是否能够通过不同途径实现带隙耦合。

2.1 晶格常数对带隙特性的影响

首先通过改变晶格常数来观察带隙的变化，为直观起见，结合具体算例进行阐述。赫姆霍兹共鸣器的参数设计如表1所示，令晶格常数为a=2，设计周期为N=8的周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器的一维管路结构。

图6 晶格常数a=2 m带隙耦合声学特性Fig.6 The characteristics of coupled acoustic band-gap with lattice constant a=2 m

图6给出依照上述设计得到周期管路带隙特性以及有限结构中的消声效果。图6(a)是无限周期管路的带隙特性。可以看出，在0 Hz～600 Hz的范围中共存在五个带隙，在目标频率(90 Hz)处得到了一个范围是44.6 Hz～136.2 Hz的耦合带隙。图6(b)中显示的是有限结构中的传递损失频率响应曲线，在0 Hz～600 Hz的范围中共存在五处噪声衰减区域，其频率范围和图6(a)中的带隙频率范围吻合较好。从频响曲线上还可以看出，在耦合带隙的绝大部分频率范围内都达到了30 dB以上的噪声衰减，消声效果良好。

图7 晶格常数a=1 m声学特性Fig.7 The acoustic characteristics with lattice constant a=1 m

图8 晶格常数a=3 m声学特性Fig.8 The acoustic characteristics with lattice constant a=3 m

图7和图8分别给出了晶格常数选为a=1 m(<2 m)和a=3 m(>2 m)时的情况，来探究当晶格常数比2 m更小或更大时，对应的带隙特性(是否能产生更宽的消声频带)及消声特性。

通过对比可以看出，选择更小或更大的晶格常数都没能在目标频率(90 Hz)附近产生更宽的带隙，也没能在有限结构中实现更宽的消声频带。

通过对晶格常数的调整，发现在不同晶格常数条件下，随着带隙的位置变化会发生带隙耦合现象。进一步分析发现，由式(8)计算得共鸣器的共振频率fr，又一阶布拉格带隙的中心频率为

(9)

当a=2 m，恰好共鸣器的共振频率fr等于一阶布拉格带隙的中心频率f1，即一阶布拉格带隙中心频率落在共鸣器产生的带隙频率段中心，于是发生了精确耦合现象。

即当

(10)

共鸣器的共振频率fr等于N阶布拉格带隙的中心频率fn时，会发生带隙精确耦合现象。

2.2 共鸣器结构参数对晶格常数的影响

如图9中所示，在表1参数模型的基础上，设定晶格常数a=3 m，适当调节共鸣器结构参数，观察改变参数后，对带隙位置及宽度的影响，是否会产生耦合现象。

将共鸣器连接颈长度由0.121 m变为0.08 m，发现局域共振声带隙与布拉格声带隙靠拢。观察图9(a)和图9(b)发现最靠近局域共振带隙的一阶布拉格带隙宽度随着参数的调整，带隙宽度由114.3 Hz～145.4 Hz变为114.3 Hz～154.3 Hz，增加了10 Hz，波矢的绝对值也相应增大，即带隙的衰减能力增强，而对于二阶布拉格带隙的影响则相对较小。

为了进一步观察，将共鸣器连接颈长度由0.08 m调为0.027 3 m，如图10(a)和图10(b)所示，通过对共鸣器结构参数的调整，局域共振带隙与一阶布拉格带隙发生耦合现象，带隙宽度由参数调整之前的114.3 Hz～154.3 Hz变为123.6 Hz～221.4 Hz，带隙宽度增加了57.8 Hz。说明在一定条件下，通过对共鸣器结构参数的调整，也可以实现带隙耦合，也可以实现低频带隙展宽。

图9 共鸣器参数调整下能带结构特征Fig.9 The acoustic characteristics of HR with the 1st group parameters

图10 共鸣器参数二次调整下能带结构特征Fig.10 The acoustic characteristics of HR with the 2nd group parameters

3 结 论

本文采用理论与数值方法研究了周期性附加单腔赫姆霍兹共鸣器一维管路的声带隙特性。

首先由虚实波矢图可知，距离局域共振带隙越近的布拉格带隙，其带隙宽度及其对声波的衰减能力越强。进一步通过理论分析，得出共鸣器共振频率等于一阶布拉格带隙的中心频率时，发现带隙耦合，即带隙耦合条件为fr=fn。耦合时的带隙宽度对比于非耦合时的带隙宽度有明显的增加。同时可以调节共鸣器参数，进一步调节其结构参数，改变共鸣器的共振频率，局域共振带隙与布拉格带隙也可产生耦合，为管路低频降噪提供了更有效地方法。

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Coupled acoustic band-gap charateristics of an one-dimensional pipe periodically installing single-chamber Helmholtz resonators

CAO Xiaofeng, YU Dianlong, LIU Jiangwei, WEN Jihong

(The Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The presence of band gaps in phononic crystals to forbid acoustic wave propagation within band-gaps’ frequency range provides a new way to control noise and vibration. Acoustic wave propagation characteristics of an one-dimensional pipe periodically installing single-chamber Helmholtz resonators(HRs) were investigated theoretically and numerically here, the features of local resonance band-gaps (BGs) and Bragg-type BGs were analyzed. By adjusting parameters, it was shown that local resonance BGs and Bragg-type BGs can be coupled to realize sound isolation within a lower and wider frequency range. A further analysis for the BGs width and their transmission loss was done under different lattice constants. The results showed that adjusting parameters can make two kinds of acoustic band-gaps be coupled; this provides a new way for widending lower frequency acoustic BGs via using Helmhotlz resonators with appropriate parameters.

noise control; phononic crystals; plane wave assumption; acoustic band-gap coupling

国家自然科学基金资助项目(11372346)

2015-08-19 修改稿收到日期：2015-10-11

曹晓丰 男，硕士，1991年出生

郁殿龙 男，副研究员，硕士生导师，1975年出生

E-mail:dianlongyu@vip.sina.com

TB535+.2

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10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.004